相互作用试根据紧束缚近似的结果，求出能量 E k 的表达式， 并计算相应的电子速度 v k 和有效质量各个分量 m ij 。

解：若只计及最近邻的相互作用，用紧束缚近似法处理晶体中
s态电子的能量 ，其结果是
最近邻 E k E 0 A e i 2k Rn Rs J sn Rn
6.3 设晶格势场对电子的作用力为 FL ，电子受到的外场力为
Fe ，证明：
Fe m m Fe FL

证明： 因为 p mv 为电子的动量， 所以有
dv m F总 Fe FL dt
另一方面，加速度
(1)
dv dv dk a dt dk dt
(2)
1 dE dk 而速度 v 代入(2)式，并应用关系式 h Fe h dk dt
1 4 2 a 2 J 2 cos2akx cosakx cos 3ak y 2 m xx h


1 12 2 a 2 J cosakx cos 3ak y 2 m yy h
1 1 4 3 2 a 2 J sinak x sin 3ak y 2 m xy m yx h
Emax E0 A 2J
这就是能带顶的数值，故能带宽度
E Emax Emin 4J
在能带底附近，k值很小，sin ka ka ， (2)式可写成
h2 k 2 2 E k Emin 4J ka Emin * 2mb
此处
* mb
h2 8 J 2 a 2
因此，无外场时，晶体中总电流为零。
6.5 应用紧束缚方法于一维单原子链，如只计及最近邻原子间
的相互作用，
(1)证明其s态电子的能带为
2 1 E k Emin 4J sin ak 2
E 式中， min 为能带底部的能量；J为交迭积分.
(2)求能带的宽度及能带底部和顶部附近的电子的有效质量。 证明：（1）在一维情况下，用紧束缚近似讨论晶体电子的能量， 结果可写成
式中 a 是晶格常数。试求 （1）能带的宽度； （2）电子在波矢 k 的状态时的速度；

（3）能带底部和顶部电子的有效质量。
解： （1）能带宽度为 ΔE Emax Emin 由极值条件
dE k 0 dk
得
1 1 sinka sin2ka sinka sinkacoska 0 4 2




对比(1)式，即得
v k v k
电子占有某个状态的几率只同该状态的能量有关。 因为
E k E k ，电子占有 k 状态和 k 状态的几率相同。
而由 v k v k 知道，这两个状态的电子电流互相抵消，
第六章 晶体中电子的输运性质
6.1 用紧束缚方法可以导出体心立方晶体s态电子的能带为
k ya kza k xa at E k E s A 8J cos cos cos 2 2 2
（1）试求能带顶部和底部的电子有效质量；

E （2）试画出沿 k x方向 k y kz 0 ， k x 和v k x 的曲线。
对于s态电子，各个最近邻 的交迭积分皆相等， 令 J sn J ，则得
o a
x
e i2π ak x e i2π ak x e i π a(k x 3k y ) E k E0 A J e i π a(k x 3k y ) e i π a(k x 3k y ) e i π a(k x 2cos2π akx 2ei π ak x cos 3 π aky E0 A J 2e i π ak x cos 3 π ak y
2 2 , mzz 同理可得 m yy 2Js a 2 2Js a 2
E max 4 J 2 a 2k 2 E max h2 k 2 2m t*
m t* 式中
h2 8 J a
2 2
为能带顶部电子的有效质量， 因为
J 0 ，故 mt* 0 ，即能带顶部电子的有效质量为负值。
6.6 设二维正三角形晶格中原子间距为a，只计最近临电子间的
由以上可得能带宽度为
ΔE Emax - Emin
2 2 ma 2
1 （2）由 v k0 k E k 式，可得电子的速度 0
1 dEk 1 v sinka sin2ka dk ma 4
1 1 2E 2 由 可求得带顶和带底电子的有效质量 （3） 2 式， m k
4 π aJ sin2 π akx sin π akx cos 3 π aky i 所以 v k h 3cosπ akx sin 3 π aky j 1 1 2E 其次，由公式 2 m ij h k i k j




可求得有效质量各分量为
Ek E0 A J e i 2ka e i 2ka


E0 A 2J cos2ka
E 0 A 2J 4 J sin 2 ka E min 4 J sin 2 ka
式中Emin E0 A 2J 代表能带底的数值。 （2）从上式可知，当 k 1 / 2a 时，能量取最大值 (2)
E k E k k x k x
E k E k k y k y E k E k k z k z
代入(2)式，有 1 E k E k E k v k i j k h k x k y k z
i
同理可得
2 2 m yy , mzz 2 2Js a 2Js a 2
其他交叉项的倒数全为零。 而在布里渊区边界上的
2π 2π 2π ,0,0 , 0, ,0 , 0,0, a a a
处是能带顶，电子的有效质量为
3k y )
E0 A 2J cos2akx 2 cosakx cos 3akx
，可按如下方法求得 至于速度 v k



1 E 4aJ vx sin2ak x sinak x cos 3ak y h k x h

1 E 4 3aJ vy cosak x sin 3ak y h k y h
m m m 2Js a 2
xx yy zz
2
其他交叉项的倒数也全为零。
在能带底部 k x k y kz 0 时 （2）
2 m xx m yy mzz 2Js a 2
当 k y kz 0 时
E k x
Esat A8J Esat A8J
式中 Rs 和 Rn 分别是参考原子及其各个最近邻的位矢。 在二维
正三角形晶格中，6个最近邻(如图)。 如选取参考原子为坐标
原点， Rs 0 ， 即 6个最近邻
的坐标分别为
y
a 3a a,0, a,0, , 2 2 a 3a a 3a , , , 2 2 2 , 2 a 3a , 2 2
上式的唯一解是 sinka 0 的解， 此式在第一布里渊区内的 解为
E 当 k 0 时， k 取极小值 Emin ， 且有
π k 0, a
Emin E 0 0
E 当 k 0 时， k 取极大值 E max ， 且有
Emax
π 2 2 E a ma 2
分别为
m
k
π a
1 2 1 2 2 m coska cos2ka m 2 3 k π E a k 2 k π
a
m
k 0
1 2 1 2 m coska cos2ka 2m 2 k 0 E k 2 k 0
相等，方向相反，即 v k v k


并解释为什么无外场时，晶体总电流等于零。
证明： k 态的电子速度为
1 E k E k E k 1 v k k E k i j k h h k x k y k z
(1)
于是
1 E k E k E k v k i j k h k x k y k z
(2)
因此 因为能量 E k 是波矢 k 的偶函数， E k E k ， 即
可得
Fe dv 1 d 2 E 2 Fe * 2 dt h dk m
(3)
d 2E 为电子的有效质量。 式中 m * h 2 / dk 2
联合(1)(3)两式，即得
Fe m m Fe FL
*
6.4 证明：对于能带中的电子， 状态和 k 状态的速度大小 k
E k E0 A
最近邻
e i 2k Rn Rs J sn
Rn
(1)
式中 Rs 和 Rn 分别代表参考原子及其最近邻的位矢。 在一维原
R 子链中，只有两个最近邻。选取参考原子为坐标原点， s 0，
则两个最近邻的位矢可分别记为 Rn a,a ，此处a为原子间距。 由于交迭积分 J sn 对两个最近邻是相等的，记为 J ，便得
解： （1）由能带的表示式及余弦函数的性质可知，当


k x k y kz 0 时，E s 取最小值，即 k x k y kz 0 2 2 是能带底，电子有效质量为 m xx 2E 2J s a 2 s k 2 x k 0