八年级上册期末试卷测试卷附答案一、八年级数学全等三角形解答题压轴题(难)1.(1)已知△ABC是等腰三角形,其底边是BC,点D在线段AB上,E是直线BC上一点,且∠DEC=∠DCE,若∠A等于60°(如图①).求证:EB=AD;(2)若将(1)中的“点D在线段AB上”改为“点D在线段AB的延长线上”,其他条件不变(如图②),(1)的结论是否成立,并说明理由.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【解析】试题分析:(1)作DF∥BC交AC于F,由平行线的性质得出∠ADF=∠ABC,∠AFD=∠ACB,∠FDC=∠DCE,证明△ABC是等边三角形,得出∠ABC=∠ACB=60°,证出△ADF是等边三角形,∠DFC=120°,得出AD=DF,由已知条件得出∠FDC=∠DEC,ED=CD,由AAS证明△DBE≌△CFD,得出EB=DF,即可得出结论;(2)作DF∥BC交AC的延长线于F,同(1)证出△DBE≌△CFD,得出EB=DF,即可得出结论.试题解析:(1)证明:如图,作DF∥BC交AC于F,则△ADF为等边三角形∴AD=DF,又∵∠DEC=∠DCB,∠DEC+∠EDB=60°,∠DCB+∠DCF=60°,∴∠EDB=∠DCA ,DE=CD,在△DEB和△CDF中,120EBD DFCEDB DCFDE CD,,∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△DEB≌△CDF,∴BD=DF,∴BE=AD .(2).EB=AD成立;理由如下:作DF∥BC交AC的延长线于F,如图所示:同(1)得:AD=DF,∠FDC=∠ECD,∠FDC=∠DEC,ED=CD,又∵∠DBE=∠DFC=60°,∴△DBE≌△CFD(AAS),∴EB=DF,∴EB=AD.点睛:此题主要考查了三角形的综合,考查等边三角形的判定与性质,全等三角形的判定与性质,等腰三角形的判定与性质,等腰直角三角形的判定与性质,平行线的性质等知识,综合性强,有一定的难度,证明三角形全等是解决问题的关键.2.(1)如图(1),已知:在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,直线m经过点A,BD⊥直线m, CE⊥直线m,垂足分别为点D、E.证明:DE=BD+CE.(2)如图(2),将(1)中的条件改为:在△ABC中,AB=AC,D、A、E三点都在直线m 上,并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α,其中α为任意锐角或钝角.请问结论DE=BD+CE是否成立?如成立,请你给出证明;若不成立,请说明理由.(3)拓展与应用:如图(3),D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点(D、A、E三点互不重合),点F为∠BAC平分线上的一点,且△ABF和△ACF均为等边三角形,连接BD、CE,若∠BDA=∠AEC=∠BAC,试判断△DEF的形状.【答案】(1)见解析(2)成立(3)△DEF为等边三角形【解析】解:(1)证明:∵BD⊥直线m,CE⊥直线m,∴∠BDA=∠CEA=900.∵∠BAC=900,∴∠BAD+∠CAE=900.∵∠BAD+∠ABD=900,∴∠CAE=∠ABD.又AB="AC" ,∴△ADB≌△CEA(AAS).∴AE=BD,AD=CE.∴DE="AE+AD=" BD+CE.(2)成立.证明如下:∵∠BDA =∠BAC=α,∴∠DBA+∠BAD=∠BAD +∠CAE=1800—α.∴∠DBA=∠CAE . ∵∠BDA=∠AEC=α,AB=AC ,∴△ADB ≌△CEA (AAS ).∴AE=BD ,AD=CE .∴DE=AE+AD=BD+CE .(3)△DEF 为等边三角形.理由如下:由(2)知,△ADB ≌△CEA ,BD=AE ,∠DBA =∠CAE ,∵△ABF 和△ACF 均为等边三角形,∴∠ABF=∠CAF=600.∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF .∴∠DBF=∠FAE .∵BF=AF ,∴△DBF ≌△EAF (AAS ).∴DF=EF ,∠BFD=∠AFE .∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=600.∴△DEF 为等边三角形.(1)因为DE=DA+AE ,故由AAS 证△ADB ≌△CEA ,得出DA=EC ,AE=BD ,从而证得DE=BD+CE .