141第六章 自由电子论和电子的输运性质习题1. 一金属体积为V ，电子总数为N ，以自由电子气模型 （1）在绝热条件下导出电子气的压强为.320V U P=其中 .5300F NE U = （2）证明电子气体的体积弹性模量 .910350VU P K ==【解 答】（1）在绝热近似条件下，外场力对电子气作的功W 等于系统内能的增加dU ，即 ,PdV W dU-==式中P 是电子气的压强.由上式可得.VUP ∂∂-= 在常温条件下，忽略掉温度对内能的影响，则由《固体物理教程》（6.5）式得.325353322200⎪⎭⎫ ⎝⎛===πV N m N NE U U F由此得到=∂∂-=V U P 0()().32323253053222VU V N mN =∙-π （2）由《固体物理教程》（2.11）式可知，体积弹性模量K 与压强P 和体积V 的关系为.VKV P -=∂∂ 将=∂∂V P ()().91035323253038222VU V N mN -=∙--π 代入体积弹性模量K 与压强P 和体积V 的关系式，得到 .9100VU K=2.二维电子气的能态密度(),2πm E N =证明费米能 ],1ln[2-=Tm k n B F B eT k E π其中n 为单位面积的电子数.【解 答】由已知条件可得单位面积金属的电子总数 ()()().120⎰⎰∞-∞+==Tk E E B F edE mdE E f E N n π142作变量变换,Tk E E x B F-=则有⎰⎰∞---∞-+=+=T k E x x B T E x B B FB Fe dxe Tmk e dx Tmk n 1122ππ()(),1ln 1ln 22Tk E B Tk E x B B F B F e Tmk e Tmk +=+-=∞--ππ即TE BF e +1=Tmk n B e2 π.由上式解得()1ln 2-=Tm k n B F B e T k Eπ3.金属膨胀时，价带顶能级 发生移动 VV E E C∆-=∆1证明.321F E E =【解 答】 解法一：金属中自由电子的费米能(),32323232223222-=⎪⎭⎫ ⎝⎛==AV V N m n mE F ππ可认为是能带顶，式中().32222πN mA =当金属体积膨胀后，体积由V 变成了VV V ∆+='，费米能变成了()2-∆+='V V A E F()32321--⎪⎭⎫⎝⎛∆+=V V V A().3212⎪⎭⎫⎝⎛∆+≈-V V V A 费米能的变化量 .32⎪⎭⎫⎝⎛∆-=-'=∆VVE E E EF F F F 与已知条件比较可得 .321F E E =解法二：143由《固体物理教程》（5.103）式可知，自由电子的能态密度 ().23212322E m V E N ⎪⎭⎫⎝⎛= π电子总数().232323220F E E m V dE E N N F⎪⎭⎫ ⎝⎛==⎰π金属膨胀后，能态密度增大，费密能级降低，但电子总数不变，即()().232323220FE E m V dE E N N F'⎪⎭⎫⎝⎛'='=⎰π 由以上两式解得 ()[],322323⎪⎭⎫⎝⎛∆-=-'=-'=∆--V V E V V A E E EF F F.321F E E = 4.由同种金属制做的两金属块，一个施加30个大气压，另一个承受一个大气压，设体积弹性模量为21110m N ，电子浓度为328105m ⨯，计算两金属块间的接触电势差.【解 答】两种金属在同一环境下，它们的费密能相同，之间是没有接触电势差的.但当体积发生变化，两金属的导电电子浓度不同，它们之间将出现接触电势差.设压强为0时金属的费密能为F E ，金属1受到一个大气压后，费密能为1F E ，金属2受到30个大气压后，费密能为2F E ，则由《固体物理教程》（6.25）式可知，金属1与金属2间的接触电势差 ().12121F F E E eV V -=- 由上边第3题可知.32,322211⎪⎭⎫⎝⎛∆-=⎪⎭⎫⎝⎛∆-=V V E E E V V E E E F F F F F F由《固体物理教程》（2.10）式可知，固体的体积变化V ∆与体积弹性模量K 和压强P 的关系为 ,VVKP ∆-= 所以().3232212121P P KE K P K P E E EF F F F -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=- 两金属的接触电势差()()().33322132222121P P n meKP P eK E V V V F -∙=-=-=∆π将,10110.931kg m -⨯= ,10602.119C e -⨯= ,10055.134s J ∙⨯=- ,10,/105211328m N K m n =⨯=,10251m N P = 2521030m N P⨯= 代入两金属的接触电势差式子，得 ().1058.95伏-⨯-=∆V5.若磁场强度B沿z 轴，电流密度沿x 轴，金属中电子受到的碰撞阻力为P P,/τ-是电子的动量，试从运动方程出发，求金属的霍尔系数.144【解 答】电子受的合力()().B v mv B v P dt P d F⨯+--=⨯+--==ετετ （1） 由于电子受的阻力与它的速度成正比，所以电场力与阻力平衡时的速度是最高平均速度，此时电子的加速度变为0，（1）式化成().B v me v⨯+-=ετ （2） 因为电流的方向沿x 轴，平衡后，电子沿z 轴方向和y 轴的速度分量为0.