6.1 平稳随机过程的概念
定义6.3 设{X(t)，t ∈T }是随机过程，如 果对任意正整数n和 t1, t2, …, tn∈T, (X(t1), X(t2), …, X(tn))是n维的正态随机 变量，则称{X(t)，t ∈T }为正态过程或 高斯过程。
6.1 平稳随机过程的概念
宽平稳过程 严平稳过程 严平稳过程
n→∞
lim 则(1) l.i.m cn = n→∞ c n = c n→∞ (2) l.i.m U = U n→∞ (3) l.i.m c nU = cU
n→∞
n→∞
n→∞
6.3 随机分析简介
(4) (5) (6)
l.i.m(aX n + bYn ) = aX + bY
n→∞
lim EX n = EX = E l.i.m X n
二阶矩存在 正态过程
严平稳过程 宽平稳过程 宽平稳过程
6.1 平稳随机过程的概念
例6.1 设X(t)=Ycos(θt)+Zsin(θt), t >0， 且Y, Z相互独立，EY=EZ=0， DY=DZ=σ2，试讨论随机过程{X(t), t >0} 的平稳性。 解: m X (t ) = EX (t ) = E[Y cos(θt ) + Z sin(θt )] = cos(θt ) EY + sin(θt ) EZ = 0
[
]
若对T中的一切点都均方连续，则称X(t) 在T上均方连续。
h→ 0
6.3 随机分析简介
E | X (t + h) X (t ) |2 = R X (t + h, t + h) R X (t , t + h) R X (t + h, t ) + R X (t , t )
[
]
定理6.4（均方连续准则） 6.4 二阶矩过程{X(t), t∈T}，在t点均方连续 的充要条件为相关函数RX(t1,t2)在点(t,t) 处连续。 推论 若相关函数RX(t1,t2)在{(t,t)，t∈T} 上连续，则它在T×T上连续。
2
+ sin(θs ) sin(θt ) E ( Z 2 ) = cos(θs ) cos(θt ) DY + sin θ ( s + t ) EYEZ + sin(θs ) sin(θt ) DZ = cos(θs ) cos(θt )σ 2 + sin(θs ) sin(θt )σ 2 = σ 2 cos[(t s )θ ]
1 1 = ∫ {cos( 2πτθ ) cos[2π (2t τ )θ ]}dθ 2 0 1 ,τ = 0 = 2 0 , τ ≠ 0
所以X(t) 是平稳过程。
6.2 联合平稳随机过程
定义6.4 设{X(t)，t ∈T }和{Y(t)，t ∈T }是 两个平稳过程，若它们的互相关函数 E[X(t)Y(t-τ)]及E[Y(t)X(t-τ)]仅与τ有关， 而与t无关，即 RXY(t, t-τ)=E[X(t)Y(t-τ)]=RXY(τ) RYX(t, t-τ)=E[Y(t)X(t-τ)]=RYX(τ) 则称X(t)和Y(t)是联合平稳随机过程。
依分布收敛
6.3 随机分析简介
定理6.1（柯西收敛定理） 6.1 二阶矩随机序列{Xn}收敛于二阶矩随机变 量X的充要条件是
n , m →∞
lim E | X n X m | = 0
2
[
]
6.3 随机分析简介
定理6.2 设{Xn}, {Yn}, {Zn},都是二阶矩随 机序列，U是二阶矩随机变量，{cn}为常 数序列，a,b,c为常数，令 l.i.m X n = X , n→∞ l.i.m Yn = Y , l.i.m Z n = Z , lim cn = c
n→∞
n→∞
[
n→∞
lim E [X nYn ] = E[ XY ] = E l.i.m X n l.i.m Yn
n→∞
[
]
n→∞
2
lim E X n
[ ]
2
n→∞
]
= E[ X ] = E l.i.m X n n→∞
2
6.3 随机分析简介
定理6.3 (Loeve均方收敛准则) 设{Xn} 为二阶矩随机序列，则{Xn}均方收 敛的充要条件是下列极限存在
所以{Xn,n=0, ±1, ±2,…}是平稳随机序列。
6.1 平稳随机过程的概念
例6.3 设状态连续、时间离散的随机过程 X(t)=sin(2π Θ t) ，其中 Θ 是(0,1)上的均 匀分布随机变量，t只取整数值1,2,…， 试讨论随机过程X(t)的平稳性。 解:
E [ X (t )] = E [s in ( 2π Θ t )] = =
6.3 随机分析简介
三、均方导数 定义6.7 二阶矩过程{X(t),t∈T}，若存在 随机过程X′(t)，满足
2 X (t + h) X (t ) lim E X ′(t ) = 0 h→0 h