(2)成立,仍然通过证明△ADB ≌△CEA ,得出BD=AE ,AD=CE ,所以DE=DA+AE=EC+BD . (3)由△ADB ≌△CEA 得BD=AE ,∠DBA =∠CAE ,由△ABF 和△ACF 均等边三角形,得∠ABF=∠CAF=600,FB=FA ,所以∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF ,即∠DBF=∠FAE ,所以△DBF ≌△EAF ,所以FD=FE ,∠BFD=∠AFE ,再根据∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=600得到△DEF 是等边三角形.3.如图1,在长方形ABCD 中,AB=CD=5 cm , BC=12 cm ,点P 从点B 出发,以2cm/s 的速度沿BC 向点C 运动,设点P 的运动时间为ts .(1)PC=___cm ;(用含t 的式子表示)(2)当t 为何值时,△ABP ≌△DCP ?.(3)如图2,当点P 从点B 开始运动,此时点Q 从点C 出发,以vcm/s 的速度沿CD 向点D 运动,是否存在这样的v 值,使得某时刻△ABP 与以P ,Q ,C 为顶点的直角三角形全等?若存在,请求出v 的值;若不存在,请说明理由.【答案】(1)()122t -;(2)3t =;(3)存在,2v =或53v =【解析】【分析】(1)根据P 点的运动速度可得BP 的长,再利用BC 的长减去BP 的长即可得到PC 的长; (2)先根据三角形全等的条件得出当BP=CP ,列方程求解即得;(3)先分两种情况:当BP=CQ ,AB=PC 时,△ABP ≌△PCQ ;或当BA=CQ ,PB=PC 时,△ABP ≌△QCP ,然后分别列方程计算出t 的值,进而计算出v 的值.【详解】解:(1)当点P 以2cm/s 的速度沿BC 向点C 运动时间为ts 时2BP tcm =∵12BC cm =∴()122PC BC BP t cm =-=-故答案为:()122t -(2)∵ABP DCP ∆≅∆∴BP CP =∴2122t t =-解得3t =.(3)存在,理由如下:①当BP=CQ ,AB=PC 时,△ABP ≌△PCQ ,∴PC=AB=5∴BP=BC-PC=12-5=7∵2BP tcm =∴2t=7解得t=3.5∴CQ=BP=7,则3.5v=7解得2v =.②当BA CQ =,PB PC =时,ABP QCP ∆≅∆∵12BC cm = ∴162BP CP BC cm === ∵2BP tcm =∴26t = 解得3t =∴3CQ vcm =∵5AB CQ cm ==∴35v = 解得53v =. 综上所述,当2v =或53v =时,ABP ∆与以P ,Q ,C 为顶点的直角三角形全等. 【点睛】本题考查全等三角形的判定及性质和矩形的性质,解题关键是将动态情况化为某一状态情况,并以这一状态为等量关系建立方程求解.4.如图1,已知CF 是△ABC 的外角∠ACE 的角平分线,D 为CF 上一点,且DA =DB .(1)求证:∠ACB =∠ADB ;(2)求证:AC +BC <2BD ;(3)如图2,若∠ECF =60°,证明:AC =BC +CD .【答案】(1)详见解析;(2)详见解析;(3)详见解析.【解析】【分析】(1)过点D 分别作AC ,CE 的垂线,垂足分别为M ,N ,证明Rt △DAM ≌Rt △DBN ,得出∠DAM=∠DBN ,则结论得证;(2)证明Rt △DMC ≌Rt △DNC ,可得CM=CN ,得出AC+BC=2BN ,又BN <BD ,则结论得证;(3)在AC 上取一点P ,使CP=CD ,连接DP ,可证明△ADP ≌△BDC ,得出AP=BC ,则结论可得出.【详解】(1)证明:过点D 分别作AC ,CE 的垂线,垂足分别为M ,N ,∵CF 是△ABC 的外角∠ACE 的角平分线,∴DM =DN ,在Rt △DAM 和Rt △DBN 中,DA DB DM DN =⎧⎨=⎩, ∴Rt △DAM ≌Rt △DBN (HL ),∴∠DAM =∠DBN ,∴∠ACB =∠ADB ;(2)证明:由(1)知DM =DN ,在Rt △DMC 和Rt △DNC 中,DC DCDM DN=⎧⎨=⎩,∴Rt△DMC≌Rt△DNC(HL),∴CM=CN,∴AC+BC=AM+CM+BC=AM+CN+BC=AM+BN,又∵AM=BN,∴AC+BC=2BN,∵BN<BD,∴AC+BC<2BD.(3)由(1)知∠CAD=∠CBD,在AC上取一点P,使CP=CD,连接DP,∵∠ECF=60°,∠ACF=60°,∴△CDP为等边三角形,∴DP=DC,∠DPC=60°,∴∠APD=120°,∵∠ECF=60°,∴∠BCD=120°,在△ADP和△BDC中,APD BCDPAD CBDDA DB∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△ADP≌△BDC(AAS),∴AP=BC,∵AC=AP+CP,∴AC=BC+CP,∴AC=BC+CD.