2022-2023学年九上数学期末模拟试卷注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．答题时请按要求用笔。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（每题4分，共48分）1．现有两组相同的牌，每组三张且大小一样，三张牌的牌面数字分别是1、2、3，从每组牌中各摸出一张牌．两张牌的牌面数字之和等于4的概率是（ ）A ．29B ．13C ．59D ．232．八年级某同学6次数学小测验的成绩分别为：80分，85分，95分，95分，95分，100分，则该同学这6次成绩的众数和中位数分别是（ ）A ．95分，95分B ．95分，90分C ．90分，95分D ．95分，85分3．如图所示，河堤横断面迎水坡AB 的坡比是1：3，坡高BC ＝20，则坡面AB 的长度（ ）A ．60B ．1002C ．503D ．20104．在数轴上，点A 所表示的实数为3，点B 所表示的实数为a ，⊙A 的半径为2，下列说法中不正确的是（ ） A ．当1<a<5时，点B 在⊙A 内 B ．当a<5时，点B 在⊙A 内C ．当a<1时，点B 在⊙A 外D ．当a>5时，点B 在⊙A 外5．如图，从左边的等边三角形到右边的等边三角形，经过下列一次变化不能得到的是( )A ．轴对称B ．平移C ．绕某点旋转D ．先平移再轴对称6．如图，正方形ABCD 中，4AB cm =，以C 为圆心，1cm 长为半径画C ，点P 在C 上移动，连接BP ，并将BP 绕点B 逆时针旋转90︒至BP '，连接CP '．在点P 移动的过程中，CP '长度的最小值是（ ）A ．422-B ．321-C ．321+D ．421- 7．若点()()()1233,,1,,1,A y B y C y --在反比例函数3y x =的图象上，则123,,y y y 的大小关系是（ ） A ．123y y y <<B ．213y y y <<C ．312y y y <<D ．321y y y << 8．二次函数223y x =+的顶点坐标为（ ）A ．()2,0B ．()2,3C ．()3,0D ．()0,3 9．若反比例函数y=k x 的图象经过点（2，﹣1），则k 的值为（ ） A ．﹣2 B ．2 C ．﹣12 D ．1210．如图，矩形草坪ABCD 中，AD ＝10 m ，AB ＝103m ．现需要修一条由两个扇环构成的便道HEFG ，扇环的圆心分别是B ，D ．若便道的宽为1 m ，则这条便道的面积大约是（ ）（精确到0.1 m 2）A ．9.5 m 2B ．10.0 m 2C ．10.5 m 2D ．11.0 m 211．下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的是（ ）A ．x 2+6x+9=0B ．x 2=xC ．x 2+3=2xD ．（x ﹣1）2+1=012．如图，正方形OABC 的两边OA 、OC 分别在x 轴、y 轴上，点D （5，3）在边AB 上，以C 为中心，把CDB 旋转90°，则旋转后点D 的对应点D 的坐标是（ ）A ．（2，10）B ．（﹣2，0）C ．（2，10）或（﹣2，0）D ．（10，2）或（﹣2，0）二、填空题（每题4分，共24分） 13．如图，已知正方形ABCD 的边长是4，点E 是AB 边上一动点，连接CE ，过点B 作BG ⊥CE 于点G ，点P 是AB 边上另一动点，则PD+PG 的最小值为_____．14．如图，⊙O 是等边△ABC 的外接圆，弦CP 交AB 于点D ，已知∠ADP=75°，则∠POB 等于_______°.15．如图，在直角坐标系中，正方形的中心在原点O ，且正方形的一组对边与x 轴平行，点P （3a ，a ）是反比例函数k y x=（k ＞0）的图象上与正方形的一个交点．若图中阴影部分的面积等于9，则这个反比例函数的解析式为 ▲ ．16．一只不透明的布袋中有三种珠子（除颜色以外没有任何区别），分别是3个红珠子，4个白珠子和5个黑珠子，每次只摸出一个珠子，观察后均放回搅匀，在连续9次摸出的都是红珠子的情况下，第10次摸出红珠子的概率是_____．17．小亮在上午8时，9时30分，10时，12时四次到室外的阳光下观察向日葵的头茎随太阳转动的情况，无意之中，他发现这四个时刻向日葵影子的长度各不相同，那么影子最长的时刻为________．