陈景润（19331996-），福建省福州市人，1953年毕业于厦门大学数学系，主要从事解析数论方面的研究．20世纪60年代以来对筛法及其有关重要问题作了深入研究，1960年5月证明了命题“12+”，将200多年来人们未能解决的哥德巴赫猜想的证明大大推进了一步，这一结果被国际上誉为“陈式定理”． 27．图形生长的奥秘 解读课标从一个简单的、基本的图形开始，按照一定的规律，生长繁衍成复杂有趣而美丽的图形，并探寻图形的边长、周长、面积的变化规律，这类图形生长的问题是近年中考竞赛的一个热点问题． 以“点”的方式扩散、以“面”的方式膨胀、以“体”的方式“堆砌”，是图形生长的常见形式，解图形生长问题的基本方法是：（1）分析图形生长的方式、规律；（2）分析相关数量的特征，找寻相关数量与图形序号的联系，观察发现，归纳猜想． 问题解决例1 （1）观察图①至图④中小圆圈的摆放规律，并按这样的规律继续摆放，记第n 个图中小圆圈的个数为m ，则m =________．（用含n 的代数式表示）（2）观察下列图形：① ② ③ ④ 根据图①②③的规律，图④中的三角形的个数为___________． 试一试 对于（2），从寻找第n 个图与第1n -个图三角形个数的关系入手．例2 （1）如图是一个水平摆放的小正方体木块，图②③是用这样的小正方形木块叠放而成，按照这样的规律，继续叠放下去，至第七个叠放的图形中，小正方体木块总数是（ ）． A ．25 B ．66 C ．91 D ．120（2）黑色等边三角形与白色正六边形的边长相等，用它们镶嵌图案，方法如下：白色正方形分上下两行，上面的一行的正六边形个数比下面一行少一个，正六边形之间的空隙用黑色的正三角形嵌满，按第1、2、3个图案所示规律依次下去：则第n 个图案中，黑色正三角形和白色正六边形的个数分别是（ ）．A ．22n n ++，21n +B ．22n +，21n +C ．4n ，23n n -+D ．4n ，21n + 试一试 略． 例3 操作：（1）如图①，先画一个等边三角形，每边长为1；①m =5n =1时②m =8n =2时③m =11n =3时④m =14n =4时①②……③第1个第2个第3个（2）如图②，在图①中，每边三等分中间的一份处再凸出一个等边三角形；（3）如图③，在②的边上，重复进行三等分，中间的一份处凸出一个等边三角形，按上述方法，就画出一个美丽的雪花图形．探究：图○n 的周长是多少？试一试 每“生长一次”，边长变化的规律，以及每“生长一次”，新增三角形个数的规律，这是解本例的突破口．例4 有一堆砖堆放如图，第1层有3块，第2层有8块，第3层有15块，……，如此继续下去，第9层有多少块？第n 层有多少块？这样共n 层的砖堆总共有多少块砖？试一试 从第2层起，每一层横里比上一层多一块，纵里也比上一层多一块，这是解本例的关键，亦可从分析每层砖的数据特征入手．例5 如图的图案均是用长度相同的火柴棍按一定的规律拼搭而成的：第1个图案需7根火柴，第2个图案需13根火柴，……，依此规律，第11个图案需多少根火柴？分析 当数据规律不明显时，可从分析图形构成入手．为使图形结构清晰，可适当改变图形． 解 将图中各个图案右下角的一个正方形移除3根火柴后得如下图：图中第1个图案需要横向火柴112+=（根），纵向火柴112+=（根），共需4根火柴； 第2个图案需要横向火柴1225++=（根），纵向火柴1225++=（根），共需10根火柴； 第3个图案需要横向火柴12339+++=（根），纵向火柴12339+++=（根），共需18根火柴； ……第n 个图案需要横向火柴的根数是()31232n n n n ++++++=，纵向火柴的根数也是()32n n +，共需()3n n +根火柴．故拼搭图中第11个图案需火柴()111133157⨯++=（根）． 图案设计例6 如图是一个由12个相似的直角三角形组成的图案，像商标？像蜗牛？像台风眼？①②……③第1个第2个第3个…第4个第1个第2个第3个第4个…由简单的相似图形出发，展开想象的翅膀，开发头脑无尽的创意，你也能画出更美的图案． 下列图案分别是由相似的正方形、正五边形、正六边形、圆组成的．数学冲浪 知识技能广场1．观察下列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第8个图形共有_______枚五角星．2．下列图形都是由同样大小的五角星按一定的规律组成，其中第①个图形一共有2个五角星，第②个图形一共有8个五角星，第③个图形一共有18个五角星，……，则第⑥个图形中五角星的个数为_________．3．如图是用相同长度的小棒摆成的一组有规律的图案，图案（1）需要4根小棒，图案（2）需要10根小棒，……，按此规律摆下去，第n 个图案需要小棒________根（用含有n 的代数式表示）．4．用正三角形和正六边形按如图所示的规律拼图案，即从第二个图案开始，每个图案都比上一个图案多一个正六边形和两个正三角形，则第n 个图案中正三角形的个数为________（用含n 的代数式表示）．5．下列图案是晋商大院窗格的一部分，其中“○”代表窗纸上所贴的剪纸，则第n 个图中所贴剪纸“○”的个数为_________．（1）漩涡（2）玫瑰花（4）海螺背影n =1★★★★n =2★★★★★★★n =3★★★★★★★★★★n =4……★★★★★★★★★★★★★图①★★图②★★★★★★★★…图③★★★★★★★★★★★★★★★★★★（1）（2）（3）（4）……第一个图案6．