【点睛】本题是三角形综合题,考查了等边三角形的判定与性质,全等三角形的判定与性质,角平分线的性质等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题.5.综合与实践:我们知道“两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等”.但是,乐乐发现:当这两个三角形都是锐角三角形时,它们会全等.(1)请你用所学知识判断乐乐说法的正确性.如图,已知ABC ∆、111A B C ∆均为锐角三角形,且11AB A B =,11BC B C =,1C C ∠=∠. 求证:111ABC A B C ∆∆≌.(2)除乐乐的发现之外,当这两个三角形都是______时,它们也会全等.【答案】(1)见解析;(2)钝角三角形或直角三角形.【解析】【分析】(1)过B 作BD ⊥AC 于D ,过B 1作B 1D 1⊥B 1C 1于D 1,得出∠BDA=∠B 1D 1A 1=∠BDC=∠B 1D 1C 1=90°,根据SAS 证△BDC ≌△B 1D 1C 1,推出BD=B 1D 1,根据HL 证Rt △BDA ≌Rt △B 1D 1A 1,推出∠A=∠A 1,根据AAS 推出△ABC ≌△A 1B 1C 1即可.(2)当这两个三角形都是直角三角形时,直接利用HL 即可证明;当这两个三角形都是钝角三角形时,与(1)同理可证.【详解】(1)证明:过点B 作BD AC ⊥于D ,过1B 作1111B D A C ⊥于1D ,则11111190BDA B D A BDC B D C ∠=∠=∠=∠=︒.在BDC ∆和111B D C ∆中,1C C ∠=∠,111BDC B D C ∠=∠,11BC B C =,∴111BDC B D C ∆∆≌,∴11BD B D =.在Rt BDA ∆和111Rt B D A ∆中,11AB A B =,11BD B D =,∴111Rt Rt (HL)BDA B D A ∆∆≌,∴1A A ∠=∠.在ABC ∆和111A B C ∆中,1C C ∠=∠,1A A ∠=∠,11AB A B =,∴111(AAS)ABC A B C ∆∆≌.(2)如图,当这两个三角形都是直角三角形时,∵11AB A B =,11BC B C =,190C C ∠==∠︒.∴Rt ABC ∆≌111Rt A B C ∆(HL );∴当这两个三角形都是直角三角形时,它们也会全等;如图,当这两个三角形都是钝角三角形时,作BD ⊥AC ,1111B D A C ⊥,与(1)同理,利用AAS 先证明111BDC B D C ∆∆≌,得到11BD B D =,再利用HL 证明111Rt Rt BDA B D A ∆∆≌,得到1A A ∠=∠,再利用AAS 证明111ABC A B C ∆∆≌;∴当这两个三角形都是钝角三角形时,它们也会全等;故答案为:钝角三角形或直角三角形.【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用,主要考查学生的推理能力.解题的关键是熟练掌握证明三角形全等的方法.二、八年级数学 轴对称解答题压轴题(难)6.如图,在平面直角坐标系中,已知点A (2,3),点B (﹣2,1).(1)请运用所学数学知识构造图形求出AB 的长;(2)若Rt △ABC 中,点C 在坐标轴上,请在备用图1中画出图形,找出所有的点C 后不用计算写出你能写出的点C 的坐标;(3)在x 轴上是否存在点P ,使PA =PB 且PA +PB 最小?若存在,就求出点P 的坐标;若不存在,请简要说明理由(在备用图2中画出示意图).【答案】(1)AB=52)C2(0,7),C4(0,-4),C5(-1,0)、C6(1,0);(3)不存在这样的点P.【解析】【分析】(1)如图,连结AB,作B关于y轴的对称点D,利用勾股定理即可得出AB;(2)分别以A,B,C为直角顶点作图,然后直接得出符合条件的点的坐标即可;(3)作AB的垂直平分线l3,则l3上的点满足PA=PB,作B关于x轴的对称点B′,连结AB′,即x轴上使得PA+PB最小的点,观察作图即可得出答案.【详解】解:(1)如图,连结AB,作B关于y轴的对称点D,由已知可得,BD=4,AD=2.∴在Rt△ABD中,AB=5(2)如图,①以A为直角顶点,过A作l1⊥AB交x轴于C1,交y轴于C2.②以B为直角顶点,过B作l2⊥AB交x轴于C3,交y轴于C4.③以C为直角顶点,以AB为直径作圆交坐标轴于C5、C6、C7.(用三角板画找出也可)由图可知,C2(0,7),C4(0,-4),C5(-1,0)、C6(1,0).(3)不存在这样的点P.