18．二次函数的解析式为()2213y x =-++，顶点坐标是__________．三、解答题（共78分）19．（8分）如图，在10×10的网格中，有一格点△ABC(说明：顶点都在网格线交点处的三角形叫做格点三角形).(1)将△ABC 先向右平移5个单位，再向上平移2个单位，得到△A'B'C'，请直接画出平移后的△A'B'C'；(2)将△A'B'C'绕点C'顺时针旋转90°，得到△A''B''C'，请直接画出旋转后的△A''B''C'；(3)在(2)的旋转过程中，求点A'所经过的路线长(结果保留π).20．（8分）如图，△ABC 和△DEF 均为正三角形，D ，E 分别在AB ，BC 上，请找出一个与△DBE 相似的三角形并证明．21．（8分）如图，AG 是PAQ ∠的平分线，点E 在AQ 上，以AE 为直径的O 交AG 于点D ，过点D 作AP 的垂线，垂足为点C ，交AQ 于点B ．（1）求证：直线BC 是O 的切线； （2）若O 的半径为6，2AC CD =，求BD 的长．22．（10分）如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，每个小方格的边长为1个单位长度，在第二象限内有横、纵坐标均为整数的A B 、两点，点()2,3B -，点A 的横坐标为2-， 且5OA()1在平面直角坐标系中标出点A，写出A点的坐标并连接,,AB AO BO；()2画出OAB关于点O成中心对称的图形11△OA B.23．（10分）如图，已知反比例函数kyx=（x > 0，k是常数）的图象经过点A（1,4），点B（m , n），其中m＞1，AM⊥x轴，垂足为M，BN⊥y轴，垂足为N，AM与BN的交点为C．（1）写出反比例函数解析式；（2）求证：∆ACB∽∆NOM；（3）若∆ACB与∆NOM的相似比为2，求出B点的坐标及AB所在直线的解析式．24．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为点E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B．(1)求证：△ADF∽△DEC；(2)若AB=4，AD=33， AF=23，求AE的长．25．（12分）如图，一次函数y＝﹣2x+8与反比例函数kyx=(x＞0)的图象交于A(m，6)，B(3，n)两点，与x轴交于D点．（1）求反比例函数的解析式．（2）在第一象限内，根据图象直接写出一次函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围．26．⊙O直径AB＝12cm，AM和BN是⊙O的切线，DC切⊙O于点E且交AM于点D，交BN于点C，设AD＝x，BC＝y．（1）求y与x之间的关系式；（2）x，y是关于t的一元二次方程2t2﹣30t+m＝0的两个根，求x，y的值；（3）在（2）的条件下，求△COD的面积．参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、B【分析】画树状图列出所有情况，看数字之和等于4的情况数占总情况数的多少即可．【详解】画树状图得：则共有9种等可能的结果，其中两张牌的牌面数字之和等于4的有3种结果，∴两张牌的牌面数字之和等于4的概率为39＝13，故选：B．【点睛】本题考查列表法和树状图法，解题的关键是可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果．2、A【详解】这组数据中95出现了3次，次数最多，为众数；中位数为第3和第4两个数的平均数为95，故选A.3、D【分析】在Rt△ABC中，已知坡面AB的坡比以及铅直高度BC的值，通过解直角三角形即可求出斜面AB的长．【详解】Rt△ABC中，BC=20，tan A=1：3；∴AC=BC÷tan A=60，∴AB==．故选：D．【点睛】本题考查了学生对坡度坡角的掌握及三角函数的运用能力，熟练运用勾股定理是解答本题的关键．4、B【解析】试题解析：由于圆心A在数轴上的坐标为3，圆的半径为2，∴当d=r时，⊙A与数轴交于两点：1、5，故当a=1、5时点B在⊙A上；当d＜r即当1＜a＜5时，点B在⊙A内；当d＞r即当a＜1或a＞5时，点B在⊙A外．