因此，由（2）式得,x xme v ετ-= （3） .0x y v mB e m e τετ+-= （4） 由以上两式得.x x y mBe Bv ετε== （5） 称为霍耳电场，其方向与磁场和电流方向的关系如图6.3所示.图6.3 霍尔电场 将电流密度x x j σε= （6）和（5）式一并代入霍耳系数 Bj R x yH ε=（7）得到στm e R H-= （8） 将《固体物理教程》（6.85）式代入上式，并取m m =*得.1neR H -= 6. 试证金属的热导率 ()2102223FB mETk nl kπ=其中l 是费密面上电子的平均自由程. 【解 答】由《固体物理教程》（6.63）式可知，金属中导电是电子的弛豫时间τ满足以下关系()().cos 1,1∑'-'Θ=k k k θτ电子的波矢k在空间内的分布十分密集，上式可用积分表示145()().cos 1,1∑'-'Θ=k k k θτ()()()()()()()⎰⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡''-'Θ='-'Θ=∞πθθπθπθπ0233.sin 2cos 1,21cos 1,21d k d k k k k d k k令()()()(),,21,023⎰∞'''Θ=k d k k k E W πθ 则()Ωd E W θ,是能量为E 的电子在单位时间内被散射到立体角 θθπd d sin 2=Ω内的几率.如果散射是各向同性的，()θθ与,E W 无关，则()()().4sin cos 1210E W d E W πθθθπτπ=-=⎰ 上式说明，τ1就是能量为E 的电子在单位时间内总的散射几率，也就是说τ是电子的平均自时间.由《固体物理教程》（6.126）式可知，金属的热导率,322T mn k k FB τπ=式中F τ是费密面上的电子的平均自由时间.电子的平均自由时间F τ和平均速度F v 与平均自由程l 的关系是 .F F v l τ=而平均速度由下式求得 .2102F F E mv = 于是得到()2102223FB mETk nl kπ=.7.设沿xy 平面施加一电场，沿z 轴加一磁场，试证，在一级近似下，磁场不改变电子的分布函数，并用经典力学解释这一现象.【解 答】在只有磁场和电场情况下，《固体物理教程》（6.47）式化成().0τεf f f B v e k -=∇∙⨯+由上式可解得().0f B v e f f k ∇∙⨯++=ετ 考虑到外界磁场和电场对电子的作用远小于原子对电子的作用，必有(),0f f B v e k <<∇∙⨯+ετ f k ∇0f k ∇≈.于是有相当好的近似().00f B v e f f k ∇∙⨯++=ετ 因为,000v Ef E E f f k k ∂∂=∇∂∂=∇ 所以146().0000v Ef e f E f B v e f f ∙∂∂+=∂∂∙⨯++=ετετ 可见在一级近似下，磁场对分布函数并无贡献.由经典理论可知，电子在磁场中运动受到一洛伦兹力B v e⨯-，该力与电子的运动方向v垂直，它只改变电子的运动方向，并不增加电子的能量，即不改变电子的能态.也就是说，从经典理论看，磁场不改变电子的分布函数.8.0f 是平衡态电子分布函数，证明.0Ef T E T E T T T f F ∂∂⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-=∂∂ 【解 答】金属中导电电子处于平衡态时，其分布函数 ()110+=-Tk E E B F ef .令()(),,y e x T k E E Tk EE BF B F==--则有⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂T x T E E x x y y f T f F F 00 ()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∂∂-+-=22111T k E E TE T k y y BF F B ()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+∂∂+-=T E E T E T k y y F F B 21 .0⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂-=T E T E T T E f F 9.立方晶系金属，电流密度j与电场ε和磁场B 的关系是()[]εεβεαεσ20B B B B j -∙+⨯+= ,试把此关系改写成 ()()[]{}.20j B B j B b j B a j-∙+⨯+=ρε【解 答】立方晶系金属的电流密度j与电场ε和磁场B 的关系是()()[]εεβεαεσ20B B B B j -∙+⨯+=对大多数金属来说，1410-≈Fτ秒，如果取m m =*，则有().,,1022200αστβσστατ<<=<<=<<***me m e m e FF F因此电流密度的主项 εσ0=j也即电场的主项j0ρε=式中14701σρ=为立方晶系金属的电阻率.由立方晶系金属的电流密度j与电场ε和磁场B 的关系解得()()[]{}εεβεαρε20B B B B j -∙-⨯-=将电场的主项代入上式右端的ε中，得到()()[]{}jB B j B j B j 2000-∙-⨯-=βραρρε()()[]{}.20j B B j B b j B a j -∙+⨯+=ρ其中.,00βραρ-=-=b a10.有两种金属，价电子的能带分别为,22Bk E Ak E ==和其中B A >，并已测得他们的费米能相等.