作AB的垂直平分线l3,则l3上的点满足PA=PB,作B关于x轴的对称点B′,连结AB′,由图可以看出两线交于第一象限.∴不存在这样的点P.【点睛】本题考查了勾股定理,构造直角三角形,中垂线和轴对称--路径最短问题的综合作图分析,解题的关键是学会分类讨论,学会画好图形解决问题.7.如图,在△ABC中,AB=BC=AC=20 cm.动点P,Q分别从A,B两点同时出发,沿三角形的边匀速运动.已知点P,点Q的速度都是2 cm/s,当点P第一次到达B点时,P,Q两点同时停止运动.设点P的运动时间为t(s).(1)∠A=______度;(2)当0<t<10,且△APQ为直角三角形时,求t的值;(3)当△APQ为等边三角形时,直接写出t的值.【答案】(1)60;(2)103或203;(3)5或20【解析】【分析】(1)根据等边三角形的性质即可解答;(2)需分∠APQ=90°和∠AQP=90°两种情况进行解答;(3)需分以下两种情况进行解答:①由∠A=60°,则当AQ=AP 时,△APQ 为等边三角形;②当P 于B 重合,Q 与C 重合时,△APQ 为等边三角形.【详解】解:(1)60°.(2)∵∠A=60°,当∠APQ=90°时,∠AQP=90°-60°=30°.∴QA=2PA .即2022 2.t t -=⨯解得 10.3t = 当∠AQP=90°时,∠APQ=90°-60°=30°.∴PA=2QA .即2(202)2.t t -=解得 20.3t = ∴当0<t <10,且△APQ 为直角三角形时,t 的值为102033或. (3)①由题意得:AP=2t ,AQ=20-2t∵∠A=60°∴当AQ=AP 时,△APQ 为等边三角形∴2t=20-2t ,解得t=5②当P 于B 重合,Q 与C 重合,则所用时间为:4÷2=20综上,当△APQ 为等边三角形时,t=5或20.【点睛】本题考查了等边三角形和直角三角形的判定以及动点问题,解答的关键在于正确的分类讨论以及对所学知识的灵活应用.8.数学课上,同学们探究下面命题的正确性,顶角为36°的等腰三角形我们称之为黄金三角形,“黄金三角形“具有一种特性,即经过它某一顶点的一条直线可以把它分成两个小等腰三角形,为此,请你,解答问题:(1)已知如图1:黄金三角形△ABC 中,∠A=36°,直线BD 平分∠ABC 交AC 于点D ,求证:△ABD 和△DBC 都是等腰三角形;(2)如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,请你设计三种不同的方法,将△ABC分割成三个等腰三角形,不要求写出画法,不要求证明,但是要标出所分得的每个三角形的各内角的度数.(3)已知一个三角形可以被分成两个等腰三角形,若原三角形的一个内角为36°,求原三角形的最大内角的所有可能值.【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)最大角的可能值为72°,90°,108°,126°,132°【解析】【分析】(1)通过角度转换得到∠ABD=∠BAD,和∠BDC=72°=∠C,即可判断;(2)根据等腰三角形的两底角相等及三角形内角和定理进行解答即可;(3)设原△ABD中有一个角为36°,可分成两个等腰三角形,逐个讨论:①当分割的直线过顶点B时②当分割三角形的直线过点D时情况和过点B一样的,③当分割三角形的直线过点A时,在分别求出最大角的度数即可.【详解】解:(1)证明:∵∠ABC=(180-36)÷2=72;BD平分∠ABC,∠ABD=72÷2=36°,∴∠ABD=∠BAD,∴△ABD为等腰三角形,∴∠BDC=72°=∠C,∴△BCD为等腰三角形;(2)根据等腰三角形的两底角相等及三角形内角和定理作出,如图所示:(3)设原△ABD中有一个角为36°,可分成两个等腰三角形,逐个讨论:①当分割的直线过顶点B时,【1】:第一个等腰三角形ABC以A为顶点:则第二个等腰三角形BCD只可能以C为顶点此时∠A=36°,∠D=36°,∠B=72+36=108°,最大角的值为108°;【2】:第一个等腰三角形ABC以B为顶点:第二个等腰三角形BCD只可能以C为顶点此时:∠A=36°,∠D=18°,∠B=108+18=126°,最大角的值为126°;【3】第一个等腰三角形ABC以C为顶点:第二个等腰三角形BCD有三种情况△BCD以B为顶点:∠A=36°,∠D=72°,∴∠ABD=72°,最大角的值为72°;△BCD以C为顶点:∠A=36°,∠D=54°,∴∠ABD=90°,最大角的值为90°;△BCD以D为顶点:∠A=36°,∠D=36°∴∠ABD=108°,最大角的值为108°;②当分割三角形的直线过点D时情况和过点B一样的;③当分割三角形的直线过点A时,此时∠A=36°,∠D=12°,∠B=132°,最大角的值为132°;综上所述:最大角的可能值为72°,90°,108°,126°,132°.