由以上结论可知选项A、C、D正确，选项B错误．故选B．点睛：若用d、r分别表示点到圆心的距离和圆的半径，则当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内．5、A【分析】根据对称，平移和旋转的定义，结合等边三角形的性质分析即可．【详解】解：从左边的等边三角形到右边的等边三角形，可以利用平移或绕某点旋转或先平移再轴对称，只轴对称得不到，故选：A．【点睛】本题考查了图形的变换：旋转、平移和对称，等边三角形的性质，掌握图形的变换是解题的关键．6、D【分析】通过画图发现，点D '的运动路线为以A 为圆心、 1为半径的圆，当D '在对角线CA 上时，C D '最小，先证明△PBC ≌△D 'BA ，则D 'A=PC=1，再利用勾股定理求对角线CA 的长，则得出C D '的长．【详解】如图，当D '在对角线CA 上时，C D '最小，连接CP ，由旋转得：BP=B D '，∠PB D '=90°，∴∠PBC+∠CB D '=90°，∵四边形ABCD 为正方形，∴BC=BA ，∠ABC=90°，∴∠AB D '+∠CB D '=90°，∴∠PBC=∠AB D '，在△PBC 和△D 'BA 中，BC BA PBC BA BP B ''=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△PBC ≌△D 'BA ，∴D 'A=PC=1，在Rt △ABC 中，AB=BC=4， 由勾股定理得：22224424A C B B A C +=+=∴C D '=AC-D 'A=421，即C D '长度的最小值为421，故选：D ．【点睛】本题考查了正方形的性质、旋转的性质和最小值问题，寻找点D '的运动轨迹是本题的关键．7、B【分析】将横坐标代入反比例函数求出纵坐标，即可比较大小关系.【详解】当x=−3时,y 1=−1，当x=−1时,y 2=−3，当x=1时,y 3=3，∴y 2<y 1<y 3故选：B.【点睛】本题考查反比例函数值的大小比较，将横坐标代入函数解析式求出纵坐标是解题的关键.8、D【分析】已知二次函数y ＝2x 2＋3为抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点直接写出顶点坐标．【详解】∵y ＝2x 2＋3＝2（x−0）2＋3，∴顶点坐标为（0，3）．故选：D ．【点睛】本题考查了二次函数的性质：二次函数的图象为抛物线，则解析式为y ＝a （x−k ）2＋h 的顶点坐标为（k ，h ）， 9、A【解析】把点（1，-1）代入解析式得-1=2k ， 解得k=-1．故选A ．10、C【分析】由四边形ABCD 为矩形得到△ADB 为直角三角形，又由AD ＝10，AB ＝BD ＝20，又由cos ∠ADB ＝12AD DB =，得到∠ADB ＝60°，又矩形对角线互相平分且相等，便道的宽为1m ，所以每个扇环都是圆心角为30°且外环半径为10.1，内环半径为9.1．这样可以求出每个扇环的面积．【详解】∵四边形ABCD 为矩形，∴△ADB 为直角三角形，又∵AD ＝10，AB ＝∴BD ＝又∵cos ∠ADB ＝12AD DB =，∴∠ADB＝60°．又矩形对角线互相平分且相等，便道的宽为1m，所以每个扇环都是圆心角为30°，且外环半径为10.1，内环半径为9.1．∴每个扇环的面积为223010.5309.553603603πππ⨯⨯⨯⨯-=．∴当π取3.14时整条便道面积为53π×2＝10.4666≈10.1m2．便道面积约为10.1m2．故选：C．【点睛】此题考查内容比较多，有勾股定理、三角函数、扇形面积，做题的关键是把实际问题转化为数学问题．11、B【解析】分析：根据一元二次方程根的判别式判断即可．详解：A、x2+6x+9=0.△=62-4×9=36-36=0，方程有两个相等实数根；B、x2=x.x2-x=0.△=（-1）2-4×1×0=1＞0.方程有两个不相等实数根；C、x2+3=2x.x2-2x+3=0.△=（-2）2-4×1×3=-8＜0，方程无实根；D、（x-1）2+1=0.（x-1）2=-1，则方程无实根；故选B．点睛：本题考查的是一元二次方程根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当△=0时，方程有两个相等的实数根；③当△＜0时，方程无实数根．