3．1 已知一维单原子链，其中第j 个格波，在第n 个格点引起的位移nj μ为：
sin()
nj j j j j a t naq μωδ=++
j δ为任意相位因子。

并已知在较高温度下每个格波的平均能量为B k T 。

具体计算每
个原子的平方平均位移。

解：（１）根据2011
sin ()2
T j j j t naq dt T ωδ⎰++= 其中2j
T π
ω=
为振动周期，
所以222
21
sin ()2
nj j j j j j a t naq a μωδ=++=
（２） 第j 个格波的平均动能 （３） 经典的简谐运动有：
每个格波的平均动能＝平均势能＝1
2格波平均能量＝12
B k T 振幅222B j j k T a Nm ω=
， 所以 2
22
12B nj j j
k T a Nm μω==。

而每个原子的平方平均位移为：222221
()2
B n nj nj j j
j
j
j
j
k T
a Nm μμμω====∑∑∑∑。

３．２讨论N 个原胞的一维双原子链（相邻原子间距为a ），其２N 个格波的解。

当m M =时与一维单原子链一一对应。

解：（１）一维双原子链： 22q a a
π
π
-
≤<
声学波：1
222
2
411sin ()m M mM aq mM m M ωβ-⎧⎫⎡⎤+⎪⎪=--⎨⎬⎢⎥+⎣⎦⎪⎪
⎩⎭
当m M =时，有
2
224(1cos )sin 2
aq
aq m m ββω-=
-= 。

光学波：1
222
2
411sin ()m M mM aq mM m M ωβ+⎧⎫⎡⎤+⎪⎪=+-⎨⎬⎢⎥+⎣⎦⎪⎪
⎩⎭
当m M =时，有
2
2
24(1cos )cos 2
aq
aq m m ββω+=
+= 。

（２）一维双原子链在m M =时的解 22224sin 2422cos 2aq m q aq a
a
m βωπ
π
βω-+⎧=⎪⎪-
≤<
⎨
⎪=⎪⎩
与一维单原子链的解 224sin 2
aq
q m a
a
βπ
π
ω=-
≤<
是一一对应的。

3．5已知NaCl 晶体平均每对离子的相互作用能为： 其中马德隆常数 1.75,9a n ==,平衡离子间距0 2.82r =?。

（１） 试求离子在平衡位置附近的振动频率。

（２） 计算与该频率相当的电磁波的波长，并与NaCl 红外吸收频率的测量只值
61μ进行比较。

解：（1）处理小振动问题，一般可采用简谐近似，在平衡位置附近，可将互作用能展开至偏差0r r δ=-的二次方项。

224
00002
00
()()1()()()2U r U r U r U r O δδδδδδδδδδ==∂+∂++=+⋅+⋅+∂∂ （1） 其中
00
()
0U r δδδ=∂+=∂ 为平衡条件。

由0r 已知可确定β：
2
10n q r n
αβ-=。

（2）
根据（1）式，离子偏离平衡位置δ所受的恢复力为：
2'
002
()()U r U r F δδδδβδδδ=∂+∂+=-=-⋅=-∂∂ （3）
故恢复力常数为0
2'
2
23
()1r U r n q r r βα∂-==∂。

（4） 对于离子晶体的长光学波，
(0)ω+=
= （5） 将Na 的原子质量2423 1.6610m g -=⨯⨯, Cl 的原子质量2435.5 1.6610M g -=⨯⨯， 基本电荷电量104.80310q esu -=⨯ 代入上式，得 （２） 相对应的电磁波波长为
8614
22 3.14 2.998101710171.1110
c m m π
λμω-⨯⨯⨯===⨯=⨯ （6） 对应与远红外波，与NaCl 红外吸收频率测量值在同一数量级。

[注：如采用国际单位制进行计算，因在（2）式前乘一因子
90
18.99104k πε=
=⨯牛顿米2
/库仑 ]
3．6 求出一维单原子链的频率分布函数()ρω。

解：一维单原子链的色散关系为： 222
2
4sin sin 22
m aq aq m βωω=
=，
其中m ω= sin
2
m aq
ωω=,
振动模式的数目：2222cos
22
m Na Na d dn dq a aq ωωππω=⨯
=⨯⨯=
所以()0m m
g ωωωωω≤=>⎩
3．7设三维晶格的光学振动在0q =附近的长波极限有：
求证：频率分布函数为 12
023/201()()40V g A ωωωωωπωω⎧-<⎪=⎨⎪≥⎩
证明：由20()q Aq ωω=-， 得()2q q Aq ω∇=。

故频率分布函数为 12
023/201()()40V g A ωωωωωπωω⎧-<⎪=⎨⎪≥⎩
3．8有N 个相同原子组成面积为S 的二维晶格，在德拜近似下，计算比热，并讨论在低温极限比热正比于2T 。

解：（1）q r
空间的状态密度为
2
(2)
S
π。

每个q r
对应一个纵波，c q ω=P ， 每个q r
对应一个横波，c q ω⊥=。

所以d ω范围的状态数应包括纵波和横波的状态数： 其中
2
221111()2c c c
⊥
=
+P 由于晶格振动模数有限，则晶格振动最高频率由
决定。

由此得12
4()D N c S
πω=。

比热222
2
2
()()()2(1)(1)B B D D B B k T k T B
B
V B B k T
k T
e e k T k T S c k g d k d c
e
e
ω
ω
ωωω
ω
ωωωωωωπ==--⎰⎰
h h h h h h
令B x k T
ω
=
h ， D B D k ω=Θh , D Θ—德拜温度。

322
04()(1)D x
T v B x D T x e c Nk dx e Θ=Θ-⎰。

（2）在低温极限 0T →，
D
T
Θ→∞，
322
22
04()24()(1)x v B B x D D
T x e T c Nk dx Nk T e ∞==∝Θ-Θ⎰， 与三维情况下的德拜3T 律相对应。

3．10设晶体中每个振子的零点震动能12
ωh ，试用德拜模型求晶体的零点振动能。

解： 根据德拜理论，cq ω=，可得晶格频率分布函数为
223
3()2V
g c
ωωπ=。

存在m ω，在m ωω≤范围的振动都可用弹性波近似，m ω则根据自由度确定如下：
2
230
3()32m
m V g d d N c ωωωωωωπ==⎰
⎰。

或1
3
26()m N c V ωπ⎡⎤=⎢⎥⎣
⎦。

因此固体总的零点振动能为
00
19
()28
m m E g d N ωωωωω==⎰
h h 。

3．11一维复式格子245 1.6710m g -=⨯⨯，4M
m
=， 1.510/N m
β=⨯（即41.510/)dyn cm ⨯，求：
（１） 光学波max O ω，min O ω， 声学波max A ω。

（２） 相应声子能量是多少电子伏特。

（３） 在300K 时的平均声子数。

（４） 与max O ω相对应的电磁波在什么波段。

解：（1） （2）ε=h ω
（3）在300T K =相应的能量：
因此在室温只能激发声学声子，平均声子数为
（4）8513
max
22 3.14 2.98810 2.810286.7010
O c
m m πλμω-⨯⨯⨯=
==⨯=⨯。

此波长处在红外波段。