【点睛】本题是对三角形知识的综合考查,熟练掌握等腰三角形的性质和角度转换是解决本题的关键,难度较大,分类讨论是解决本题的关键.9.如图,在ABC ∆中,CE 为三角形的角平分线,AD CE ⊥于点F 交BC 于点D (1)若9628BAC B ︒︒∠=∠=,,直接写出BAD ∠= 度(2)若2ACB B ∠=∠,①求证:2AB CF =②若 ,CF a EF b ==,直接写出BD CD= (用含 ,a b 的式子表示)【答案】(1)34;(2)①见详解;②2b a b- 【解析】【分析】 (1)由三角形内角和定理和角平分线定义即可得出答案;(2)①证明B BCE ∠=∠,得出BE=CE ,过点A 作//AH BC 交CE 与点H ,则,H BCE ACE EAH B ∠=∠=∠∠=∠,得出AH=AC ,H EAH ∠=∠,得出AE=HE ,由等腰三角形的性质可得出HF=CF ,即可得出结论;②证明AHF DCF ≅,得出AH=DC ,求出HF=CF=a ,HE=HF-EF=a-b ,CE=a+b ,由 //AH BC 得出AH AE a b BC BE a b-==+,进而得出结论. 【详解】 解:(1)∵9628BAC B ︒︒∠=∠=,,∴180962856ACB ∠=︒-︒-︒=︒,∵CE 为三角形的角平分线,∴1282ACE ACB ∠=∠=︒, ∵AD CE ⊥,∴902862CAF ∠=︒-︒=︒,∴966234BAD ∠=︒-︒=︒.故答案为:34;(2)①证明:∵22ACB B BCE∠=∠=∠∴B BCE∠=∠∴BE CE=过点A作//AH BC交CE与点H,如图所示:则,H BCE ACE EAH B∠=∠=∠∠=∠∴AH=AC,H EAH∠=∠∴AE=HE∵AD CE⊥∴HF=CF∴AB=HC=2CF;②在AHF△和DCF中,H DCFHF CFAFH DFC∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴AHF DCF≅∴AH=DC∵,CF a EF b==∴HF CF a==,由①得AE HE HF EF a b==-=-,BE CE a b==+∵//AH BC∴AH AE a bBC BE a b-==+∴CD a bBC a b-=+∴2BD bCD a b=-.故答案为:2ba b-.【点睛】本题考查的知识点是全等三角形的判定及其性质、等腰三角形的判定及其性质、三角形的内角和定理、三角形的角平分线定理等,掌握以上知识点是解此题的关键.10.如图1,△ABD,△ACE都是等边三角形,(1)求证:△ABE≌△ADC;(2)若∠ACD=15°,求∠AEB的度数;(3)如图2,当△ABD与△ACE的位置发生变化,使C、E、D三点在一条直线上,求证:AC∥BE.【答案】(1)见解析(2) ∠AEB=15°(3) 见解析【解析】试题分析:(1)由等边三角形的性质可得AB=AD,AE=AC,∠DAB=∠EAC=60°,即可得∠DAC=∠BAE,利用SAS即可判定△ABE≌△ADC;(2)根据全等三角形的性质即可求解;(3)由(1)的方法可证得△ABE≌△ADC,根据全等三角形的性质和等边三角形的性质可得∠AEB=∠ACD =60°,即可得∠AEB=∠EAC,从而得AC∥BE.试题解析:(1)证明:∵△ABD,△ACE都是等边三角形∴AB=AD,AE=AC,∠DAB=∠EAC=60°,∴∠DAC=∠BAE,在△ABE和△ADC中,∴,∴△ABE≌△ADC;(2)由(1)知△ABE≌△ADC,∴∠AEB=∠ACD,∵∠ACD=15°,∴∠AEB=15°;(3)同上可证:△ABE≌△ADC,∴∠AEB=∠ACD,又∵∠ACD=60°,∴∠AEB=60°,∵∠EAC=60°,∴∠AEB=∠EAC,∴AC ∥BE .点睛:本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定及性质,证得△ABE ≌△ADC 是解决本题的关键.三、八年级数学整式的乘法与因式分解解答题压轴题(难)11.观察下列各式:()()2111,x x x -+=-()()23 111,x x x x -++=-()()324 111,x x x x x -+++=-()()4325 1 11,x x x x x x -++++=-······()1根据规律()()122 1 ...1n n x x x x x ---+++++=(其中n 为正整数) ;()()3029282(51)5555251-+++++()3计算:201920182017321(2)(2)(2)(2)(2)(2)1-+-+-++-+--++ 【答案】(1)1n x -;(2)311-5;(3)2020213-- 【解析】【分析】(1)归纳总结得到一般性规律,即可得到结果;(2)根据一般性结果,将n=31,x=5代入(1)中即可;(3)将代数式适当变形为(1)的形式,根据前面总结的规律即可计算出结果.