专题21 平行四边形考点总结【思维导图】【知识要点】知识点一平行四边形平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

平行四边形的表示：用符号“▱”表示，平行四边形ABCD记作“▱ABCD”，读作“平行四边形ABCD”平行四边形的性质：1、平行四边形对边平行且相等；几何描述：∵四边形ABCD是平行四边形∴AB=CD,AD=BC; AB∥CD,AD∥BC2、平行四边形对角相等、邻角互补；几何描述：∵四边形ABCD是平行四边形∴∠1=∠3，∠2=∠4，∠1+∠4=180°…（还有那组角互补？）3、平行四边形对角线互相平分；几何描述：∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴AO=OC=12AC,BO=OD=12BD4、平行四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形，平行四边形的对角线的交点是平行四边形的对称中心。

平行线的性质：1、平行线间的距离都相等；2、两条平行线间的任何平行线段都相等；3、等底等高的平行四边形面积相等。

平行四边形的判定定理（基础）：1、两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

2、两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

3、对角线互相平分的四边形是平行四边形。

4、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

平行四边形的面积公式：面积=底×高【考查题型汇总】考查题型一 利用平行四边形的性质解题1．（2019·海南中考真题）如图，在ABCD Y 中，将ADC ∆沿AC 折叠后，点D 恰好落在DC 的延长线上的点E 处．若=60B ︒∠，=3AB ，则ADE ∆的周长为（ ）A ．12B ．15C ．18D ．21【答案】C【详解】由折叠可得，90ACD ACE ︒∠=∠=， 90BAC ︒∴∠=，又60B ︒∠=Q ，30ACB ︒∴∠=，26BC AB ∴==，6AD ∴=，由折叠可得，60E D B ︒∠=∠=∠=，60DAE ︒∴∠=，ADE ∴∆是等边三角形，ADE ∴∆的周长为6318⨯=，故选：C ．2．（2018·山东中考模拟）小敏不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图的四块，为了能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带了两块碎玻璃，其编号应该是（ ）A ．①，②B ．①，④C ．③，④D ．②，③【答案】D【详解】只有②③两块角的两边互相平行，且中间部分相联，角的两边的延长线的交点就是平行四边形的顶点， ∴带②③两块碎玻璃，就可以确定平行四边形的大小．故选D ．3．（2018·陕西师大附中中考模拟）如图，平行四边形ABCD 的周长是26，对角线AC 与BD 交于O ，AC ⊥AB ，E 是BC 的中点，△AOD 的周长比△AOB 的周长多3，则AE 的长度为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．8【答案】B【详解】解：∵ABCD 的周长为26cm ，∴AB+AD=13cm ，OB=OD ，∵△AOD 的周长比△AOB 的周长多3cm ，∴（OA+OB+AD ）﹣（OA+OD+AB ）=AD ﹣AB=3cm ，∴AB=5cm ，AD=8cm.∴BC=AD=8cm.∵AC ⊥AB ，E 是BC 中点，∴AE=12BC=4cm ； 故选：B.4．（2013·湖北中考真题）如图，平行四边形ABCD 的对角线交于点O ，且AB=5，△OCD 的周长为23，则平行四边形ABCD 的两条对角线的和是A ．18B ．28C ．36D ．46【答案】C【详解】 ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB=CD=5.∵△OCD 的周长为23，∴OD+OC=23﹣5=18.∵BD=2DO ，AC=2OC ，∴平行四边形ABCD 的两条对角线的和=BD+AC=2（DO+OC ）=36.故选C.5．（2019·山东中考模拟）如图，将▱ABCD 沿对角线BD 折叠，使点A 落在点E 处，交BC 于点F ，若ABD 48∠=o ，CFD 40∠=o ，则E ∠为( )A ．102oB ．112oC ．122oD ．