正、反比例函数的内容特点及教材分析第一部分：初中函数内容的知识框架结构1.函数在初中数学知识体系中的地位和作用函数是初中数学中的重要内容之一，它是从现实世界中抽象出来的，是从数量关系的角度刻画事物运动变化规律的工具。

函数知识渗透在初中数学的许多内容中，它又与物理、化学等学科知识密切相关。

同时函数本身也是一种重要的数学思想，运用函数的思想和方法，可以加深对一些代数问题的理解。

2.初中学习函数的意义和要求初中学习函数的意义是初步感受现实世界中除了确定的一些量——常量外，还有不少的量——变量，初步知道两个变量之间存在的关系，能利用这些关系来研究它们之间的一些基本性质。

初中学习函数的要求是理解函数的意义，理解正比例函数、反比例函数、一次函数和二次函数的概念，能画出它们的图像，并根据图像知道它们的一些基本性质。

3.教材内容安排的方式及要求所体现的思想函数内容在初中教材中主要分布在八年级和九年级中，八年级第一学期学习函数的概念，研究两个最简单的函数——正比例函数和反比例函数的有关图像和性质；八年级第二学期学习一次函数的有关图像和性质；九年级第一学期学习二次函数的有关图像和性质，九年级第二学期在拓展II中进一步对二次函数进行深入的研究。

这样首先出示基本概念，然后由易到难研究一些特殊函数的编排方式符合学生的认知规律，帮助学生充分理解函数的基本思想。

4.高中函数教学的介绍课程标准中指出：在初中学习函数的基础上，进一步理解函数是变量之间相互依赖关系的反映；学习用集合与对应的语言刻画函数，再从直观到解析、从具体到抽象，研究函数的性质，并能从解析的角度理解有关性质。

函数的基本知识是高中数学的核心内容之一，函数的思想和方法贯穿于高中数学。

第二部分：函数知识内容的教学研究（一）函数内容的知识体系初中学习函数主要是让学生对函数有一个初步的认识，知道生活中的变量关系，能用函数的思想处理一些简单的问题，因此初中函数内容的知识体系是，先介绍函数的概念，然后以两个最简单的函数（正比例函数和反比例函数）作为载体，让学生理解函数的图像与一些性质，再介绍函数常用的三种表示方法，最后再分别研究现实生活中经常遇到的另外两个简单而常用的函数（一次函数和二次函数），使学生对函数有一个较完整的理解，并能进行简单的应用。

（二）函数内容的教材分析及教学注意事项1．函数的相关概念教材分析及教学注意事项(1)函数相关内容的概念框架与知识结构函数的定义域实际问题---变量与常量---函数--- 函数值函数的表示法（2）函数相关内容的教学目标、教学重点及教学难点分析通过身边的事例和生活中的实例，直观地认识变量以及变量之间的相互依赖关系，体会函数的意义，以及函数的三种常用的表示方法和数形结合的思想。

教学目标:①通过实例认识变量与常量，理解变量之间的相互依赖关系，能用运动、变化的观点看待相关数量问题，能从两个变量之间相互联系、相互依赖的角度理解函数的意义。

②知道函数的定义域、函数值等概念，知道符号“y=f(x)”的意义，会根据函数解析式和实际意义求函数的定义域，初步理解自变量的值与函数值之间的对应关系，会根据函数解析式求函数值。

③知道函数的三种表示方法，以及它们的优势与不足，知道函数图像的意义，能借助函数图像的直观性，用语言描述函数的基本性质，体会数形结合思想。

重点难点:理解函数的概念，知道符号“y=f(x)”的意义，会求函数的定义域，能借助图像认识函数的一些基本性质。

（3）教材分析教材分析：①变量、常量通过有关长度的数量关系的实例引入，能使学生更容易理解。

②变量、常量是相对的，是要结合实际问题具体分析，比如在行程问题中的三个量，路程S、速度v和时间t，在匀速运动时存在这样的关系：S=vt，如果假定速度v不变，那么路程S就随时间t的变化而变化，S和t就是变量，v就是常量；如果假定路程S不变，那么时间t就随速度v的变化而变化，v和t就是变量，S是常量。

③例题1通过摄氏度与华氏度的转化，揭示这两个变量之间存在相互依赖的关系，并且这种相互依赖的关系能够用等式——函数解析式表示出来，注意“边款语”，3259+=tF与3259+=ty的一致性，即它们所表示的两个变量之间的依赖关系是完全一样的。

④例题2主要通过图像、表格的形式表示两个变量之间的相互依赖关系，为进一步学习函数的表示方法做准备。

此处还要让学生理解函数图像与学生原有的生活经验的一致性，看得懂函数图表中两个变量之间的相互依赖关系。

⑤通过取数字填表操作，使学生理解自变量的取值是有要求的，这个要求就是函数的定义域，每一个函数都有定义域，对于用解析式表示的函数，如果不加说明，那么这个函数的定义域就是使这个函数解析式有意义的一切实数，在初中阶段，我们主要考虑两个方面的问题：分式的分母不能为零，偶次根式的被开方数非负。

例题3就是说明如何根据解析式来求定义域⑥例题4主要说明如何求函数的解析式和如何求函数的定义域，此处的定义域由于有实际的背景，因此不能简单地按照解析式来看，更要关注符合实际意义。

⑦为了进一步研究函数的方便，引入函数的记号y=f(x)，这个对学生来讲相当抽象，也不容易理解，因此一定要用一些实例来说明括号内的字母x表示自变量，f表示对应法则，即y随x的变化而变化的规律，另外再配以例题5求函数值的计算，让学生理解。