【详解】(1)根据上述规律可得()()122 1 ...1n n x x x x x ---+++++=1n x -,故填:1n x -;(2)由(1)可知()3029282(51)555551-+++++=311-5()3 201920182017321(2)(2)(2)(2)(2)(2)1-+-+-+⋅+-+-+-+ =201920182011732[(2)1](2)(2)(2)(2)(2)(2)13⎡⎤---+-+-+⋯+-+--+⎣⎦-+ =2020(2)13--- =2020213-- 【点睛】本题考查整式的乘法,能根据题例归纳总结出一般性规律是解题关键,(3)中能对整式适当变形是解题关键,但需注意变形时要为等量变形.12.阅读下列因式分解的过程,再回答所提出的问题:()()()()()()()223111111111x x x x x x x x x x x x +++++=++++=++=⎤⎣+⎡⎦. (1)上述分解因式的方法是______________法.(2)分解220191(1)(1)(1)x x x x x x x ++++++++的结果应为___________.(3)分解因式:21(1)(1)(1)n x x x x x x x ++++++++.【答案】(1)提公因式 ; (2)()20201x + ;(3)()11n x ++【解析】【分析】(1)用的是提公因式法; (2)按照(1)中的方法再分解几个,找了其中的规律,即可推测出结果;.(3)由(2)中得到的规律即可推广到一般情况.【详解】解:(1)上述分解因式的方法是提公因式法.(2)()()()()()2333111111x x x x x x x x x x +++++++=+++=()41x + ()()()()()()234441111111x x x x x x x x x x x x +++++++++=+++=()51x + ……由此可知()2201911(1)(1)x x x x x x x ++++++++=()20201x +(3)原式=(1+x )[1+x+x (x+1)]+x (x+1)3+…+x (x+1)n ,=(1+x )2(1+x )+x (x+1)3+…+x (x+1)n ,=(1+x )3+x (1+x )3+…+x (1+x )n ,=(1+x )n +x (x+1)n ,=(1+x )n+1.【点睛】本题考查了提公因式法分解因式,找出整式的结构规律是关键,体现了由特殊到一般的数学思想.13.观察下列等式:22()()a b a b a b -=-+3322()()a b a b a ab b -=-++443223()()a b a b a a b ab b -=-+++55432234()()a b a b a a b a b ab b -=-++++完成下列问题:(1)n n a b -=___________(2)636261322222221+++⋯⋯++++= (结果用幂表示).(3)已知4,1a b ab -==,求33a b -.【答案】(1)(a-b )(a n-1+a n-2b+…+ab n-2+b n-1);(2)264-1;(3)76.【解析】【分析】(1)根据规律可得结果(a-b )(a n-1+a n-2b+…+ab n-2+b n-1);(2)利用(1)得出的规律先计算(2-1)63626132(2222221+++⋯⋯++++)即可得出结果;(3)利用(1)得出的规律变形,再用完全平方公式进行变形,变成只含a-b 及ab 的形式,整体代入计算即可得到结果.【详解】解:(1)()()22a b a b a b -=-+,()()3322a b a b a ab b -=-++,()()443223a b a b a a b ab b -=-+++, ()()55432234a b a b a a b a b ab b -=-++++, 由此规律可得:a n -b n =(a-b )(a n-1+a n-2b+…+ab n-2+b n-1),故答案是:(a-b )(a n-1+a n-2b+…+ab n-2+b n-1);(2)由(1)的规律可得(2-1)()636261322222221+++⋯⋯++++=264-1, ∴636261322222221+++⋯⋯++++=264-1.故答案是:264-1.(3)已知4,1a b ab -==,求33a b -.()()3322a b a b a ab b -=-++=()() [a b a b --2+3 a b ]∴33a b -=24431⨯+⨯()=76. 