92o【答案】B【详解】AD //BC Q ，ADB DBC ∠∠∴=，由折叠可得ADB BDF ∠∠=，DBC BDF ∠∠∴=，又DFC 40∠=o Q ，DBC BDF ADB 20∠∠∠∴===o ，又ABD 48∠=o Q ，ABD ∴V 中，A 1802048112∠=--=o o o o ，E A 112∠∠∴==o ，故选B ．考查题型二 平行四边形的判定1．（2018·上海中考模拟）如图，矩形ABCD 中，E 是AD 的中点，延长CE ，BA 交于点F ，连接AC ，DF ．（1）求证：四边形ACDF 是平行四边形；（2）当CF 平分∠BCD 时，写出BC 与CD 的数量关系，并说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）BC =2CD ，理由见解析.【解析】（1）∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ∥CD ，∴∠FAE=∠CDE ，∵E 是AD 的中点，∴AE=DE ，又∵∠FEA=∠CED ，∴△FAE≌△CDE，∴CD=FA，又∵CD∥AF，∴四边形ACDF是平行四边形；（2）BC=2CD．证明：∵CF平分∠BCD，∴∠DCE=45°，∵∠CDE=90°，∴△CDE是等腰直角三角形，∴CD=DE，∵E是AD的中点，∴AD=2CD，∵AD=BC，∴BC=2CD．2．（2019·甘肃中考模拟）如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=4，过对角线BD中点O的直线分别交AB，CD边于点E，F．（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；（2）当四边形BEDF是菱形时，求EF的长．【答案】（1）证明见解析；（2．【解析】1）证明：∵四边形ABCD是矩形，O是BD的中点，∴∠A=90°，AD=BC=4，AB∥DC，OB=OD，∴∠OBE=∠ODF，在△BOE和△DOF中，OBE ODF OB ODBOE DOF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△BOE ≌△DOF （ASA ），∴EO=FO ，∴四边形BEDF 是平行四边形；（2）当四边形BEDF 是菱形时，BD ⊥EF ，设BE=x ，则 DE=x ，AE=6-x ，在Rt △ADE 中，DE 2=AD 2+AE 2，∴x 2=42+（6-x ）2，解得：x=133， ∵∴OB=12∵BD ⊥EF ，∴， ∴EF=2EO=3． 3．（2018·柳州市龙城中学中考模拟）如图，四边形ABCD 是矩形，点E 在CD 边上，点F 在DC 延长线上，AE ＝BF ．（1）求证：四边形ABFE 是平行四边形（2）若∠BEF ＝∠DAE ，AE ＝3，BE ＝4，求EF 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）EF ＝5.【解析】（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴AD=BC ，∠D=∠BCD=90°．∴∠BCF=180°﹣∠BCD=180°﹣90°=90°．∴∠D=∠BCF ．在Rt △ADE 和Rt △BCF 中，∴Rt △ADE ≌Rt △BCF ．∴∠1=∠F ．∴AE ∥BF ．∵AE=BF ，∴四边形ABFE 是平行四边形．（2）解：∵∠D=90°，∴∠DAE+∠1=90°．∵∠BEF=∠DAE ，∴∠BEF+∠1=90°．∵∠BEF+∠1+∠AEB=180°，∴∠AEB=90°．在Rt △ABE 中，AE=3，BE=4，AB=．∵四边形ABFE 是平行四边形，∴EF=AB=5．考查题型三 平行四边形性质与判定的综合1．（2019·洞口县第九中学中考模拟）如图，在ABC V 中，过点C 作CD//AB ，E 是AC 的中点，连接DE 并延长，交AB 于点F ，交CB 的延长线于点G ，连接AD ，CF ．()1求证：四边形AFCD 是平行四边形．()2若GB 3=，BC 6=，3BF 2=，求AB 的长．【答案】()1证明见解析；()2AB 6=．【详解】()1E Q 是AC 的中点，AE CE ∴=，AB//CD Q ，AFE CDE ∠∠∴=，在AEF V 和CED V中，AFE CDE AEF CED AE CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩Q ，AEF ∴V ≌()CED AAS V， AF CD ∴=，又AB//CD ，即AF//CD ，∴四边形AFCD 是平行四边形；()2AB//CD Q ，GBF ∴V ∽GCD V ，GB BF GC CD ∴=，即33236CD=+， 解得：9CD 2=， Q 四边形AFCD 是平行四边形，9AF CD 2∴==， 93AB AF BF 622∴=+=+=． 