12、C【分析】分顺时针旋转和逆时针旋转两种情况讨论解答即可．【详解】解：∵点D（5，3）在边AB上，∴BC＝5，BD＝5﹣3＝2，①若顺时针旋转，则点D在x轴上，O D＝2，所以，D（﹣2，0），②若逆时针旋转，则点D到x轴的距离为10，到y轴的距离为2，所以，D（2，10），综上所述，点D的坐标为（2，10）或（﹣2，0）．故选：C．【点睛】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转，正方形的性质，难点在于分情况讨论．二、填空题（每题4分，共24分）13、213-2【解析】作DC关于AB的对称点D′C′，以BC中的O为圆心作半圆O，连D′O分别交AB及半圆O于P、G．将PD+PG 转化为D′G找到最小值．【详解】如图：取点D关于直线AB的对称点D′，以BC中点O为圆心，OB为半径画半圆，连接OD′交AB于点P，交半圆O于点G，连BG，连CG并延长交AB于点E，由以上作图可知，BG⊥EC于G，PD+PG=PD′+PG=D′G，由两点之间线段最短可知，此时PD+PG最小，∵D′C’=4，OC′=6，∴=∴D′G=，∴PD+PG的最小值为，故答案为【点睛】本题考查了轴对称的性质、直径所对的圆周角是直角、线段和的最小值问题等，综合性较强，能灵活利用相关知识正确添加辅助线是解题的关键.通常解此类问题都是将线段之和转化为固定两点之间的线段和最短.14、90【分析】先根据等边三角形的的性质和三角形的外角性质求出∠ACP，进而求得可得∠BCP，最后根据圆周角定理∠BOP=2∠BCP=90°．【详解】解：∵∠A=∠ACB=60°，∠ADP=75°，∴∠ACP=∠ADP-∠A=15°，∴∠BCP=∠ACB-∠ACP=45°，∴∠BOP=2∠BCP=90°.故答案为90.【点睛】此题主要考查了等边三角形的的性质，三角形外角的性质，以及圆周角定理，关键是掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．15、3yx =．【解析】待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，反比例函数图象的对称性，正方形的性质．【分析】由反比例函数的对称性可知阴影部分的面积和正好为小正方形面积的，设小正方形的边长为b，图中阴影部分的面积等于9可求出b的值，从而可得出直线AB的表达式，再根据点P（2a，a）在直线AB上可求出a的值，从而得出反比例函数的解析式：∵反比例函数的图象关于原点对称，∴阴影部分的面积和正好为小正方形的面积．设正方形的边长为b，则b2=9，解得b=3．∵正方形的中心在原点O ，∴直线AB 的解析式为：x=2．∵点P （2a ，a ）在直线AB 上，∴2a=2，解得a=3．∴P （2，3）．∵点P 在反比例函数3y x=（k ＞0）的图象上，∴k=2×3=2． ∴此反比例函数的解析式为：． 16、14． 【分析】每次只摸出一个珠子时，布袋中共有珠子12个，其中红珠子3个，可以直接应用求概率的公式．【详解】解：因为每次只摸出一个珠子时，布袋中共有珠子12个，其中红珠子3个，所以第10次摸出红珠子的概率是31124=． 故答案是：14． 【点睛】本题考查概率的意义，解题的关键是熟练掌握概率公式．17、上午8时【解析】解：根据地理知识，北半球不同时刻太阳高度角不同影长也不同，规律是由长变短，再变长．故答案为上午8时．点睛：根据北半球不同时刻物体在太阳光下的影长是由长变短，再变长来解答此题．18、()1,3-【分析】由已知和抛物线的顶点式，直接判断顶点坐标．【详解】解：∵二次函数的解析式为：()2213y x =-++，∴二次函数图象的顶点坐标为：（-1，3）．故答案为：（-1，3）．【点睛】本题考查了抛物线的顶点坐标与抛物线解析式的关系，抛物线的顶点式：y=a （x-h ）2+k ，顶点坐标为（h ，k ）．三、解答题（共78分）19、（1）见解析，（2）见解析，（3）13 2π【解析】（1）将三个顶点分别向右平移5个单位，再向上平移2个单位得到对应点，再首尾顺次连接即可得；（2）作出点A′，B′绕点C顺时针旋转90°得到的对应点，再首尾顺次连接可得；（3）根据弧长公式计算可得．【详解】解：（1）如图所示，△A′B′C′即为所求．