故答案是:76.【点睛】此题考查了多项式乘以多项式,弄清题中的规律是解本题的关键.14.阅读下列因式分解的过程,再回答所提出的问题:1+x +x (x +1)+x (x +1)2=(1+x )[1+x +x (x +1)]=(1+x )2(1+x )=(1+x )3(1)上述分解因式的方法是 ,共应用了 次.(2)若分解1+x +x (x +1)+x (x +1)2+…+ x (x +1)2004,则需应用上述方法 次,结果是 .(3)分解因式:1+x +x (x +1)+x (x +1)2+…+ x (x +1)n (n 为正整数).【答案】(1)提公因式,两次;(2)2004次,(x+1)2005;(3) (x+1)1n+【解析】【分析】(1)根据已知材料直接回答即可;(2)利用已知材料进而提取公因式(1+x),进而得出答案;(3)利用已知材料提取公因式进而得出答案.【详解】(1)上述分解因式的方法是:提公因式法,共应用了2次.故答案为提公因式法,2次;(2)1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+ x(x+1)2004,=(1+x)[1+x+x(1+x)+…+ x(x+1)2003]⋯=22003(1) (1)(1)(1)(1)xx x x x+++++个=(1+x)2005,故分解1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+ x(x+1)2004,,则需应用上述方法2004次,结果是:(x+1)2005.(3)分解因式:1+x+x(x+1)+x(x+1)2…+x(x+1)n(n为正整数)的结果是:(x+1)n+1.故答案为(x+1)n+1.【点睛】此题主要考查了提取公因式法分解因式,正确提取公因式是解题关键.15.(知识生成)我们已经知道,通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式.例如图1可以得到(a+b)2=a2+2ab+b2,基于此,请解答下列问题:(1)根据图2,写出一个代数恒等式:.(2)利用(1)中得到的结论,解决下面的问题:若a+b+c=10,ab+ac+bc=35,则a2+b2+c2=.(3)小明同学用图3中x张边长为a的正方形,y张边长为b的正方形,z张宽、长分别为a、b的长方形纸片拼出一个面积为(2a+b)(a+2b)长方形,则x+y+z=.(知识迁移)(4)事实上,通过计算几何图形的体积也可以表示一些代数恒等式,图4表示的是一个边长为x的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体,请你根据图4中图形的变化关系,写出一个代数恒等式:.【答案】(1)(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc;(2)30;(3)9;(4)x3﹣x=(x+1)(x﹣1)x【解析】【分析】(1)依据正方形的面积=(a+b+c)2;正方形的面积=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc,可得等式;(2)依据a2+b2+c2=(a+b+c)2﹣2ab﹣2ac﹣2bc,进行计算即可;(3)依据所拼图形的面积为:xa2+yb2+zab,而(2a+b)(a+2b)=2a2+4ab+ab+2b2=2a2+5b2+2ab,即可得到x,y,z的值.(4)根据原几何体的体积=新几何体的体积,列式可得结论.【详解】(1)由图2得:正方形的面积=(a+b+c)2;正方形的面积=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc,∴(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc,故答案为:(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc;(2)∵(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc,∵a+b+c=10,ab+ac+bc=35,∴102=a2+b2+c2+2×35,∴a2+b2+c2=100﹣70=30,故答案为:30;(3)由题意得:(2a+b)(a+2b)=xa2+yb2+zab,∴2a2+5ab+2b2=xa2+yb2+zab,∴225xyz=⎧⎪=⎨⎪=⎩,∴x+y+z=9,故答案为:9;(4)∵原几何体的体积=x3﹣1×1•x=x3﹣x,新几何体的体积=(x+1)(x﹣1)x,∴x3﹣x=(x+1)(x﹣1)x.故答案为:x3﹣x=(x+1)(x﹣1)x.