则称X(t)在t点均方可微，记作 dX ( t ) X ( t + h) X (t ) = l.i.m X ′( t ) = h→ 0 dt h 并称X′(t)为X(t)在t点的均方导数。
∫ ∫
∞ ∞ 1 0
s i n ( 2 π θ t ) f (θ ) d θ
s in ( 2π θ t ) d θ = 0
6.1 平稳随机过程的概念
RX (t , t τ ) = E[ X (t ) X (t τ )] = ∫ sin( 2πθt ) sin[ 2πθ (t τ )]dθ
0 1
n →∞
或称{Xn}几乎处处收敛于X (e) ，记作
X n X →
a.e
6.3 随机分析简介
定义6.3 设有二阶矩随机序列{Xn(e)}依概 率收敛于二阶矩随机变量X(e) ，若对于 任意的 ε > 0 有 lim P{e || X n (e) X (e) |≥ ε } = 0
n →∞
记作
P X n X →
6.2 联合平稳随机过程
证明： RXY (t , t τ ) = E[ X (t )Y (t τ )]
= E[ A sin(ωt + Θ) B sin(ωt ωτ + Θ )] 1 = ∫ AB sin(ωt + θ ) sin(ωt ωτ + θ ) dθ 0 2π AB 2π 1 = ∫0 2 [cos(ωτ + ) 2π cos(2ωt ωτ + 2θ )]dθ 1 = AB cos(ωτ + ) = RXY (τ ) 2
2π
6.3 随机分析简介
将微积分中普通函数的极限、连续、 导数和积分等概念推广到随机过程上， 产生随机分析。
6.3 随机分析简介
一、随机序列的极限 定义6.2 设有二阶矩随机序列{Xn(e)}以概 率1收敛于二阶矩随机变量X(e) ，若使 lim X n (e) = X (e)
n →∞
成立的e组成的集合的概率为1，即 P{e | lim X n (e) = X (e)} = 1
6.3 随机分析简介
定义6.4 设有二阶矩随机序列{Xn}和二阶 矩随机变量X，若有 2 lim E | X n X | = 0
n→∞
[
]
成立，则称{Xn}均方收→∞
(mean square)
(limit in mean)
6.3 随机分析简介
6.2 联合平稳随机过程
时间增量 正交增量过程 独立增量过程 平稳独立增量过程
EX2＜∞ EX=0，EX2＜∞
时间平移 宽平稳随机过程 严平稳随机过程
维纳过程
泊凇过程
高斯过程
增量服从正态分布
增量服从泊凇分布 马尔可夫过程 时间记忆
有限维联合变量服从 正态分布
6.2 联合平稳随机过程
例6.4 设X(t)=Asin(ωt+Θ )， Y(t)=Bsin(ω t+Θ -)为两个平稳过程， 其中A,B,ω 是常数， 是(0,2π)上的均匀 Θ 分布随机变量，试证：X(t)和Y(t)是联合 平稳随机过程。
6.2 联合平稳随机过程
命题：当X(t)和Y(t)是联合平稳随机过程 命题： 时，W(t)=X(t)+Y(t)是平稳随机过程。 证明：事实上，EW(t)=EX(t)+EY(t)=常数 证明： ， [W ( t )W ( t τ )] E
= E [ X ( t ) + Y ( t )][ X ( t τ ) + Y ( t τ )] = E [ X ( t ) X ( t τ ) + X ( t )Y ( t τ ) + Y ( t ) X ( t τ ) + Y ( t )Y ( t τ )] = E [ X ( t ) X ( t τ )] + E [ X ( t )Y ( t τ )] + E [Y ( t ) X ( t τ )] + E [Y ( t )Y ( t τ )] = R X (τ ) + R XY (τ ) + RYX (τ ) + RY (τ ) = RW (τ )
定义6.5 设有二阶矩随机序列{Xn}依概率 收敛于二阶矩随机变量X ，若{Xn}相应的 分布函数列{Fn(x)},在X的分布函数F(x)的 每一个连续点处有 lim Fn ( x) = F ( x)
n →∞
记作
d X n X →
6.3 随机分析简介
收敛关系
依概率收敛 随 机 序 列 几乎处 处收敛 均方 收敛
6.1 平稳随机过程的概念
定义6. 2 设{X(t)，t ∈T }是随机过程，并 满足： (1){X(t)，t ∈T }是二阶矩过程； (2)对任意t ∈T ，mX(t)=EX(t)=常数； (3)对任意s, t ∈T ， RX(s, t)=E[X(s)X(t)]=RX(t-s)， 则称{X(t)，t ∈T }为宽平稳过程，也称广 义平稳过程，简称平稳过程。 若T为离散集，称平稳过程{Xn，n∈T }为 平稳序列。