（2）如图所示，△A″B″C′即为所求．（3）∵A′C2223+13A′C′A″＝90°，∴点A90?·13π13π，13．【点睛】本题主要考查作图﹣旋转变换和平移变换，解题的关键是熟练掌握旋转和平移变换的定义和性质，并据此得出变换后的对应点，也考查了弧长公式．20、△GAD或△ECH或△GFH，证△GAD∽△DBE．见解析.【分析】根据已知及相似三角形的判定方法即可找到存在的相似三角形．【详解】解：△ECH，△GFH，△GAD均与△DBE相似，任选一对即可．如选△GAD证明如下：证明：∵△ABC与△EFD均为等边三角形，∴∠A=∠B=60°．又∵∠BDG=∠A+∠AGD，即∠BDE+60°=∠AGD+60°，∴∠BDE=∠AGD ．∴△DBE ∽△GAD ．点睛：等量关系证明两对应角相等是关键，考查了三角形的性质及相似三角形的判定．21、（1）证明见解析；（2）1．【分析】（1）根据角平分线的定义和同圆的半径相等可得//OD AC ，证明OD CB ⊥ ，可得结论；（2）在Rt ACD 中，设CD a = ，则AC 2a = ，AD =，证明ACD ADE △∽△ ，表示45r a = ，由平行线分线段成比例定理得：BD OD BC AC= ，代入可得结论． 【详解】解：（1） 连接OD .∵AG 是∠PAQ 的平分线，PAG QAG ∴∠=∠∵半径OA OB =ODA QAG ∴∠=∠PAG ODA ∴∠=∠//AP OD ∴BC AP ⊥90ACB ∴∠=︒90ODB ACB ∴∠=∠=︒BC OD ∴⊥∴直线BC 是O 的切线．（2） 连接DE ．∵AE 为O 的直径，90ADE ∠=︒∵2AC CD =，设,2CD x AC x ==在Rt ACD ∆中，AD == 在Rt ACD ∆与Rt ADE ∆中∵90CAD DAE ACD ADE ∠=∠∠=∠=︒，，∴,AD DE DE DE AC CD x ===，在Rt ADE ∆中，AE =12，∴222AD DE AE +=，即2225(5)()122x x += ∴245x = ∴2448,255CD x AC x ==== 在Rt △ODB 与Rt △ACB 中∵90CAB ODB ∠=∠=︒，OBD OBD ∠=∠∴ODB ACB ∆∆∽，6OD =∴OD DB AC CB =，即6482455DB DB =+ 8DB =∴【点睛】本题考查了三角形与圆相交的问题，掌握角平分线的定义、勾股定理、相似三角形的判定以及平行线分线段成比例是解题的关键．22、（1）作图见解析；（2）作图见解析.【分析】（1）根据勾股定理求得点A 的纵坐标，即可在坐标系中描出点A ，并连接,,AB AO BO ；（2）将OA 、OB 分别延长相等的长度，连接后即可得到中心对称的图形.【详解】（1）∵点A 的横坐标为2-，∴OA=2，∵5OA∴点A 22(5)21-=,∴点A 坐标()–21，（2）如图，【点睛】此题考查中心对称图形的画法，掌握中心对称的特点即可正确画出图形.23、（1）4y x =；（2）证明见解析；（3）43,?3⎛⎫ ⎪⎝⎭，41633y x =-+. 【解析】试题分析：（1）把 A 点坐标代入y k x=可得k 的值，进而得到函数解析式； （2）根据A 、B 两点坐标可得AC=4-n ，BC=m-1，ON=n ，OM=1，则4AC n NO n-=，再根据反比例函数 解析式可得4m =n ，则1AC m ON =-，而11BC m MO -=，可得AC BC NO MO =，再由∠ACB=∠NOM=90°，可得 △ACB ∽△NOM ；（3）根据△ACB 与△NOM 的相似比为2可得m-1=2，进而得到m 的值，然后可得B 点坐标，再利用待定系数法求出AB 的解析式即可．试题解析：（1）∵y k x =（x ＞0，k 是常数）的图象经过点A （1，4）， ∴k=4，∴反比例函数解析式为y=4x； （2）∵点 A （1，4），点 B （m ，n ），∴AC=4-n ，BC=m-1，ON=n ，OM=1， ∴441AC n NO n n-==-， ∵B （m ，n ）在y=4x 上， ∴4m =n ， ∴1AC m ON =-，而11BC m MO -=，∴AC BC NO MO=， ∵∠ACB=∠NOM=90°，∴△ACB ∽△NOM ；（3）∵△ACB 与△NOM 的相似比为 2，∴m-1=2，m=3，∴B （3，43）， 设AB 所在直线解析式为 y=kx+b ， ∴43{34k b k b=+=+， 解得，43{163k b =-= ∴AB 的解析式为y=-43x+163． 