（1）它们的费米速度哪个大？（2）在费米面上的电子的弛豫时间相等的情况下，哪种金属的电导率大？ 【解 答】 （1）已知A 金属与B 金属的费米能相等.22FB FB FA FAAk E Ak E ===所以.AB k k FB FA = 金属中电子的费米半径F k 、费米速度F v 和有效质量*m 的关系是 *mF v = F k .A 金属电子的有效质量A k E m A A 2222 =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂=*B 金属电子的有效质量B k E m BB 22222 =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂=*于是.BAk m m k v v FB A B FA FB FA ==**148因为B A >，所以A 金属电子的费米速度大.（2）如果外电场沿x 方向，则x 方向的电场x ε与电流密度x j 的关系（参见《固体物理教程》6.84式）为.4222⎰∇=F S x k x x E dS v e j ετπ 上式积分沿费米面进行.将上式与x x j σε=比较，可得立方晶系金属的电导率.4222⎰∇=FS k xEdSv e τπσ在费米面是一球面的情况下，上式积分为.442222FFFx F v k v e πτπσ=其中利用了v E k =∇.将关系式.3122F Fx v v = 代入电导率式得.3232*=m k e FF πτσ 于是.33ABk m m k FB A B FA B A ==**σσ可见B 金属的电导率大.11.求出一维金属中自由电子的能态密度、费米能级、电子的平均动能及一个电子对比热的贡献. 【解 答】设一维一价金属有N 个导电电子，晶格常数为α.如图6.4所示，在dE E E +-图6.4 一维金属中自由电子的能带能量区间波矢数目为.22dk Na∙π利用自由电子的能量于波矢的关系149,222mk E = 可得dE E E+-能量区间的量子态数目.222221dE E m Na dk Na dz -=∙=ππ 由此得到能态密度().21-==E m Na dE dz E Nπ 在绝对零度时费米能级以下的量子态全被电子占据，所以有().22200210ππF E E mE Na dE E m Na dE E N N F F===⎰⎰-由上式即可求得电子的费米能 .82220m a E Fπ=平均一个电子所具有的能量⎰=NEdNNE 01()()()⎰⎰∞∞==021021dE E f E m a d E N E Ef N π其中()E f 是电子费米分布函数.利用分布积分，得到()⎰∞=0212dE E f E m a Eπ()⎰⎰∞∞⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∞=2302323.3223220322dE E f E m a dE E f E m a E f E m aπππ利用《固体物理教程》（6.7）和（6.10）两式得()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+=22238322T k E E m a E B F F ππ . 平均一个电子对热容量的贡献为,122B FV Ve k T TT E C ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=π 其中利用了费米能与费米温度的关系 F B FT k E =.12.对于二维金属，重复上述问题. 【解 答】150如图6.5所示，在绝对零度时，二维金属中的导电电子（设为自由电子）在波矢平面内充满一费米圆.自由电子的能量m k E 22 =，所以能量dE E E +→区间的电子占据图中dk 的范围.在此范围内的波矢数目为(),222kdk Sππ∙图6.5 二维波矢空间 其中()22πS是二维金属中导电电子的波矢密度，S 是金属面积.由m k E 222 =得.2mdEkdk =能量dE E E+→区间的量子态数目则为().222222dE mSmdE S dz πππ=∙= 能量密度().2πmS dE dz E N ==在绝对零度时，费米能级以下的量子态全被电子占据，所以有().020200F E E E mS dE mSdE E N N FFππ⎰⎰=== 由上式可得mn E F20 π=其中n 是金属中导电电子的密度.可见二维金属中导电电子的费米半径为()212n k F π=平均一个电子所具有的能量 ⎰=NEdN NE1()()()⎰⎰∞∞==21dE E Ef n m d E N E Ef Nπ利用分布积分，得到()⎰∞=2dE E Ef n m E π151()⎰⎰∞∞⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-=⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∞=022022222202dE E f E n m dE E f E n m E f E n m πππ利用《固体物理教程》（6.7）和（6.10）两式得().322222⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=T k E n m E B F ππ 平均一个电子对热容量的贡献为,32B F V Ve k T TT E C ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=π 13.