2．（2018·黑龙江中考真题）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，连接CD ，过E 作EF ∥DC 交BC 的延长线于F ．（1）证明：四边形CDEF 是平行四边形；（2）若四边形CDEF 的周长是25cm ，AC 的长为5cm ，求线段AB 的长度．【答案】（1）证明见解析；（2）AB=13cm ，【详解】（1）∵D 、E 分别是AB 、AC 的中点，F 是BC 延长线上的一点，∴ED 是Rt △ABC 的中位线，∴ED ∥FC ．BC=2DE ，又 EF ∥DC ，∴四边形CDEF是平行四边形；（2）∵四边形CDEF是平行四边形；∴DC=EF，∵DC是Rt△ABC斜边AB上的中线，∴AB=2DC，∴四边形DCFE的周长=AB+BC，∵四边形DCFE的周长为25cm，AC的长5cm，∴BC=25﹣AB，∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∴AB2=BC2+AC2，即AB2=（25﹣AB）2+52，解得，AB=13cm.3．（2018·江苏省如皋市外国语学校中考模拟）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D，E分别是边BC，AB 上的中点，连接DE并延长至点F，使EF=2DF，连接CE、AF．（1）证明：AF=CE；（2）当∠B=30°时，试判断四边形ACEF的形状并说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）四边形ACEF是菱形，理由见解析.【详解】试题解析：（1）∵点D，E分别是边BC，AB上的中点，∴DE∥AC，AC=2DE，∵EF=2DE，∴EF∥AC，EF=AC，∴四边形ACEF是平行四边形，∴AF=CE；（2）当∠B=30°时，四边形ACEF是菱形；理由如下：∵∠ACB=90°，∠B=30°，∴∠BAC=60°，AC=1AB=AE，∴△AEC是等边三角形，∴AC=CE，2又∵四边形ACEF是平行四边形，∴四边形ACEF是菱形．考查题型四平行四边形与全等三角形综合问题1．（2019·广西中考模拟）如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB=DF，AC=DE，BE=FC．（1）求证：△ABC≌△DFE；（2）连接AF 、BD ，求证：四边形ABDF 是平行四边形．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【详解】详解：证明：(1)∵BB =BB ，∴BB =BB ，在△BBB 和△BBB 中，{BB =BBBB =BB BB =BB，∴△BBB ≌△BBB (BBB )；(2)解：如图所示：由(1)知△BBB ≌△BBB ，∴∠BBB =∠BBB ，∴BB //BB ，∵BB =BB ，∴四边形ABDF 是平行四边形．2．（2019·江苏中考模拟）如图，点B 、F 、C 、E 在一条直线上，FB=CE ，AB ∥ED ，AC ∥FD ，AD 交BE 于O ．求证：AD 与BE 互相平分．【答案】证明见解析.【解析】如图，连接BD ，AE ，∵FB=CE ，∴BC=EF ，又∵AB ∥ED ，AC ∥FD ，∴∠ABC=∠DEF ，∠ACB=∠DFE ，在△ABC 和△DEF 中，ABC DEF BC EFACB DFE ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝， ∴△ABC ≌△DEF （ASA ），∴AB=DE ，又∵AB ∥DE ，∴四边形ABDE 是平行四边形，∴AD 与BE 互相平分．3．（2018·肇庆第四中学中考模拟）如图，四边形ABCD 是平行四边形，E ，F 是对角线BD 上的点，∠1=∠2. 求证：（1）BE=DF ；（2）AF ∥CE.【答案】证明见解析【详解】（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB=CD ，AB ∥CD ，∴∠5=∠3，∵∠1=∠2，∴∠AEB=∠4，在△ABE 和△CDF 中，4{35AEB AB CD ∠=∠∠=∠=，∴△ABE ≌△CDF （AAS ），∴BE=DF ；（2）由（1）得△ABE ≌△CDF ，∴AE=CF ，∵∠1=∠2，∴AE ∥CF ，∴四边形AECF 是平行四边形，∴AF ∥CE ．知识点二 三角形中位线三角形中位概念：连接三角形两边重点的线段叫做三角形中位线。