初中九年级数学圆的讲义
圆
一、基本概念与性质
在平面内把线段OP绕着端点O旋转一周，端点P所形成的图形叫做圆。

其中，点O叫做圆心，线段OP叫做半径。

以点O为圆心的圆，记作⊙O ，读作圆O 。

点和圆的位置关系：
如果⊙O的半径是r，点P到圆心O的距离为d，则
d>r时，点P在__________
d=r时，点P在__________
d<r时，点p在__________< p="">
圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心。

圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线都是它的对称轴。

弦与弧
连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径，是圆最长的弦。

圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，符号：
以C、D为端点的弧，记作，读作
圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半
圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧。

顶点在圆心的角叫做圆心角，顶点在圆上且两边与圆相交的角叫做圆周角。

圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆，能够互相重合的两个圆叫做等圆，
能够互相重合的弧叫做等弧。

同圆或等圆的半径相等。

圆心角、弧、弦之间的关系：
1.定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。

2.推论：在同圆或等圆中，若两条弧相等，那么它们所对的圆心角和弦都相等。

在同圆或
等圆中，若两条弦相等，则它们所对的圆心角和弧都相等。

3.圆心角的度数与它所对的弧的度数相等。

圆心角与圆周角的关系：
1.同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。

2.推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°圆周角所对的弦是直径。

垂径定理：
1.垂直弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。

2.推论：平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧
确定圆的条件：
1.经过一点A作圆
2.经过A、B两点作圆
3.经过A、B、C三点作圆——
a)当三点位于一条直线时
b)当三点不在一条直线上时
4.结论：不在同一条直线上的三点确定一个圆
三角形的三个顶点确定一个圆。

这个圆叫做三角形的外接圆，外
接圆的圆心叫做三角形
的外心。

外心的性质：
1.三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等。

2.三角形外接圆有且只有一个，即给定三角形的外心唯一。

但一个圆的内接三角形有
无数个，这些三角形的外心重合。

3.尺规作图：
一个四边形的4个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做
四边形的外接圆。

圆内接四边形的对角互补。

直线与圆有两个公共点时，叫做直线与圆相交，这条直线叫做圆的割线
直线与圆有唯一公共点时，叫做直线与圆相切。

这条直线叫做圆的切线，公共点叫做切点。

直线与圆没有公共点时，叫做直线与圆相离。

直线与圆的位置关系：
如果⊙O的半径是r，圆心O到直线l的距离为d，则
d<r时，直线与圆相交< p="">
d=r时，直线与圆相切
d>r时，直线与圆相离
切线
1.定义：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线就是圆的切线。

（反证法）
2.性质：圆的切线垂直于过切点的半径。

3.切线的长度：圆的切线上某一点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。

4.切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连
线平分这两条切线的夹角。

与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，三角形内切圆的圆心叫做
三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形。

三角形的内心就是三角形三条内角平分线的交点，三角形的内心到三边的
距离相等。

探索：圆与圆的位置关系
1、圆和圆的位置关系
如果两个圆没有公共点，那么就说这两个圆相离，相离分为外离和内含两种。

如果两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆相切，相切分为外切和内切两种。

如果两个圆有两个公共点，那么就说这两个圆相交。

2、圆心距：两圆圆心的距离叫做两圆的圆心距。

3、圆和圆位置关系的性质与判定
设两圆的半径分别为R和r，圆心距为d，那么
两圆外离d>R+r
两圆外切d=R+r
两圆相交R-r<d<r+r（r≥r）< p="">
两圆内切d=R-r（R>r）
两圆内含dr）
4、两圆相切、相交的重要性质
如果两圆相切，那么切点一定在连心线上，它们是轴对称图形，对称轴是两圆的连心线；相交的两个圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。

正多边形与圆
1.正多边形：各边相等，各角也相等的多边形
2.只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个
正多边形的外接圆。

3.几个概念：
中心：正多边形外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心
半径：正多边形外接圆的半径叫做这个正多边形的半径
边心距：正多边形的中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距
中心角：正多边形的每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角
4.对称性：
（1）轴对称：正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心。

（2）中心对称：边数为偶数的正多边形是中心对称图形，它的对称中心是_________ 5.画法：先用量角器或尺规等分圆，再做正多边形。

二、圆的有关计算
1.圆的周长与面积
周长C=2πr
面积S=πr2
2.圆心角所对的弧长
在半径为R的圆中，圆的周长是_____°圆心角所对的弧长；因此
1°的圆心角所对的弧长是_______
n°的圆心角所对的弧长l是______
3.扇形
由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的圆形叫做扇形。

扇形的面积与组成扇形的圆心角的大小有关。

圆心角越大，扇形面积也越大。

4.扇形的面积：
在半径为R的圆中，360°的圆心角所对的扇形的面积S=_____，故圆心角为n°的扇形面积是：
S
扇形
=
5.圆锥的侧面展开图与侧面积计算
圆锥的侧面展开图是一个扇形，这个扇形的半径是圆锥侧面的母线，圆心是
圆锥的顶点，弧长是圆锥底面圆的周长。

——圆锥的侧面积是扇形面积。

如果设扇形的半径为l，弧长为c，圆心角为n，则它们之间有如下关系：
c=nπl 180
同时，如果设圆锥底面半径为r，周长为C，侧面母线长为l，那么它的侧面积是：
S
圆锥侧面=πrl=
1
2
Cl
圆锥的全面积为：S
圆锥全面积
=πrl+πr2
*圆柱侧面积：S
圆柱侧面积
=2πr?
</d<r+r（r≥r）<>
</r时，直线与圆相交<>
</r时，点p在__________<>。