证明热发射电子垂直于金属表面运动的平均动能为T k B ，平行于表面运动的平均动能也是T k B . 【解 答】当无外加电场，温度也不太高时，金属中的价电子是不会脱离金属的，因为金属中的价电子被原子实紧紧的吸引着，电子处于深度为0E 一势阱中.如图6.6所示，要使最低能级上的电子逃离金属，它至少要从外界获得0E 的能量.要使费米面上的电子逃离金属，它至少要从外界获得()F E E -=0ϕ的能量.为方便计，取一单位体积的金属.在k空间内k d范围内的电子数目()()k d E f dn322π=图6.6 深度为0E 势阱其中()().11+=-Tk E E B F eE f转换成速度空间，则在v d v v+→区间内的电子数目(),123+⎪⎭⎫ ⎝⎛=-Tk E E zy x B F edv dv dv h m dn 式中利用了关系.k vm=对于能脱离金属的热发射电子，其能量E 必满足()ϕ>-F E E 对大多数金属来说,T k B >>ϕ，所以必有()1221>>=⎪⎭⎫⎝⎛--T k E mv Tk E E B F B F ee152式中已取221mv E =于是.2232z y x Tk mvTk E dv dv dv e eh m dn B B F-⎪⎭⎫ ⎝⎛=设金属表面垂直于z 轴，热发射电子沿z 轴方向脱离金属，则要求0221E mv x >> 而速度分量x v 、y v可取任意值.所以在区间z z zdv v v +→的热发射电子数目()⎰⎰∞∞--∞∞---⎪⎭⎫ ⎝⎛=x Tk mv y Tk mv z Tk mv T k E z dv e dv edv eeh m v dn B xB y B z B F22232222利用积分公式adx e ax π=⎰∞∞--2得到().42322z Tk mv T k E B z dv ee h T k m v dn B z B F-=π垂直于金属表面的速度分量为 的电子在单位时间内逃出金属表面的数目为().z z v dn v dN=于是，热发射电子垂直于金属表面运动的平均能量.221022222232zmE z T k mv z m E z T k mv z z z dv ev dv e v m dN dN m v E Bz B z⎰⎰⎰⎰∞-∞-== 利用积分公式()a bcx c edx xe a bc e e cxbacx cx ba cx1,2-==⎰⎰得到.0T k E E B z +=0E 是金属中的电子脱离原子实的吸引所需要的最低能量，在克服原子实的吸引脱离金属的过程中，这部分能量已消耗掉了.因此脱离金属的电子垂直于金属表面运动的平均动能为 T k B因为在v d v v+→速度区间内的电子，在单位时间内逃出金属表面的数目为.dn v N d z ='153所以，热发射电子平行于金属表面运动的平均动能()⎰⎰''+=Nd N d v v m E y x xy 2221()()).202220222222222⎰⎰⎰⎰⎰⎰∞∞-∞∞-∞++-∞∞-∞∞-∞++-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=yx m E z Tk v v v m z y x m E z T k v v v m y x z dv dv dv e v dv dv dv e v v v m B z y x B z y x利用积分公式adx e ax π=⎰∞∞--2(),21253122aa n dx e x n n ax ππ-∙∙∙=⎰∞∞--得到热发射电子平行于金属表面运动的平均动能为.T k E B xy14.证明，当Tk B 0FE <<时，电子数目每增加一个，则费密能变化 (),1FFE N E =其中()FE N 为费密能级处的能态密度.【解 答】由《固体物理教程》（6.3）式可得(),323232322232220AN V N m n mE cF =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==ππ式中.323222⎪⎪⎭⎫⎝⎛=c V m A π 当电子每增加一个，费密能的变化(),13232AN N A E F -+=∆因为导电电子数目很在，所以().32111132323232⎪⎭⎫ ⎝⎛+≈⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+N N N N N于是.32221323122322310⎪⎪⎭⎫⎝⎛∙⎪⎭⎫ ⎝⎛==∆ππc c F V N m m V N A E 由《固体物理教程》（5.103）式可知，自由电子的能态密度154()().3222221232231023220⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∙⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛=πππc c Fc F V N m m V E m V E N 由此可得(),1FFE N E =--- 15.每个原子占据的体积为3a ，绝对零度时价电子的费密半径为(),6120ak Fπ=计算每个原子电子数目. 【解 答】由《固体物理教程》（6.4）式可知，在绝对零度时导电电子的费密半径(),3312πn k F =现在已知一金属导电电子的费密半径(),63120ak Fπ=所以，该金属中导电电子的密度 .23an= 3a 是一个原子占据的体积，由此可知，该金属的原子具有两个价电子.16.