特征函数是概率密度函 数的傅里叶变换
运用傅里叶反变换即可 求得特征函数
例题 已知随机变量服从正态分布N(0,1)，求它的特征函数
特征函数的性质 1. |CX(u)|≤CX(0)=1 2. X的特征函数为CX(u)，则Y=aX+b的特征函数为
C Y ( u ) = e jub C X ( au )
例：设X～N(0,1)，求Y=σXX+mX的特征函数
第五章： 正态过程
本章预备知识 多维随机变量的定义与协方差矩阵 多维正态随机变量的性质 正态随机过程的定义 正态随机过程的性质
本章预备知识：特征函数
为什么要引入特征函数？
通过随机变量可以描述随机现象，通过随机变量的分布函数来 了解它的统计规律，通过数字特征来掌握分布函数的某些特 征。但是，数字特征一般由各阶矩所决定，随着阶数的增高， 求矩的计算，常需采用概率密度积分的方法，这很麻烦。 随机现象往往需要多个随机变量来描述，即使是两个相互独立 的随机变量的求和或积，求它们的分布函数也不简单。 用特征函数求随机变量的各阶矩，只需对特征函数进行微分运 算，这比积分运算简单的多。
推广到n个 C X1LX n (u1 ,L, un−1 ,0,0,L,0) = C X1LX n (u1 ,L, un−1 )
3、线性变换 r r r rT r 已知 CX (u ) 且 Y = AX + b ，则
C
r Y
rT (v ) = e
rT r jv b
C
r X
rT (v A )
多维随机变量的定义
证明
r v r r C X ( u ′) = e 2、n维正态随机向量 X ~ N (a , 1 r r j u ′a − u ′C u 2
3、n元正态分布中任意m维y向量亦为正态分布
证明
4、n元正态随机变量的线性变换也为正态随机变量。 即若
r X
v r r 为正态，则 Y = AX + b 亦为正态随机变量。
f X1 ( x) = 1 2π 1 2π
− ( x1 −a1 )2 2σ12
e
−
( x2 − a2 ) 2 2σ 2 2
f X 2 ( x) =
e
2 2 因此其边际分布为一维正态分布 X1 ~ N(a1,σ1 ) ， 2 ~ N(a2,σ2 ) X
二维正态分布的协方差矩阵可表示为
⎛ σ 12 C =⎜ ⎜ ρσ σ ⎝ 1 2
只需证明其特征函数亦为正态特征函数
r 5、若 X 为n维正态随机向量，那么X1,X2, …,Xn相互独立的充要条件
是两两互不相关。 证明
正态随机过程
定义： 若随机过程X(t)的任意n维分布都是n维正态分布，则称X(t)是正态随机 过程（高斯过程）。
正态随机过程的性质： 1. 若正态随机过程为宽平稳，则必为严平稳。 宽平稳特点 X(t)的期望为常数，与时间原点无关 X(t)的相关函数只是时间差t的函数 2. 正态随机过程通过线性系统，其输出亦为正态随机过程。 证明
试确定随机变量X(t),X(t+1),X(t+3)的协方差矩阵。
C X 1L X n (u1 L u n ) = E e
[
ju 1 x 1 + L + ju n x n
]
rT r r C X ( u ) = E [ e ju X ]
多维随机变量特征函数的性质 1. X1和X2统计独立的充要条件是
C X 1 X 2 (u 1u 2 ) = C X 1 (u 1 )C X 2 (u 2 )
r 则称 X
r r 为n维正态随机变量，其中C为n维实对称正定阵。记为 X ~ N (a , C )
n维随机变量的性质
r r r r r 1. 若 X ~ N (a , C ) ，则存在n阶正交矩阵A，使得向量 Y = A( X − a) 中的分
量Y1,Y2, …,Yn是独立的随机变量，且Yi为一维正态分布N(0,di)。
二维正态随机变量的概念： 若随机变量X1,X2的联合概率密度函数可以表示为
f (x1, x2 ) =
1 2πσ1σ 2 1 − ρ 2
− exp{
x −a (x − a )(x − a ) 1 [( 1 1 )2 − 2ρ 1 1 2 2 ]} σ1σ 2 2(1 − ρ 2 ) σ1
则称X1,X2为二维正态随机变量。其中ρ为X1和X2的相关函数。 对于上述二维随机变量，其边际密度可表示为
例题1： 设平稳正态过程X(t)均值为0，相关函数RX(τ)=(e-2|τ|)/4，求对给定时 刻t1，X(t1)的值在0.5和1之间的概率。
例题2： 设有随机过程X(t)=Acosw0t+Bsinw0t，其中A与B为两个独立的正态随机 变量，且E[A]=E[B]=0，E[A2]=E[B2]=σ2，w0为常数，求X(t)的一维，二 维密度函数。
ρ
二维正态随机变量的联合密度也可表示为 r r 1 1 r r f ( x1 , x2 ) = exp{− ( x − a )′C −1 ( x − a )} 1 2 2π | C | 2 其中 x = ( x1 , x 2 ),
r
r a = ( a1 , a 2 )
n维正态随机变量的定义： 若n维随机变量的联合密度函数为 r r r 1 1 r r r f X ( x) = exp{− ( x − a )′C −1 ( x − a )} 1 n 2 2 | C |2 (2π )
推广至n个， C X 1 L X n ( u1 L u 2 ) = C X 1 (u1 ) L C X n ( u n ) 2. 边际特征函数
C X 1 X 2 ( u1u 2 )
C X 1 (u1 ) = C X 1 X 2 (u ,0) C X 2 (u 2 ) = C X 1 X 2 (0, u )
d n C X (u ) 3. 矩定理： E[ X n ] = ( j ) − n du n
u =0
例题： 设随机变量X服从正态分布N(mX,σX2)，用特征函数求 随机变量的数学期望。
多维随机变量的特征函数：
⎛X ⎞ r ⎜ 1⎟ X =⎜ M ⎟ ⎜X ⎟ ⎝ n⎠ ⎛ u1 ⎞ r ⎜ ⎟ u =⎜ M ⎟ ⎜u ⎟ ⎝ n⎠
作业
1. X(t)＝Xcos2πt+Ysin2πt，式中X和Y是独立的随机变 量，且均值为0，方差为σ2，求X(0),X(1/4),X(1/2)的 协方差矩阵。 2. 正态随机变量X(t)有自相关函数 (1) (2)
R X (τ ) = 6 e
R X (τ ) = 6
− |τ | 2
sin πτ
πτ
ρσ 1σ 2 ⎞ ⎟ 2 ⎟ σ2 ⎠
二维正态分布的协方差矩阵具有如下性质： 1. 实对称； 2. 正定阵 3. 其逆矩阵可表示为 C −1
1 ⎛ ⎜ 2 2 ⎜ σ 1 (1 − ρ ) = ⎜ ρ − ⎜ 2 ⎝ (1 − ρ )σ 1σ 2 − ⎞ ⎟ (1 − ρ 2 )σ 1σ 2 ⎟ ⎟ 1 ⎟ 2 σ 2 (1 − ρ 2 ) ⎠
特征函数的定义： 设X为随机变量，称ejux的数学期望E[ejux] 为X的特征函数。简记为CX(u)
若X为离散型随机变量
C X (u ) =
∑e
i=0
∞
jux
i
p (X = x i )
若X为连续型随机变量
C
X
(u ) =
∫
∞ −∞
e
jux
f ( x ) dx
f ( x) =
1 2π
∫
∞
−∞
C X ( u ) e − jux du