考点：反比例函数综合题．24、（1）答案见解析；（2）AF =【解析】试题分析：（1）△ADF 和△DEC 中，易知∠ADF=∠CED （平行线的内错角），而∠AFD 和∠C 是等角的补角，由此可判定两个三角形相似；（2）在Rt △ABE 中，由勾股定理易求得BE 的长，即可求出EC 的值；从而根据相似三角形得出的成比例线段求出AF 的长．试题解析：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD BC ，AB CD ，∴ADF CED ∠∠=，B C 180∠∠+=︒，∵AFE AFD 180∠∠+=︒，AFE B ∠∠=，∴AFD C ∠∠=，∴ADF DEC ∽．（2）四边形ABCD 是平行四边形，∴AD BC ，CD AB 4==，又∵AE BC ⊥，∴AE AD ⊥，在Rt ADE 中，DE 6==，∵ADF DEC ∽， ∴AD AF DE CD=，∴AF =25、（1） 6y x= (x ＞0)；（2） 1＜x ＜1． 【分析】（1）把A(m ，6)，B(1，n)两点分别代入y ＝﹣2x+8可求出m 、n 的值，确定A 点坐标为(1，6)，B 点坐标为(1，2)，然后利用待定系数法求反比例函数的解析式；（2）观察函数图象得到当1＜x ＜1，一次函数的图象在反比例函数图象上方．【详解】（1）把A(m ，6)，B(1，n)两点分别代入y ＝﹣2x+8得6＝﹣2m+8，n ＝﹣2×1+8，解得m ＝1，n ＝2， ∴A 点坐标为(1，6)，B 点坐标为(1，2)，把A(1，6)代入y ＝k x(x ＞0)求得k ＝1×6＝6， ∴反比例函数解析式为6y x = (x ＞0)； （2）在第一象限内，一次函数值大于反比例函数值时自变量x 的取值范围是1＜x ＜1．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数的解析式．也考查了待定系数法求函数的解析式以及观察图象的能力．26、（1）y ＝36x ；（2）312x y =⎧⎨=⎩或123x y =⎧⎨=⎩；（3）1． 【分析】（1）如图，作DF ⊥BN 交BC 于F ，根据切线长定理得,BF AD x CE CB y ====，则DC ＝DE +CE ＝x +y ，在Rt DFC 中根据勾股定理，就可以求出y 与x 之间的关系式．（2）由（1）求得36xy =，由根与系数的关系求得a 的值，通过解一元二次方程即可求得x ，y 的值．（3）如图，连接OD ，OE ，OC ，由AM 和BN 是⊙O 的切线，DC 切⊙O 于点E ，得到OE CD ⊥，AD DE =，BC CE =，推出S △AOD ＝S △ODE ，S △OBC ＝S △COE ，即可得出答案．【详解】（1）如图，作DF ⊥BN 交BC 于F ；∵AM 、BN 与⊙O 切于点定A 、B ，∴AB ⊥AM ，AB ⊥BN ．又∵DF ⊥BN ，∴∠BAD ＝∠ABC ＝∠BFD ＝90°， ∴四边形ABFD 是矩形，∴BF ＝AD ＝x ，DF ＝AB ＝12， ∵BC ＝y ，∴FC ＝BC ﹣BF ＝y ﹣x ；∵DE 切⊙O 于E ，∴DE ＝DA ＝xCE ＝CB ＝y ，则DC ＝DE +CE ＝x +y ，在Rt △DFC 中，由勾股定理得：（x +y ）2＝（y ﹣x ）2+122， 整理为：y ＝36x， ∴y 与x 的函数关系式是y ＝36x ． （2）由（1）知xy ＝36，x ，y 是方程2x 2﹣30x +a ＝0的两个根， ∴根据韦达定理知，xy ＝2a ，即a ＝72； ∴原方程为x 2﹣15x +36＝0，解得312x y =⎧⎨=⎩或123x y =⎧⎨=⎩． （3）如图，连接OD ，OE ，OC ， ∵AD ，BC ，CD 是⊙O 的切线， ∴OE ⊥CD ，AD ＝DE ，BC ＝CE ， ∴S △AOD ＝S △ODE ，S △OBC ＝S △COE ，∴S △COD ＝12×12×（3+12）×12＝1．【点睛】本题考查了圆切线的综合问题，掌握切线长定理、勾股定理、一元二次方程的解法是解题的关键．。