e1i 2e2i vi 则
ˆ2 e1ie2i e2 2i
可以证明，这样估计的 ˆ 2 与估计的 ˆ 2 是一致的，而 与 ˆ 2 是不一致的。
(证明见古加拉蒂《计量经济学》第四版附录7A.2)
6 6
证明过程(参考)
由
ˆ2 e 1 ie2 i
e 2 2 i
(yi a ˆ1 3x3 i)(x2 i b ˆ2 3 x3 i) (x2 i b ˆ2 3x3 i)2
将 aˆ 1 3 、bˆ 2 3 代入得
ˆ2
[yi (
yix3i x32i)x3i][x2i ( x2ix3i [x2i ( x2ix3i x32i)x3i]2
x32i)x3i]
(
y ( ix 2 i)x (2 2 i)(x 3 2 i)x 3 2 i( ) (y ix 3 x i2 )i(x 3 i)2 x 2 ix 3 i)ˆ2
或表示为 Y i 1 2 X 2 i 3 X 3 i k X k i u i
(i1,2,Ln) 9
直观理解（供参考）
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多元样本回归函数
Y 的样本条件均值可表示为多个解释变量的函数
Y ˆi ˆ1ˆ2X2iˆ3X3iLˆkXki
或回归剩余（残差）： e i Y i Yˆ i
Y iˆ1ˆ2X2iˆ3X3iLˆkXkiei
☻多元线性回归模型及古典假定
☻多元线性回归参数的估计 ☻多元线性回归模型的检验 ☻多元线性回归预测
3
（一） 多元线性回归模型及古典假定
1、多元线性回归模型的意义
一般形式：对于有K-1个解释变量的线性回归模型
Y i 1 2 X 2 i 3 X 3 i k X k i u i
(i 1,2,L n)
用矩阵表示
Image Y1 1 X21 Xk11 u1
Y2 1 X22
Xk22
u2
Yn
1 X2n
Xknk
un
Y
X
βu
n1
)= Xβ 或 Y = Xβ+u
样本回归函数 Yˆ = X βˆ 或 Y = Xβˆ + e
其中： Y,Yˆ, u,e 都是有n个元素的列向量
由后面将讲的OLS估计量可知，这就是多元回
归中 2 的估计式 ˆ 2
7
多元线性回归中的“线性”
指对各个回归系数而言是“线性”的，对变量则可 以是线性的，也可以是非线性的
例如：生产函数
YALKu
取对数 lY n lA n lL n lK n lu n
这也是多元线性回归模型，只是这时变量为lnY、 lnL、lnK
β , βˆ 是有k 个 元素的列向量
（ k = 解释变量个数 + 1 ）
X 是第一列为1的n×k阶解释变量数据矩阵 ，
(截距项可视为解释变量总是取值为1)
13
3、多元线性回归中的基本假定
假定1：零均值假定
E(ui) 0 （ i=1，2，---n） 或 E（u）=0 假定2和假定3：同方差和无自相关假定：
注意：模型中的
（j=2,3,---k）是偏回归系数
j
样本容量为n
偏回归系数：
控制其它解释量不变的条件下，第j个解释变量的
单位变动对被解释变量平均值的影响，即对Y平均值
“直接”或“净”的影响。
4
对偏回归系数的理解
例如 Y i12 X 2 i3 X 3 i u i 对比 Yi12X2iu1i
并且 X 3ib2b3X 22iu2i
所得到的数量结论是否可靠？
中国汽车行业今后的发展前景怎样？应当如何制定汽车的产业
政策？
很明显，只用一个解释变量很难分析汽车产业的实际发展,简
单线性回归模型不能解决多因素问题的分析，还需要去寻求有
更多个解释变量情况的回归分析方法。
2
多元线性回归模型
本章讨论:
将简单线性回归的的研究方式推广到多元的情况
2、作回归 X 2ib2b23X 3iu2i，则 b ˆ23 x2ix3i x3 2i
e 2 i X 2 i b ˆ 2 b ˆ 2 3 X 3 i x 2 i b ˆ 2 3 x 3 i， e 2 i 表示除去 X 3 i 影响后的 X 2 i
将 e 1 i 对 e 2 i 回归（因 e 1 i 和 e 2 i 的均值为0，为过原点的回归)，
8
多元总体回归函数
条件期望表现形式：
将Y的总体条件期望表示为多个解释变量的函数，如:
E ( Y iX 2 i,X 3 i, X k ) i 1 2 X 2 i 3 X 3 i k X ki
(i 1,2,L n) 注意：这时Y总体条件期望的轨迹是K维空间的一条线
个别值表现形式：
引入随机扰动项 uiY iE (Y i X 2i,X 3iLX ki)
其中 i 1,2,L n
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2、多元线性回归模型的矩阵表示
多个解释变量的多元线性回归模型的n组样本观测值，可
表示为
Y 1 1 2 X 2 1 3 X 3 1 k X k 1 u 1
Y 2 1 2 X 2 2 3 X 3 2 k X k 2 u 2
N o Y n 1 2 X 2 n 3 X 3 n k X k n u n
可证明
223b32
x2i(ui u) x22i
（误差项）
E(2)23b32
(证明见古加拉蒂《计量经济学》第三版附录7A.5)
结论: 只要 b32 0 ， 2 与 2 是有区别的。 2 不仅包括 X 2 i 对Y平均值的“直接”影响，还包括由于 X 3 i 的变动
对Y平均值的“间接”影响。
5
从残差理解偏回归系数
例如 Y i12 X 2 i3 X 3 i u i 对比 Yi 12X2iui 1、作回归 Yi a1a13X3iu1i ，则 ˆ13 yix3i x3 2 i
Y e 1 i Y i a ˆ 1 a ˆ 1 3 X 3 i y i a ˆ 1 3 x 3 i ，e 1 i 表示除去 X 3 i 影响后的 i
第三章(多元线性回归模型)
1
怎样分析多种因素的影响呢？
分析中国汽车行业未来的趋势，应当具体分析这样一些问题：
中国汽车市场发展的状况如何？（用销售量观测）
影响中国汽车销量的主要因素是什么？
（如收入、价格、费用、道路状况、能源、政策环境等）
各种因素对汽车销量影响的性质怎样？（正、负） 各种因素影响汽车销量的具体数量关系是什么？