求出绝对零度时费密能0FE 、电子浓度n 、能态密度()F E N 及电子比热eVC 与费密半径0F k 的关系. 【解 答】绝对零度时电子的费密半径 (),33120πn k F =电子浓度n 与费密半径的关系是().3230πFk n =由《固体物理教程》（6.3）式可得到绝对零度时电子的费密能与费密半径的关系为()(),23220232220FFk mn mE ==π由《固体物理教程》（5.103）式可知，自由电子的能态密度是().22022212322F c c k Vm Em V E Nππ=⎪⎭⎫⎝⎛=由此可得()().2202221023220F c Fc Fk m V E m V ENππ=⎪⎭⎫ ⎝⎛=155由《固体物理教程》（6.13）式可知平均一个电子对热容量的贡献为 .202B F Vk T T C ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=π因为(),22200BFB F Fmk k k E T == 所以一个电子的热容与费密半径的关系为 ().20222T kmk C FBVπ=17.经典理论认为,所有价电子都参与导电,电流密度j 与所有电子的漂移速度d v 的关系是d nev j =已知铜的电子浓度,105,1034329m A j m n ⨯==试比较费密速度F v 和漂移速度d v .【解 答】F k 是费密面上电子的动量,电子的费密速度则为().3312mn m k v F F π ==将漂移速度d v .nej =与费密速度比较,得().3312πn ne jm v v F d =将s J kg m C e∙⨯=⨯=⨯=--34311910055.1,10110.9,10602.1,105,1034229m A j m n ⨯==代入上式,得到.10877.112-⨯=Fdv v 可见如果认为所有价电子都参与导电,则价电子的漂移速度将远小于费密面上电子的速度.这一点也不难理解,因为量子论认为,参与导电的电子只是费密面附近的少数电子 . 如果把费密面附近的电子对电流的贡献也粗略地写成 ,F ev n j '=由于.,d Fv v n n >><<'所以18.电子漂移速度d v满足方程,ετe v dt v d m d d -=⎪⎭⎫⎝⎛+156试确定稳定态时交变电场下的电导率()()().1102⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=ωτωτσωσi 【解 答】 设交变电场,0t i e ωεε=则电子漂移速度满足的方程变成.0t i d d e mev dt v d ωετ-=+设上式的特解为,ωτi Ae则A 满足的方程为.0me AA i ετω-=+由上式的到().10ωττεi m e A +-=齐次方程.0=+τdd v dt v d 的通解为τt e B - .电子漂移速度满足的方程的解为 d v=τt eB -().10t i e i m e ωωττε+-当电子达到稳定态后，上式右端的第一项趋于0.于是d v=().10t i e i m e ωωττε+-按照经典理论，电流密度j 与漂移速度d v，电导σ和电场强度ε的关系为j =()().102εωσωτεω=+=-t i d e t i m ne v ne由上式得()()().1102⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=ωτωτσωσi 其中()mne τσ20=157如果设电场为,0t i e ωεε=则有()()().1102⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=ωτωτσωσi 19.求出立方晶系金属的积分1P 、32P P 和【解 答】由《固体物理教程》（6.119），（6.120）和（6.123）三式得⎰⎰⎰∇∂∂=∇∂∂=∇∂∂=.41,41,412023302320231EdEdS E E f v P E dEdS E E f v P E dEdSE f v P k x k x k x τπτπτπ以上三式中的面积分是在一个等能面上进行，对于等能面是球面的情况，面积分的值 .42k S π=自由电子的能量mk E 222 =，所以面积分化成.82mESπ=因为x v 是电子的平均速度在x 方向的分量,所以.32213231222mE mv m v v x =⎪⎭⎫ ⎝⎛== 另外.2mEv v E k===∇ 于是（6.119），（6.120）和（6.123）三式化为,322,322,322027323025322023321⎰⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂--=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂--=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂--=dE E f E m P dE E f E m P dE E f E m P τπτπτπ 利用《固体物理教程》（6.7）和（6.10）两式进一步得到158()()(),2435322,85322,832222322732322253222223321⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+-=T k E E m P T k E E m P T k E E m P B F FF B F F F B F FF ππτππτππτ20.