如图①是一块瓷砖的图案，用这种瓷砖来铺设地面．如果铺成一个22⨯的正方形图案（如图②），其中完整的圆共有5个，如果铺成一个33⨯的正方形图案（如图③），其中完整的圆共有13个，如果铺成一个44⨯的正方形图案（如图④），其中完整的圆共有25个．若这样铺成一个1010⨯的正方形图案，则其中完整的圆共有________个．（2）试求第几个图形中的“●”的个数与“★”的个数相等．8．已知一个面积为S 的等边三角形，现将其各边n （n 为大于2的整数）等分，并以相邻等分点为顶点向外作小等边三角形，如图所示，当n k =时，共向外作出了多少个小等边三角形？这些小等边三角形的面积和为多少？（用含k 的式子表示）9．某体育馆用大小相同的长方形镶嵌地面，第一次铺2块，如图①；第二次把第一次铺的完全围起来，如图②；第三次把第二次铺的完全围起来，如图③；……；依此方法，第n 次铺完后，用字母n 表示第n 次镶嵌所使用的木块数为______________．10．如图是一个树形图的生长过程，依据图中所示的生长规律，第15行的实心圆点的个数等于_______．（1）（2）（3）①②③④……n =3n =4…n =5①②③11．在图①中取阴影等边三角形各边的中点，连成一个等边三角形，将其挖去，得到图②；对图②中的每个阴影等边三角形各边按照先前的做法，得到图③；……；如此继续，如果图①的等边三角形面积为1，则第n 个图形中所有阴影三角形面积的和为___________．12．如图，第（1）个多边形由正三角形“扩展”而来，边数记为3a ，第（2）个多边形由正方形“扩展”而来，边数记为4a ，……，依此类推，由正n 边形“扩展”而来的多边形的边数记为()3n a n ≥． （1）求5a 的值；（2）当3451111n a a a a ++++的结果是197600时，求n 的值为_________．13．用大小相同的正六边形瓷砖按如图所示的方式来铺设广场，中间的正六边形瓷砖记为A ，定义为第一组；在它的周围铺上6块同样大小的正六边形瓷砖，定义为第二组；在第二组的外围用同样大小的正六边形瓷砖来铺满，定义为第三组，……，按这种方式铺下去，用现有的2005块瓷砖最多能完整地铺满多少组？还剩几块瓷砖？应用探究乐园14．在下图中，每个正方形由边长为1的小正方形组成：第6行第5行第4行第3行第2行第1行①②③（1）（2）（3）……（4）A（2）在边长为的正方形中，设黑色小正方形的个数为1p ，白色小正方形的个数为2p ，问是否存在偶数n ，使215p p =？若存在，请写出n 的值；若不存在，请说明理由． 15．将棱长为1cm 的正方体按如图方式放置，求第20个几何体的表面积．27．图形生长的奥秘 问题解决例1（1）32n +（2）161 图①有145+=个，图②有143417++⨯=个，图③有214343453++⨯+⨯=个，图④有2314343434161++⨯+⨯+⨯=个．例2（1）C 1591317212591++++++=； （2）D例3 图○n 中每个小等边三角形的边长为13n⎛⎫⎪⎝⎭，图○n 周长为143n n -． 例4 第9层有99块，第n 层有()2n n +块，这样的n 层砖堆共有()()()()()31425321212223232n n n n ⨯+⨯+⨯+++=+⨯++⨯++⨯+++⨯()()()()()()2222111232123121112766n n n n n n n n n n =+++++++++=++++=++（块）．数学冲浪1．25 2．72 3．62n - 4．22n +5．()53132n n +-=+（个） 6．()2210101181+-=（个） 7．（1）略；（2）由28n n =，得8n =或0n =（舍去）．8．n k =时，共向外作了()23k -⨯个小等边三角形，每个小等边三角形的面积为21S k ⨯，这些小等边三角形的面积为()()2232123k k S S k k --⨯⨯⨯=⨯． 9．()()()221232286n n n n n ----=-10．377 各行的实心圆点数组成斐波那契数列11．134n -⎛⎫ ⎪⎝⎭12．（1）()1n a n n =+，530a =；（2）199n =． 13．铺满n 组时，所用瓷砖总数为()()1616261131n n n +⨯+⨯++-=+-．当26n =时，()131********n n +-=<，当27n =时，()131********n n +-=>，故最多能完整地铺满26组，还剩2005195154-=（块）瓷砖． 14．（1）略；（2）n 为偶数时，12p n =，222p n n =-，由题意得2252n n n -=⨯，12n =或0n =（舍去）．故存在偶数12n =，使得215p p =．15．由图呈现的规律知，第20个几何体有20层，从上往下第1层有1个正方体，第2层有33⨯个正方体，第3层有55⨯个正方体，……，第20层有3939⨯个正方体，所以第20个几何体的表面积由以下三部分组成：（1）俯视图：边长为39厘米的正方形，面积为39391521⨯=（平方厘米）． （2）底面积：边长为39厘米的正方形，面积为1521平方厘米． （3）侧面积：四个形如39个正方形的金字塔三角形的面积和，即()13913539420416002+++++⨯=⨯⨯=（平方厘米）．故第20个几何体的表面积为1521216004642⨯+=（平方厘米）．………………………………………。