五．圆内接四边形
【考点速览】
圆内接四边形对角互补，外角等于内对角。
圆内接梯形为等腰梯形，圆内接平行四边形为矩形。
判断四点共圆的方法之一：四边形对角互补即可。
【典型例题】
例1 （1）已知圆内接四边形ABCD中，∠A:∠B:∠C=2:3:4，求∠D的度数．
（2）已知圆内接四边形ABCD中，如图所示，AB、BC、CD、AD的度数之比为1:2:3:4,求∠A、
∠B、∠C、∠D的度数．
A B
·
O
D
例2 如图所示，ABC 是等边三角形，D 是BC 上任一点．求证：DB+DC=DA ．
例3、如图7-103，在△ABC 中，E ，D ，F 分别为AB ，BC ，AC 的中点，且AP ⊥BC 于P ，
求证：E ，D ，P ，F 四点共圆．
例4、如图7-104，四边形ABCD 内接于⊙O ，过AB 延长线上一点E 作EF ∥AD ，且与DC 延长线交于F ，证明四边形BEFC 为圆内接四边形．
A
·
B
C
D
O
例5、如图7-105，△ABC内接于⊙O，D点在⊙O上，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF ⊥AC交AC延长线于F．求证：BE=CF．
例6、如图7-106，在△ABC中，AB=AC，BD是∠ABC的角平分线，△ABD的外接圆交BC 于E．求证：AD=EC．
例8、如图7-107，⊙O中，两弦AB∥CD，M是AB的中点，过M点作弦DE．求证：E，M，O，C四点共圆．
例9、如图7-108，M ，N 分别是△ABC 中AB ，AC 的中点，过M 作AB 的垂线交AC 于D ，过N 作AC 的垂线交AB 于E ．求证：B ，C ，D ，E 四点共圆．
例10、如图7-109，四边形ABCD 内接于圆，AC 平分∠BAD ，延长DC 交AB 的延长线于E 点．若AC=EC ，求证：AD=EB ．
【考点速练】
1．圆内接四边形的对角 ，并且任何一个外角都 它的内对角． 2．已知四边形ABCD 内接于⊙O ，则∠A:∠B:∠C:∠D=3:2: :7，且最大的内角为 ． 3．如右图，已知四边形ABCD 内接于⊙O ，AE ⊥CD 于E ，若∠ABC=︒130，则∠DAE= ．
4．已知圆内接四边形ABCD 的∠A 、∠B 、∠C 的外角度数比为2:3:4，
则∠A= ，∠B= ．
5．圆内接梯形是 梯形，圆内接平行四边形是 ．
6．若E 是圆内接四边形ABCD 的边BA 的延长线上一点，BD=CD ，∠EAD=︒55，则∠BDC= ． 7．四边形ABCD 内接于圆，∠A 、∠C 的度数之比是5:4，∠B 比∠D 大︒30，则∠A= 。
∠D= ．
· A
B
C E
D O
8．圆内接四边形ABCD 中，∠A 、∠B 、∠C 的度数比是2：3：6,则∠D 的度数是（ ） A 、︒5.67
B 、︒135
C 、︒5.112
D 、︒110
9．如图1所示，圆的内接四边形ABCD ，DA 、CB 延长线交于P ，AC 和BD 交于Q ，则图中相似三角形有（ ） A 、1对
B 、2对
C 、3对
D 、4对
10．如果圆的半径是15，那么它的内接正方形的边长等于（ ） A 、215
B 、315
C 、
2
3
15 D 、
2
2
15 11．下列四边形中，有外接圆的四边形是（ ） A 、有一个角为︒60的平行四边形 B 、菱形 C 、矩形
D 、直角梯形
12．如图2，四边形ABCD 是圆的内接四边形，如果BCD 的度数为︒240，那么∠C 等于（ ） A 、︒120
B 、︒80
C 、︒60
D 、︒40
13．若四边形ABCD 内接于圆，且∠A:∠B:∠C:∠D=5:m:4:n ，则（ ） A 、5m=4n B 、4m=5n C 、m+n=9
D 、m=n=︒180
14．如图，已知⊙O 的半径为2，弦AB 的长为32，点C 与点D 分别是劣弧AB 与优弧ADB 上任一点（点C 、D 均不与A 、B 重合）. (1)求ACB ∠；
(2)求三角形ABD 的最大面积．
15．如图所示，已知△ABC 内接于⊙O ，AB=AC ，点D 为劣弧BC 上一动点（不与B 、A 、C 重合），直线AD 与BC 交于E 点，连结BD 、DC. （1）求证:BD ·DC=DE ·DA ；
（2）若将D 改为优弧BAC 上一动点（不与B 、A 、C 重合），其他条件均不改变，则
A
D
C
B
P
Q
图1
A
D
B C
· O
图2 A
B C
O D
（1）中的结论还成立吗？请画图并证明你的结论.
【作业】日期 姓名 完成时间 成绩
1．过四边形ABCD 顶点A 、B 、C 作一个圆，若∠B+∠D ︒>180，则D 点在（ ） A 、圆上
B 、圆内
C 、圆外
D 、不能确定
2．如图1，若AC=AD ，那么圆中相等的圆周角所有的对数共有（ ） A 、5对
B 、6对
C 、7对
D 、8对
3．如图2，已知ABC ∆的外角∠BCD 的平分线CE 交ABC ∆的外接圆于E ，则ABE ∆是（ ） A 、锐角三角形 B 、直角三角形
C 、钝角三角形
D 、等腰三角形
4．如图3，四边形
ABCD 是⊙O 的内接四边形，AE 是⊙O 的弦，且AE ⊥CD ，若∠B=︒120，则∠
DAE 为（ ） A 、︒60
B 、︒30
C 、︒50
D 、︒70
5．已知：如图所示，四边形ABCD 内接于⊙O ，BD 是⊙O 直径，若∠DAC=︒60，BC=33
7
，AD=5．求AC 的长．
A B
C
D
图1
A · B
C
D
E O
图3
A
B C D
E
图2
· A
B
D
C
O
A
A。