利用上题结果,求出热导系数 mTn k k B 322τπ=【解 答】 将上题1P 、32P P 和的代入《固体物理教程》（6.125）式,得立方金属导电电子的热导率 .3322223232T k E m k BF F ππτ =将自由电子的费密能()322232πn mE F =代入立方金属导电电子的热导率,得 .322T mn k k FB τπ=21.证明.021<+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂T P TE T T P F【解 答】仅在x 主向存在温度梯度的情况下,由《固体物理教程》（6.118）式可知,金属中的电流密度.12121x F F x P e dx dn n E eP dx dT T P T E T T P e j ε-∂∂-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-= 设金属的左端温度保持为1T ,右端温度保持为2T ,2T >1T ,定义x 正方向由左向右,则温度梯度方向与x 方向同向,电子由高温区向低温区扩散,方向与温度梯度反向,电流的方向与温度梯度同向.扩散刚开始时,电子的浓度梯度dxdn和温差电场x ε都为0,电流与温度梯度的方向一致,则只有.021<+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂T P T E T TP F当达到平衡后,电子的浓度梯度dxdn 和温差电场x ε的方向都与x 方向反向,电子浓度梯度引起的反向扩散电流dxdnn E eP 11∂∂-159和温差电场引起的反向漂移电流 12P e -x ε与正向温差电流dx dTT P TE T TP e F⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-21反向,条件.021<+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂T P T E T TP F更不可少其实此问题用6.19题的结果也可证明.忽略费密能随温度的变化,则().11221F FE P P T T P T E T TP -=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂ 将6.19题的21P P 和代入上式,得().11221F FE P P T T P T E T TP -=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂ ()(),8853222225222532⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--+-=T k E E T k E E TmBF F B F F F πππτ 03232<-=T mE k FF Bτ22.当金属中存在温度梯度时,电子分布函数()x f可以看成是平衡分布函数 0f 的刚性平移,证明平移量为..⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+∇∂∂+∇⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-ετe n n E T T E T E T T F F【解 答】当金属中存在温度梯度时,导电子的分布函数变成了（参见《固体物理教程》6.116式）.00⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+∇∂∂+∇⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∙∂∂+=ετe n n E T T E T E T T v E f f f F F其中v是电子的平均速度,n 是电子浓度,ε是温差电场.将v Ef E E f f k k∂∂=∇∂∂=∇000 代入上式得到.00⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+∇∂∂+∇⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∙∇+=ετe n n E T T E T E T Tf f f F Fk 将上式与下式()()u d f u f u d u f u∙∇+=+160比较得到().0⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+∇∂∂+∇⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂--=ετe n n E T T E T E T T k f k f F F上式表明,当金属中存在温度梯度时,导电电子的分布函数()k f 可看成平衡分布函数()k f0在波矢空间里的刚性平移,平移量为.⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+∇∂∂+∇⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-ετe n n E T T E T E T T F F。