⑧通过实例引入了函数的三种表示方法，并说明各种表示方法的优劣，在教学中也要让学生充分理解。

⑨本节通过几个例题，进一步说明如何求函数的解析式和定义域，但此处更要关注的是例题2和例题5，应再一次帮助学生学会如何从函数的图像中获得信息解决问题。

根据以往的经验，从表格中获得有关信息，学生比较容易接受和掌握，但从图像中获得有关信息，是学生学习的一个难点，在教学中要引起足够的重视。

正比例函数教材分析及教学注意事项（1）正比例函数相关内容的概念框架与知识结构正比例正比例函数的图像实际问题--- 正比例函数---正比例函数的性质比例系数（2）正比例函数相关内容的教学目标、教学重点及教学难点分析正比例、正比例函数是我们生活实际中经常遇到的一个数学概念，正比例函数也是最简单的一个函数，通过研究、学习正比例函数的有关知识，使学生初步体会研究函数的方法，以利于继续研究、学习其他一些函数的知识。

教学目标①通过分析现实生活中具有正比例关系的具体事例，引进正比例函数，从而理解正比例函数的概念，初步获得从数量方面把握事物运动变化的规律和事物之间相互联系的体会。

②能根据条件求正比例函数的解析式，从中体会待定系数法。

③通过画图像的操作实践，体验“描点法”，理解正比例函数的图像是一条经过原点的直线，会画正比例函数的图像。

④借助正比例函数图像的直观性，认识正比例函数的一些基本性质，并能用数学语言进行描述，进而掌握这些基本性质。

重点难点理解正比例函数的概念，初步学会用待定系数法求正比例函数的解析式；知道正比例函数的图像是一条经过原点的直线，并能根据图像掌握正比例函数的一些基本性质。

（3）教材分析教材分析：①通过实例，先引进正比例的概念：如果两个变量的每一组对应值的比值是一个常数（这个常数不等于零），那么就说这两个变量成正比例，为后面引入正比例函数作准备。

②正比例函数的定义是采用形式化的定义，即形如y=kx（k≠0）的函数叫做正比例函数，教材中的表述略有不同。

定义域是根据解析式，x为一切实数。

③例题1主要目的是让学生具体认识正比例函数和它的比例系数，体会正比例函数是由它的比例系数完全确定的，同时复习巩固函数值的概念和求法。

④例题2让学生体验正比例函数的解析式中只有一个系数，因此只要有两个变量的一组对应值就可以确定这个函数的解析式的过程，从而体验重要的数学方法——待定系数法：只要数学模型已知，而其中的一些系数未知，那么就可以采用待定系数法解决问题。

教材中特别在例题后的想一想中直截了当地提出这个问题。

⑤通过画正比例函数y=2x的图像，了解用“描点法”画函数图像的三个步骤：列表、描点、连线，并得到这个函数的图像，再通过画正比例函数y=-2x的图像，归纳得到正比例函数y=kx的图像是一条经过原点和（1，k）的直线。

教师归纳解释时应从纯粹性和完备性两个方面表述，但对学生不作过高要求，只让他们有所认识、有所体验。

⑥例题3是让学生在已知正比例函数图像是一条经过原点的直线的基础上，画正比例函数的图像。

此时应该让学生明白：两点确定一条直线，因此要画一条直线，只需描出两点就可以了，而且其中的一点是坐标原点。

⑦在学会画正比例函数的图像的基础上，来学习正比例函数的有关性质，一定要让学生学会看图，结合图像理解性质。

思考引入就是这个目的，从而得到图像经过的象限和有关正比例函数的增减性，体验数形结合的思想。

另外要给学生交代清楚的是，这些性质反之也成立。

⑧例题4就是利用正比例函数的性质求字母a，让学生熟悉正比例函数性质，比例系数与它的增减性的关系。

⑨例题5是通过一个实例，让学生体验生活中正比例函数的应用，进一步感受到生活中处处有数学，数学来源于生活服务于生活的事实。

同时也让学生主要到具体问题中的函数定义域要根据具体情况来确定，本例尽管解析式是正比例函数y=0.2x的形式，但根据实际意义，定义域是0≤x≤10，因此画出的函数图像是一条线段，它是直线y=0.2x上的一部分。

反比例函数教材分析及教学注意事项（1）反比例函数相关内容的概念框架与知识结构反比例反比例函数的图像实际问题--- 反比例函数---反比例函数的性质比例系数（2）反比例函数相关内容的教学目标、教学重点及教学难点分析反比例、反比例函数也是我们生活实际中经常遇到的一个数学概念，它与正比例函数一样，也是最简单的一个函数之一，通过研究、学习反比例函数的有关知识，使学生进一步体会研究函数的方法，特别是如何画函数的图像，以及如何根据函数的图像掌握函数的性质。

教学目标①通过分析现实生活中具有反比例关系的具体事例，引进反比例函数，从而理解反比例函数的概念，进一步获得从数量方面把握事物运动变化的规律和事物之间相互联系的体会。

②能与正比例函数进行类比，根据条件求反比例函数的解析式，进一步体会待定系数法。

③通过画图像的操作实践，进一步体验“描点法”，理解反比例函数的图像是双曲线，会画反比例函数的图像。

④借助反比例函数图像的直观性，认识反比例函数的一些基本性质，并能用数学语言进行描述，进而掌握这些基本性质。

重点难点在研究反比例函数的有关性质时，能与正比例函数进行类比，运用研究正比例函数的方法研究反比例函数；知道反比例函数的图像是双曲线，研究它的增减性时注意“在每个象限内”这一关键的条件。

（3）教材分析①通过两个实例引出反比例的概念：如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成反比例。