第一章 复变函数习题及解答写出下列复数的实部、虚部；模和辐角以及辐角的主值；并分别写成代数形式，三角形式和指数形式．(其中,,R αθ为实常数)（1）1-； （2）ππ2(cosisin )33-； （3）1cos isin αα-+；（4）1ie +； （5）i sin R e θ； （6）i +答案 （1）实部－1；虚部 2；辐角为 4π2π,0,1,2,3k k +=±±L；主辐角为4π3；原题即为代数形式；三角形式为4π4π2(cosisin )33+；指数形式为4πi 32e ．（2）略为 5πi 35π5π2[cos sin ], 233i e +（3）略为 i arctan[tan(/2)][2sin()]2c e αα（4）略为 i;(cos1isin1)ee e +（5）略为：cos(sin )isin(sin )R R θθ+（6）该复数取两个值略为 i i isin ),arctan(1isin ),πarctan(1θθθθθθθθ+=+=+计算下列复数 1）()103i 1+-；2）()31i 1+-；答案 1）3512i 512+-；2）()13π/42k πi632e 0,1,2k +=；计算下列复数（1 （2答案 （1（2）(/62/3)i n eππ+已知x【解】令i ,(,)p q p q R =+∈，即,p q 为实数域(Real).平方得到2212()2i x p q xy +=-+，根据复数相等，所以即实部为 ,x ±虚部为 说明 已考虑根式函数是两个值，即为±值．如果 ||1,z =试证明对于任何复常数,a b 有||1az bbz a +=+【证明】 因为||1,11/z zz z z =∴=∴=，所以如果复数b a i +是实系数方程()01110=++++=--n n n n a z a z a z a z P Λ的根，则b a i -一定也是该方程的根．证 因为0a ，1a ，… ，n a 均为实数，故00a a =，11a a =，… ，n n a a =．且()()kkz z =，故由共轭复数性质有：()()z P z P =．则由已知()0i ≡+b a P ．两端取共轭得 即()0i ≡-b a P ．故b a i -也是()0=z P 之根．注 此题仅通过共轭的运算的简单性质及实数的共轭为其本身即得证．此结论说明实系数多项式的复零点是成对出现的．这一点在代数学中早已被大家认识．特别地，奇次实系数多项式至少有一个实零点．证明：2222121212||||2(||||)z z z z z z ++-=+,并说明其几何意义． 若 (1)(1)n n i i +=-，试求n 的值.【解】 因为222244444444(1)2(cos sin )2(cos sin )(1)2(cos sin )2(cos sin )n nnnn n n n n n n n i i i i i i ππππππππ+=+=+-=-=- 所以 44sin sin n n ππ=- 即为4sin 0n π=所以4,4,(0,1,2,)n k n k k ππ===±±L将下列复数表为sin ,cos θθ的幂的形式 （1） cos5θ； （2）sin5θ答案 53244235(1) cos 10cos sin 5cos sin (2) 5cos sin 10cos sin sin θθθθθθθθθθ-+-+证明：如果 w 是1的n 次方根中的一个复数根，但是1≠w 即不是主根，则必有 对于复数,k k αβ，证明复数形式的柯西(Cauchy)不等式：22221111||(||||)||||n n nnk k k k k kk k k k αβαβαβ====≤≤∑∑∑∑ 成立。

【证明】 对任意n 个复数，由三角不等式知 再由关于实数的柯西不等式得22221111||(||||)||||n n nnk k k k k kk k k k αβαβαβ====≤≤∑∑∑∑,证毕。

证明 1sin()sin22cos cos 2cos3cos ;2sin2n n θθθθθθθ+-++++=L1coscos()22sin sin 2sin 3sin 2sin2n n θθθθθθθ-+++++=L 成立．下列不等式在复数平面上表示怎样的点集？ 1）()1Re 0<<z ；2）320<-<z z ；3）10arg ϕϕ<<z ；4）()0Im πz <<；5）211<+-z z（答 1）平面上由0=x 与1=x 所构成的宽度为1的铅直带形域；2）以0z 为心，内半径为2，外半径为3的圆环域；3）顶点在原点，开度为()01ϕϕ-的角形区域；4）宽度为π的说平带形域，边界为0=y ，π=y ；5）以035z =-为心，34=R 为半径的圆之外部区域）指出下列关系表示的点之轨迹或范围；并说明是何种点集？1）()πarg i 4z -=2）522=++-z z解 1）令y x z i +=，由()πarg i 4z -=知()()⎩⎨⎧>-=->=-01i Im 0i Re y z x z 且1πarctan 4y x -=即 ⎩⎨⎧>+=01x x y这样的点为z 平面上从点i 0=z 出发（但不含0z 点）与实轴倾角为π4的射线．此射线所形成的点集既非开集，也非闭集． 2）设y x z i +=，则原条件即为即210252222+=-+--z z z由模的定义得 化简得这是一椭圆，长半轴为25，短半轴为23，中心在原点，它是有界闭集（全部为边界点）．描述下列不等式所确定的点集，并指出是区域还是闭区域，有界还是无界，单连通还是多（或复）连通. （1）2i 3z ≤-≤ （2）()2i Re ≥z（3）123>--z z （4）()1arg 1πz -<<-+ （5）121+<-z z （6）521≤++-z z （7）122>+--z z （8）1i i ≤-+z z z z解 （1）是以i 为圆心、在以2为半径的圆外，3为半径的圆内的圆环，是有界闭区域、多连通．（图形略）（2）即2-≤y 是下半平面，无界单连通闭区域．（3）z 到3的距离比z 到2的距离大，因此，它是左半平面212<z ，去掉2=z 一点，是无界的多连通的区域.（4）在直线kx y =的上方，其中1tan -=k ．无界单连通区域 （5）即()()()()11411++<--z z z z或0135222>+++x y x9163522>+⎪⎭⎫ ⎝⎛+y x 是无界多连通区域 （6）此不等是焦点在1=z 和2-=z 初，长半轴为5/2的椭圆内部，为有界单连通闭区域）．（7）这是半支双曲线：1174422>-y x ，⎪⎭⎫ ⎝⎛-<21x 部分是无界单连通区域． （8）不等式即1222≤-+y y x ，或()0122≤-+y x ，只有当0=x ，1=y 成立，因此，只代表复平面上一个点i =z ． 已知映射1z =w ，求(1) 圆周的象； （2）直线y x =的象； （3）区域1x >的象． 答案 (1) ||211|||||2z z ===w ，为圆周（2）直线111i 11,,,(1i)22u u z x x x x-====∴=-+-w v =v2（3） 先看直线 x=1的象，2222211i 1,,1i 111y yu u u y y y y --==∴==∴+=++++w v v而 z ＝0 的象=∞w 在圆的外部，因此1x >的象是圆的内部即为22u u +<v讨论下列函数在指定点的极限存在性，若存在求出其值，并判断在该点的连续性．1）()2i 2y x z f +=，i 20=z 2)()⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=z z z z z f i 21，00=z解 1）()()()y x v y x u z f ,i ,+=，000i y x z +=则()x y x u 2,=，()2,y y x v =，()()2,0,00=y x ，又注意 ()()()i 4,i ,00000=+=y x v y x u z f即()2i 2y x z f +=在点i 20=z 处极限存在且连续．2）设y x z i +=，则显然，()0,≡y x v 在()0,0点极限存在且连续．但注意()()220,0,2lim y x xy y x +→不存在，事实上，令kx y =，有220022001212lim 2lim k kk k y x xy kx y x kx y x +=+=+→=→→=→，对不同k 值有不同结果，故知()()220,0,2lim y x xyy x +→不存在．所以，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→z z z z z i 21lim0不存在．由连续与极限的关系知()z f 在0=z 处极限不存在、不连续．注 这两个问题均通过极限存在的充要条件将问题转化为两个二元实函数在对应点()00,y x 处极限存在性的判断问题，这是最常用的方法．在问题1）中，又根据连徐的另一等价定义()()00lim z f z f z z =→，立即得到()z f 在i 20=z 处不仅极限存在，而且在该点连续的结论；在2）中，()z f 实际上是一复变量实值函数，即()0,≡y x v ，所以由充要条件只需判断一个二元实函数()22,y x xyy x u +=在()0,0点的极限存在性．由该二元实函数在()0,0点极限不存在即得()z f 在0=z 处极限的不存在性． 若函数()f z 在点000i z x y =+点连续，证明 （1）()f z 在该点连续； （2）|()|f z 的模在该点连续．本章计算机编程实践与思考(说明：读者可参考第五部分 计算机仿真编程实践)使用Matlab,或Mathcad,或Mathmatic 计算机仿真求解下列复数的实部、虚部;共轭复数；模与辐角；计算机仿真计算： 计算机仿真求解方程 计算机仿真编程实践：若 (1,2,,)l z l n =⋅⋅⋅对应为10nz -=的根，其中2n ≥且取整数.试用计算机仿真编程验证下列数学恒等式 11()10,()nnk km m m k zz ==≠=-∑∏成立.用计算机编程实践方法（Matlab,Mathcad,Mathmatic,C/C++）实现： （1）绘出单位圆及其内接正十七边形； （2）计算机编程求出边长；（3）能否对多变形进行推广，得出相应的计算机仿真计算方法. 计算机仿真编程验证对复平面任意两个以上的不重合的有限远点,k m Z Z ，（即保证分母不为零），恒等式1110()NNk km m m kZZ ==≠=-∑∏ 是否还成立呢？注意式中自然数2N ≥，而m, k 为1至N 的整数.（提示：利用随机函数产生随机数k N ，从而验证恒等式是否成立）。