西安交通大学考试题复变函数 (A 卷)一、填空题（每题4分，共20分）1 12i +=______________2|z|=21d ()(4)z z i z =+-⎰3 幂级数1n n nz ∞=∑的收敛半径R=______________4 1R e [,]sin s z zπ=____________________5函数1zω=将z 平面上的曲线1x =变为ω平面上的（,z x iy u iv ω=+=+）二、单项选择题（每题4分，共20分）.1 设1()sin(1)f z z =-，则0z =是()f z 的 【 】A ．可去奇点B ．本性奇点C ．极点D ．非孤立奇点. 2 设1n > 为正整数，则||21d 1nz z z =-⎰为 【 】A ．0B ． 2i π C. i π D. 2n i π3 级数1nn zn∞=∑在||1z =上 【 】A ．收敛B ．发散C ．既有收敛点也有发散点D ．不确定 4 0cos limsin x z z z z z→-=- 【 】 A ．3- B. ∞C. 0D. 35 设1328()(1)(1)zf z z z =-+， 则()f z 在复平面上所有有限奇点处的留数之和等于 【 】A ． 1- B. 1 C. 10 D. 0三 (10分) 讨论函数2()f z x iy =-的可微性与解析性。
四 (10分) 设()f z 在||(1)z R R <>内解析，且(0)1f =，(0)2f '=，试计算积分并由此得出22cos()2i f e d πθθθ⎰之值。
五 (10分) 已知调和函数22(,)u x y x y xy =-+。
求共轭调和函数(,)v x y 及解析函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+。
22||1()(1)d z f z z zz=+⎰六 (12分) 求函数21()()f z z z i =-在以下圆环域内的Laurent 展式:(1) 0|1z i <-<； (2) 1|z i <-<∞。
七 (10分) 求解无穷积分:222sin ()x bx dx x a +∞+⎰(0,0)a b >>。
八 (8分)求将圆||z i -<，||z i +<0z =的区域映为Im()0w >的映射()w f z =, 同时作图演示映射过程。
西安交通大学考试试题标准答案与评分标准一、填空题（每题4分，共20分）1. ()()1ln 222cos ln 2sin ln 2,0,1,ik ei k π+-=+=± ;2.4217i iπ-;3.1R =;4. 1π-;5. 221124u v ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭二、单项选择题（每题4分，共20分）.1. B2. A3. C4. D5. A三 解: 因为()()2,,,u x y x v x y y ==-，所以2,0,0,1x y x y u x u v v ====-， 所以0y x u v ==-。
要使得x y u v =，即21x =-，则必须有12x =-。
故仅在直线12x =-上，C-R 方程成立，且偏导数连续。
从而仅在直线12x =-上()f z 可微，但在z 平面上，()f z 却处处不解析。
并且()()()112212201x x x x x f z u iv x i =-=-=-'=+=+⋅=-。
四解: 由高阶导数公式()()()()()()()222||11d 212200z z f z z z i z f z i f f zππ=='⎡⎤'+=⋅+=+⎣⎦⎰8i π=。
又由复积分计算公式()()()()()()()22222||1022221d 122cos cos,2i i i i z i i f e fz z z eie d zei f ed i f ed θπθθθππθθθθθθθ=+=+ =+ =4⎰⎰⎰⎰即()22cos2.2i f ed πθθθπ=⎰五 解: （解法一）用R-C 条件。
因为()22v u y x y x x y∂∂=-=--+=-∂∂，所以()()2222xv y x dx xy g y =-=-+⎰，从而推出()2v x g y y∂'=+∂。
又因为2v u x y yx∂∂==+∂∂，所以()()2,2yg y y g y C '==+。
于是22222xyv xy C =-++。
所以()()()()2222,,222x yf z u x y iv x y x y xy i xy C⎛⎫=+=-++-++ ⎪⎝⎭。
令0y =得()222xf x x i iC =-+，所以()222zf z z i iC =-+。
（解法二）线积分法。
()()()()()()()()()()()()(),,,0,00,00,0,0,0022,22222.22x y x y x y x y x yv v u u v dv x y C dx dy C dx dy Cx y y xy x dx x y dy Cy x dx x y dy C xyxy C ∂∂∂∂=+=++ =-++∂∂∂∂ =-+++=-+++ =-+++⎰⎰⎰⎰⎰⎰同解法一，得()222zf z z i iC =-+。
六 解: （1）当01z i <-<时，()111111nnn i iz i z i z z i iii∞===⋅=----++∑。
两边求导得()11211n n n niz i z∞-+==-∑。
于是()()21211n n n niz i zz i ∞-+==--∑。
（2）当1z i <-<+∞时，()()10111111nnn n i i z z iz i z i z i∞+=-=⋅=---+-∑。
两边求导得 ()()()220111nn n n n i zz i ∞+=-+=-∑。
于是()()()()320111nnn n n i z z i z i ∞+=-+=--∑。
七 解：2222222220sin 1sin 1Im ()2()2()ibxx bx x bx x dx dx e dx x a x a x a +∞+∞+∞-∞-∞⎡⎤==⎢⎥+++⎣⎦⎰⎰⎰。
函数()222()ibzz f z ez a =+在上半平面有二级极点z ai =，且()2R e s ,()4ibz abz aid z b f z aie edz z ai a-=⎡⎤==⎡⎤⎢⎥⎣⎦+⎣⎦，则2222222R e s ,()()2ibxibzab x z b i edx i e ai e x a z a a ππ+∞--∞⎡⎤==⎢⎥++⎣⎦⎰，所以 ()2220sin 1Im 2Re s ,()24abx bx b dx i f z ai e x a aππ+∞-⎡⎤==⎡⎤⎣⎦⎣⎦+⎰。
八 解: （1）先用111z w z +=-将圆弧域映为角形域135arg 44w ππ<<，其中1,1z =-分别映为0,w =∞，线段()1,1-映为负实轴。
（2）3/421i w ew π-=，将角形域旋转34π-，映为第一象限。
（3）最后，22w w =将第一象限映为Im 0w >。
所以，复合以上变换，得到的映射为 ()2223/41111i z z w ei z z π-++⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭。