整式复习本章视点一、课标要求与内容分析1.本章的课标要求是：(1)了解整式的概念，会进行简单的整式加减运算；(2)会进行简单的整式乘法运算(其中多项式相乘仅指一次式相乘)；(3)会推导来法公式：(a+b)(a-b)= a2-b2，(a+b)2= a2+2ab+b2，了解公式的几何背景，并能进行简单计算；(4)会用提公因式法、公式法(直接用公式不超过两次)进行因式分解(指数是正整数).2.经历探索事物之间的数量关系，建立初步的符号感，发展抽象思维，在具体情境中进一步理解用字母表示数的意义，能分析简单问题的数量关系并用代数式表示，理解代数式的含义，能解释一些简单代数式的实际背景或几何意义，体会现实世界与数学的联系，理解整式的含义，掌握整式的加减运算的实质，即去括号、合并同类项，并会求代数式的值，掌握整式的乘法运算及其逆运算——因式分解；掌握整式的除法运算(单项式除法和多项式除以单项式).3.本章的重点是代数式和整式的加、减、乘、除运算，以及因式分解.难点是规律的探求及根据代数式推断代数式反映的规律.二、学法指导学习本章要注意从具体情境中探索数量关系和变化规律，培养和发展自己的符号感.要注重对运算法则的探索过程的理解.另外，不仅要注意观察和实验，还要注意归纳、类比、转化等思想方法的运用，因为整式的运算是解方程、解不等式的重要基础，这一知识在初中数学体系中起着承上启下的作用，所以，本章学习整式的运算等内容，会给我们研究数量及其关系带来极大的方便，应引起充分的重视.章末总结知识网络图示基本知识提炼整理一、基本概念1.代数式用基本的运算符号(指加、减、乘、除、乘方及今后要学的开方)把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式.2.单项式数字与字母的积，这样的代数式叫做单项式.(1)单独的一个数或一个字母也是单项式.(2)单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数.(3)一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数.3.多项式几个单项式的和叫做多项式.(1)在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，其中，不含字母的项叫做常数项.(2)一般地，多项式里次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数.4.整式单项式和多项式统称整式.5.同类项所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项，几个常数项也是同类项.6.合并同类项把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项.7.整式乘法的平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2.两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.8.整式乘法的完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2，(a-b)2=a2-2ab+b2.两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加(或减)它们的积的2倍.二、基本运算法则1.整式加减法法则几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接，然后去括号，合并同类项.2.合并同类项法则合并同类项时，把系数相加，字母和字母指数不变.3.同底数幂的乘法法则a m·a n=a m+n(m，n是正整数).同底数幂相乘，底数不变，指数相加.4.幂的乘方法则(a m)n=a mn(m，n是正整数).幂的乘方，底数不变，指数相乘.5.积的乘方的法则(ab)m=a m b m(m是正整数).积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.6.多项式来法法则多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.7.单项式与多项式相来的乘法法则单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加. 8.添括号法则添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号.9.同底数幂的除法法则 a m ÷a n =a m-n (a ≠0，m ，n 都是正整数，并且m ＞n). 同底数幂相除，底数不变，指数相减. 10.单项式除法法则单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式.11.多项式除以单项式的除法法则多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加. 三、因式分解常见的方法 1.提公因式法. 2.公式法. 3.分组分解法.4.式子x 2+(p+q)x+pq 的因式分解. x 2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q). 专题总结及应用 一、整式的加减在整式的加减中，基本可以分为以下几种类型题. 1.不含括号的直接合并同类项例1 (1)合并同类项3x 2-4xy+4y 2-5x 2+2xy-2y 2； (2)化简5xy-29x 3y 2-49xy+21x 3y 2-411xy-x 3y-5.解：(1)原式=(3-5)x 3+(-4+2)xy+(4-2)y 2 =-2x 2-2xy+2y 2.(2)原式=(5-41149-)xy+(-2129+)x 3y 2-x 3y -5 =-4x 3y 2-x 3y-5. 2.有括号的情况有括号的先去括号，然后再合并同类项，根据多重括号的去括号法则，可由里向外，也可由外向里逐层推进，在计算过程中要注意符号的变化.例2 化简.(1)3x-[5x+(3x-2)]； (2)1-3(2ab+a)十[1-2(2a-3ab)]. 解：(1)原式=3x-(5x+3x-2) =3x-8x+2=2-5x.(2)原式=1-6ab-3a+(1-4a+6ab)=1-6ab-3a+1-4a+6ab =2-7a. 3.先代入后化简例3 已知A =x 2+xy+y 2,B=-3xy-x 2,求2A-3B. 解：2A-3B=2(x 2+xy+y 2)-3(-3xy-x 2) =2x 2+2xy+2y 2+9xy+3x 2 =5x 2+11xy+2y 2. 二、求代数式的值 1.直接求值法先把整式化简，然后代入求值.例4 先化简，再求值:3-2xy+2yx 2+6xy-4x 2y ，其中x=-1,y=-2. 解：3-2xy+2y x 2+6xy-4x 2y=3+4xy-2x 2y . 当x=-1,y=-2时，原式=3+4×(-1)×(-2)-2×(-1)2·(-2)=3+8+4 =15.2.隐含条件求值法先通过隐含条件将字母取值求出，然后化简求值.例5 若单项式-3a 2-m b 与b n+1a 2是同类项，求代数式m 2-(-3mn+3n 2)+2n 2的值. (分析)先通过-3a 2-m b 与b n+2a 2是同类项这一条件，将m,n 的值求出，然后再化简求值. 解：∵-3a 2-m b 与b n+1a 2是同类项，∴⎩⎨⎧+==-,11,22n m ∴⎩⎨⎧==.0,0n mm 2-(-3mn+3n 2)+2n 2 =m 2+3mn-3n 2+2n 2 =m 2+3mn-n 2，当m=0,n=0时，原式=02+3×0×0-02=0例6 已知2-a +(b+1)2=0，求5a b 2-[2a 2b -(4a b 2-2a 2b)]的值.(分析)利用2-a +(b+1)2=0，求出a ，b 的值，因为绝对值和平方都具有非负性，如果两个非负数之和等于0，那么它们每一个都是0.解：∵2-a +(b+1)2=0，且2-a ≥0，(b+1)2≥0，∴⎩⎨⎧=+=-,01,02b a ∴⎩⎨⎧-==.1,2b a5a b 2-[2a 2b-(4ab 2-2a 2b)] =5a b 2-(2a 2b-4ab 2+2a 2b ) =5ab 2-2a 2b+4ab 2-2a 2b =9a b 2-4a 2b当a=2,b=-1时，原式=9×2×(-1)2-4×22×(-1)=18+16=34. 3.整体代入法不求字母的值，将所求代数式变形成与已知条件有关的式于，如倍差关系、和差关系等等.例7 已知a=201x+19,b=201x+18,c=201x+17,求a 2+b 2+c 2-ab-ac-bc 的值. 解：∵a=201x+19,b=201x+18,c=201x+17,∴a-b=1,b-c=1, a-c=2. 而a 2+b 2+c 2-ab-ac-bc=21(2a 2+2b 2+2c 2-2ab-2ac-2bc) =21[(a 2-2ab+b 2)+(b 2-2bc+c 2)+( a 2-2ac +c 2)] =21[(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2]. 当a-b=1,b-c=1, a-c=2时， 原式=21(12+12+22)=21×6=3. 例8 已知x 2+4x-1=0，求2x 4+8x 3-4x 2-8x+1的值.(分析)由x 2+4x-1=0就目前知识水平求x 的值是不可能的，但是，我们可以把x 2+4x 化成一个整体，再逐层代入原式即可.解：∵x 2+4x-1=O ，∴x 2+4x=1. ∴2x 4+8x 3-4x 2-8x+1 =2x 2(x 2+4x)-4(x 2+4x)+8x+1 =2x 2·1-4×1+8x+1 =2x 2+8x-3 =2(x 2+4x)-3=2×1-3 =-1.例9 已知x 2-x-1=0，求x 2+21x的值. 解：∵x 2-x-1=0,∴x ≠0.∴x-x 1=1, ∴x 2+21x =(x-x 1)2+2·x ·x1=12+2=3.4.换元法出现分式或某些整式的幂的形式时，常常需要换元. 例10 已知b a b a +-2=6，求代数式b a b a +-)2(2+)2()(3b a b a -+的值. (分析) 给定的代数式中含a ，b 两个字母，一般地，只有求出a,b 的值，才能求出代数式的值，本题显然此方法行不通.由于题中b a b a +-2与b a b a -+2互为倒数，故将ba b a +-2看成一个整体. 解：设b a b a +-2=q ，则qb a b a 12=-+, ∴原式=2q+q3. 又∵q=6,∴原式=2×6+63=1221. 三、探索规律1.探索自然数间的某种规律设n 表示自然数，用关于n 的等式表示出来.例11 从2开始连续的偶数相加，它们和的情况如下表：(1)s 与n 之间有什么关系？能否用一个关系式来表示？ (2)计算2+4+6+8+ (2004)(分析) 观察上表，当n=1时，s=1×2，即第一个数字是1，第二个数字是2；当n=2时，s=2+4=2×3，第一个数字是2，第二个数字是3，依此类推，发现第一个数字是n ，第二个数字比n 大1.解：(1)s 与n 的关系式为s=n(n+1). (2)当n=22004=1002时， s=1002×(1002+1)=1005006. 即2+4+6+8+…+2004=1005006.小结 观察是解题的前提条件，当已知数据有很多组时，需要仔细观察，反复比较，才能发现其中的规律.2.探索图形拼接的规律例12 一张正方形的桌子可坐4人，按照如图15－20所示的方式将桌子拼在一起，试回答下列问题.(1)两张桌子拼在一起可以坐几人？三张桌子拼在一起可以坐几人？n 张桌子拼在一起可以坐几人？(2)一家酒楼有60张这样的正方形桌子，按上图方式每4张拼成一个大桌子，则60张桌子可以拼成15张大桌子，共可坐多少人？(3)在(2)中若每4张桌子拼成一个大的正方形，共可坐多少人？ (4)对于这家酒楼，哪种拼桌子的方式可以坐的人更多？ 解：(1)两张桌子拼在一起可坐2+2+2=6(人)； 三张桌子拼在一起可坐2+2+2+2=8(人)；n 张桌子拼在一起可坐个)1(2222+++++n =2(n+1)=2n+2(人). (2)按上图方式每4张桌子拼成一个大桌子，那么一张大桌子可坐2×4+2=10(人). 所以，15张大桌子可坐10×15=150(人).(3)在(2)中，若每4张桌子拼成一个大的正方形桌子，则一张大正方形桌子可坐8人，15张大正方形桌子可坐8×15=120(人).(4)由(2)(3)比较可知，该酒楼采用第一种拼摆方式可以坐的人更多.小结 寻找和探索规律是人类认识世界的重要环节，找到规律并利用规律不仅在数学上，而且在人类社会的发展过程中都具有非常重要的意义.3.探索数据所反映的规律收集数据，观察数据所反映的规律，并作出推测. 例13 填表并回答下列问题.(1)观察上表，描述所求得的这一列数的变化规律； (2)当x 非常大时，24x 的值接近什么数？ 解：(1)表格里从左到右依次填-39999，-399，-3，0.96，0.9996，0.999996.随着x 值变大，代数式的值变得越来越大.(2)当x 非常大时，24x 的值接近于零. 四、因式分解 1.直接因式分解例14 把下列各式分解因式. (1)x 2y 2-9； (2)4x 2-12xy+9y 2； (3)x 2-5x-6；(4)m 2-m-20.解：(1)x 2y 2-9=(xy+3)(xy-3). (2)4x 2-12xy+9y 2=(2x-3y)2. (3)x 2-5x-6=(x-6)(x+1). (4)m 2-m-20=(m-5)(m+4).2.先提公因式.然后再利用公式法分解因式 例15 把下列各式分解因式. (1)x 3-4x 2y+4xy 2；(2)x 3-x ；(3)m 3-3m 2-4m.解：(1)x 3-4x 2y+4xy 2=x(x 2-4xy+4y 2)=x(x-2y)2. (2)x 3-x=x(x 2-1)=x(x+1)(x-1). (3)m 3-3m 2-4m=m(m 2-3m-4)=m(m-4)(m+1). 3.分组分解法分解因式实质上，分组分解法分解因式是对因式分解方法的一种综合运用. 例16 把下列各式分解因式. (1)x 2-4(x-1)； (2)(am+bn )2+(an-bm )2； (3)a 2-2ab+b 2-c 2；(4)x 2-2xy+y 2-x +y-2.解：(1)x 2-4(x-1)=x 2-4x+4=(x-2)2. (2)(am+bn )2+(an-bm)2=a 2m 2+2abmn+b 2n 2+a 2n 2-2abmn+b 2m 2=a2m2+b2n2+a2n2+b2m2=(a2m2+a2n2)+(b2n2+b2m2)=a2(m2+n2)+b2(m2+n2)=(a2+b2)(m2+n2).(3)a2-2ab+b2-c2=(a2-2a b+b2)-c2=(a-b)2-c2=(a-b+c)(a-b-c).(4)x2-2xy+y2-x+y-2=(x2-2xy+y2)-(x-y)-2=(x-y)2-(x-y)-2=(x-y-2)(x-y+1).4.用换元法分解因式例17 把多项式(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)-120分解因式.解：(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)-120=[(x+1)(x+4)][(x+2)(x+3)]-120=(x2+5x+4)(x2+5x+6)-120设x2+5x=y，则原式=(y+4)(y+6)-120=y2+10y+24-120=y2+10y-96=(y+16)(y-6)=(x2+5x+16)(x+6)(x-1).【说明】 (1)在分解这个多项式时，(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)化简时注意两两相乘时合理组合，创设出以(x2+5x)为主的多项式，进而整理.(2)采用把x2+5x作为一个整体（即换元法）的方法进一步因式分解.(3)要注意到x2+5x+16不能再分解，而(x2+5x-6)则可以继续分解.本章综合评价（一）一、训练平台 1.若3a 2b n-1与-21a m+1b 2是同类项，则( ) A.m=3,n=2B.m=2,n=3C.m=3,n=-23 D.m=1,n=32.a ，b ，c 都是有理数，那么a-b+c 的相反数是( )A.b-a-cB.b+a-cC.-b-a+cD.b-a+c3.下列去括号正确的是( )A.2y 2-(3x-y+3z)=2y 2-3x-y+3zB.9x 2-[y-(5z+4)]=9x 2-y+5z+4C.4x+[-6y+(5z-1)]=4x-6y-5z+1D.-(9x+2y)+(z+4)=-9x-2y-z-44.若a m =3，a n =2，则a m+n 等于( )A.5B.6C.8D.95.一个两位数，十位上的数字是a ，个位上的数字是b ，用代数式表示这个两位数是 .6.图15－21中阴影部分的面积为 .7.计算：(-0.5)2003·22004= . 8.计算：(-a b)3·(ab 2)2= .9.计算：(m+2n)(m-2n)= ,(7x-3y)( )=9y 2-49x 2，(x-2)(x+4)= , (3x+2y )2=(3x-2y)2+ .10.化简:(1)-(m-2n)+5(m+4n)-2(-4m-2n)； (2)3(2x+1)(2x-1)-4(3x+2)(3x-2).11.分解因式.(1)m2n(m-n)2-4mn(n-m)； (2)(x+y)2+64-16(x+y).12.已知a，b是有理数，试说明a2+b2-2a-4b+8的值是正数.二、探究平台1.从左到右的变形，是因式分解的为( )A.ma+mb-c=m(a+b)-cB.(a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3C.a2-4ab+4b2-1=a(a-4b)+(2b+1)(2b-1);D.4x2-25y2=(2x+5y)(2x-5y)2.下列各式中，能用平方差公式分解因式的是( )A.-a2+b2B.-a2-b2C.a2+b2D.a3-b33.如果(x-2)(x-3)=x2+px+q，那么p，q的值是( )A.p=-5，q=6B.p=1，q=-6C.p=1，q=6D.p=5，q=-64.(-a+b+c)(a+b-c)=[b-( )][b+( )].5.若x-y=2，x2-y2=10，则x+y= .6.若x+y=10，xy=24，则(x-y)2= .7.若m2+2(k-1)m+9是完全平方式，则k= .8.已知(x2+mx+n)(x2-3x+2)的展开式中不含x2项和x项，则m= ，n= .9.若(x-2)0=1，则x应满足的条件是 .10.化简.(1)20002-1999×2001； (2)(2x+7)(3x-4)+(3x+5)(3-2x).11.分解因式.(1)(a-2b)2-16a2；(2)x3-x2-4x+4.12.若3x3-x=1，则9x4+12x3-3x2-7x+2004的值等于多少？三、交流平台1.(1)计算:①(a-1)(a+1)；②(a-1)(a2+a+1)；③(a-1)(a3+a2+a+1)；④(a-1)( a4+a3+a2+a+1).(2)根据(1)中的计算，你发现了什么规律？用字母表示出来；(3)根据(2)中的结论，直接写出下题的结果.①(a-1)(a9+a8+a7+a6+a5+a4+a3+a2+a+1)= ；②若(a-1)·M=a15-1，求M；③(a-b)(a5+a4b+a3b2+a2b3+ab4+b5)= ；④(2x-1)(16x4+8x3+4x2+2x+1)= .2.如图15－22所示，有一个形如四边形的点阵，第1层每边有两个点，第2层每边有三个点，第3层每边有四个点，依此类推.(1)填写下表；(2)写出第n 层对应的点数； (3)写出n 层的四边形点阵的总点数；(4)如果某一层共有96个点，你知道它是第几层吗？ (5)有没有一层点数为100？(二)一、训练平台1.下列各式中，计算正确的是( )A.27×27=28B.25×22=210C.26+26=27D.26+26=2122.当x=23时，3(x+5)(x-3)-5(x-2)(x+3)的值等于( ) A.-239 B.-18 C.18 D.239 3.已知x-y=3，x-z=21，则(y-z)2+5(y-z)+425的值等于( )A.425B.25C.-25 D.04.设n 为正整数，若a 2n =5，则2a 6n -4的值为( )A.26B.246C.242D.不能确定5.(a+b)(a-2b)= .6.(2a+0.5b )2= .7.(a+4b)(m+n)= .8.计算:(1)(2a-b 2)(b 2+2a)； (2)(5a-b)(-5a+b).9.分解因式:(1)1-4m+4m 2；(2)7x 3-7x.10.先化简，再求值:[(x-y )2+(x+y)(x-y)]÷2x ，其中x=3，y=-1.5.二、探究平台:1.分解因式(a-b)(a 2-ab+b 2)-ab(b-a)为( )A.(a-b)(a 2+b 2)B.(a-b )2(a+b)C.(a-b)3D.-(a-b)32.下列计算正确的是( )A.a 8÷a 2=a 4(a ≠0)B.a 3÷a 4=a(a ≠0)C.a 9÷a 6=a 3(a ≠0)D.(a 2b)3=a 6b3.下列各题是在有理数范围内分解因式，结果正确的是( )A.x 4-0.1=(x 2+0.1)(x 2-0.1)B.-x 2-16=(-x+4)(-x-4)C.2x n +x 3n =x n (2+x 3)D.41-x 2=41(1+2x)(1-2x) 4.分解因式：-a 2+4ab-4b 2= .5.如果x 2+2(m-3)x+25能用公式法分解因式，那么m 的值是 .6.(3x 3+3x)÷(x 2+1)= .7.1.22222×9-1.33332×4= .8.计算:(1)12345678921234567890123456789112345678902⨯-；(2)20032002200220002002220022323-+-⨯-.9.分解因式:(1)x(m-x)(m-y)-m(x-m)(y-m)； (2)x 4-81x 2y 2.10.112--x x +x(1+x 1)，其中x=2-1.三、交流平台1.一条水渠其横断面为梯形，如图15－23所示，根据图中的长度求出横断面面积的代数式，并计算当a=2，b=0.8时的面积.2.已知多项式x3+k x+6有一个因式x+3，当k为何值时，能分解成三个一次因式的积？并将它分解.3.如果x+y=0，试求x3+x2y+xy2+y3的值.4.试说明无论m，n为任何有理数，多项式4m2+12m+25+9n2-24n的值为非负数.参考答案一、1.D 2.A 3.B 4.B 5.10a+b 6.21ab 7.-2 8.-a 5b 7 9.m 2-4n 2 -3y-7x x 2+2x-8 24xy 10.(1)原式=26n+12m ； (2)原式=13-24x 2.11.解：(1)原式=m 2n(m-n)2+4mn(m-n)=mn(m-n)[m(m-n)+4]=mn(m-n)(m 2-mn+4). (2)原式=(x+y-8)2. 12解：a 2+b 2-2a-4b+8=(a 2-2a+1)+(b 2-4b+4)+3 =(a-1)2+(b-2)2+3. ∵(a-1)2≥0，(b-2)2≥0， ∴(a-1)2+(b-2)2+3＞0， ∴原式＞0，即a 2+b 2-2a-4b+8的正数.二、1.D 2.A 3.A 4.a-c a-c 5.5 6.4 7.4或-2 8.76 749.x ≠2 10.(1)原式=1；(2)原式=12x-13.11.解：(1)原式=(a-2b+4a)(a-2b-4a)=(5a-2b)(-3a-2b)=-(5a-2b)(3a+2b).(2)原式=(x 3-x 2)-(4x-4)=x 2(x-1)-4(x-1) =(x-1)(x 2-4)=(x-1)(x+2)(x-2). 12解：∵3x 3-x=1，∴9x 4+12x 3-3x 2-7x+2004 =3x(3x 3-x)+4(3x 3-x)-3x+2004 =3x ×1+4×1-3x+2004=2008.∴9x 4+12x 3-3x 2-7x+2004的值等于2008.三、1.(1)①原式=a 2-1；②原式=a 3-1；③原式=a 4-1；④原式=a 5-1. (2)(a-1)(a n +a n-1+a n-2+…+a 3+a 2+a+1)=a n+1-1.(3)①a 10-1 ②M=a 14+a 13+a 12+a 11+…+a 3+a 2+a+1 ③a 6-b 6 ④32x 5-12.(1)4，8，12，16，20，24；4，12，24，40，60，84(2)4n (3)2n(n+1) (4)第24层 (5)有，第25层(二)一、1.C 2.B 3.D 4.B 5.a 2-ab-2b 2 6.4a 2+2ab+0.25b 2 7.am+an+4bm+4bn8.(1)4a 2-b 4. (2)-25a 2+10ab-b 2. 9.(1)(1-2m)2. (2)7x(x+1)(x-1).10.解：原式=(x-y)[(x-y)+(x+y)]÷2x=(x-y)·2x ÷2x=x-y.当x=3,y=-15时，原式=3-(-1.5)=4.5.二、1.A 2.C 3.D 4.-(a-2b)2 5.8或-2 6.3x 7.6.33328.(1)解：12345678921234567890123456789112345678902⨯- =)11234567891)(11234567891(123456789112345678902+-- =)11234567891(1234567891123456789022-- =112345678911234567891123456798022+- =1234567890.(2)解：20032002200220002002220022323-+-⨯-=2003)12002(20022000)22002(200222-+-- =20032003200220002000200222-⨯-⨯ =)12002(2003)12002(200022-- =20032000. 9.(1)(x-m)2(y-m). (2)x 2(x+9y)(x-9y)10.原式=1)1)(1(--+x x x +x ·xx 1+ =x+1+x+1=2x+2.当x=2-1时，原式=2(2-1)+2=22.三、1.提示：S=a 2-b 2，当a=2,b=0.8时，S=3.362.解：令x 3+kx+6=(x+3)(x 2+ax+b)，x 3+kx+6=x 3+(3+a)x 2+(3a+b)x+3b ，则有3+a=0，3a+b=k,3b=6,所以a=-3，b=2,k=-7,所以x 3-7x+6=(x+3)(x 2-3x+2)=(x+3)(x-1)(x-2).3.解：x 3+x 2y+xy 2+y 3=x 2(x+y)+y 2(x+y)=(x+y)(x 2+y 2)=0.4.解：4m 2+12m+25+9n 2-24n=4m 2+12m+9+16+9n 2-24n=(2m+3)2+(3n-4)2.因为(2m+3)2≥0,(3n-4)2≥0,所以(2m+3)2+(3n-4)2≥0,即无论m ，n 为何有理数，多项式4m 2+12m+25+9n 2-24n 的值恒为非负数.。