【点睛】本题主要考查的是整式的混合运算,利用直接法和间接法分别求得几何图形的体积或面积,然后根据它们的体积或面积相等列出等式是解题的关键.四、八年级数学分式解答题压轴题(难)16.某开发公司生产的 960 件新产品需要精加工后,才能投放市场,现甲、乙两个工厂都想加工这批产品,已知甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用20 天,而甲工厂每天加工的数量是乙工厂每天加工的数量的23,公司需付甲工厂加工费用为每天 80 元,乙工厂加工费用为每天 120 元.(1)甲、乙两个工厂每天各能加工多少件新产品?(2)公司制定产品加工方案如下:可以由每个厂家单独完成,也可以由两个厂家合作完成.在加工过程中,公司派一名工程师每天到厂进行技术指导,并负担每天 15 元的午餐补助费,请你帮公司选择一种既省时又省钱的加工方案,并说明理由.【答案】(1)甲工厂每天加工 16 件产品,乙工厂每天加工 24 件产品. (2)甲、乙两工厂合作完成此项任务既省时又省钱.见解析.【解析】【分析】(1)设甲工厂每天加工 x 件新品,乙工厂每天加工 1.5x 件新品,根据题意找出等量关系:甲厂单独加工这批产品所需天数﹣乙工厂单独加工完这批产品所需天数=20,由等量关系列出方程求解.(2)分别计算出甲单独加工完成、乙单独加工完成、甲、乙合作完成需要的时间和费用,比较大小,选择既省时又省钱的加工方案即可.【详解】(1)设甲工厂每天加工 x 件新品,乙工厂每天加工 1.5x 件新品,则:解得:x=16经检验,x=16 是原分式方程的解∴甲工厂每天加工 16 件产品,乙工厂每天加工 24 件产品(2)方案一:甲工厂单独完成此项任务,则需要的时间为:960÷16=60 天需要的总费用为:60×(80+15)=5700 元方案二:乙工厂单独完成此项任务,则需要的时间为:960÷24=40 天需要的总费用为:40×(120+15)=5400 元方案三:甲、乙两工厂合作完成此项任务,设共需要 a 天完成任务,则16a+24a=960∴a=24∴需要的总费用为:24×(80+120+15)=5 160 元综上所述:甲、乙两工厂合作完成此项任务既省时又省钱.【点睛】本题主要考查分式方程的应用,解题的关键在于理解清楚题意,找出等量关系,列出方程求解.需要注意:①分式方程求解后,应注意检验其结果是否符合题意;②选择最优方案时,需将求各个方案所需时间和所需费用,经过比较后选择最优的那个方案.17.阅读理解:把一个分式写成两个分式的和叫做把这个分式表示成部分分式.如何将2131xx --表示成部分分式? 设分式2131x x --=11m nx x +-+,将等式的右边通分得:(1)(1)(1)(1)m x n x x x ++-+-=()(1)(1)m n x m n x x ++-+-,由2131x x --=()(1)(1)m n x m nx x ++-+-得:31m n m n +=-⎧⎨-=⎩,解得:12m n =-⎧⎨=-⎩,所以2131x x --=1211x x --+-+. (1)把分式1(2)(5)x x --表示成部分分式,即1(2)(5)x x --=25m nx x +--,则m = ,n = ;(2)请用上述方法将分式43(21)(2)x x x -+-表示成部分分式.【答案】(1)13-,13;(2)21212x x ++-.【解析】 【分析】仿照例子通分合并后,根据分子的对应项的系数相等,列二元一次方程组求解. 【详解】解:(1)∵()()()522525m n x m n m n x x x x +--+=----, ∴0521m n m n +=⎧⎨--=⎩,解得:1313m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. (2)设分式()()43212x x x -+-=212m nx x ++-将等式的右边通分得:()()()()221212m x n x x x -+++-=()()()22212m n x m nx x +-++-,由()()43212x x x -+-=()()()22212m n x m nx x +-++-, 得2423m n m n +=⎧⎨-+=-⎩,解得21m n =⎧⎨=⎩. 所以()()43212x x x -+-=21212x x ++-.18.甲、乙、丙三个登山爱好者经常相约去登山,今年1月甲参加了两次登山活动. (1)1月1日甲与乙同时开始攀登一座900米高的山,甲的平均攀登速度是乙的1.2倍,结果甲比乙早15分钟到达顶峰.求甲的平均攀登速度是每分钟多少米?(2)1月6日甲与丙去攀登另一座h 米高的山,甲保持第(1)问中的速度不变,比丙晚出发0.5小时,结果两人同时到达顶峰,问甲的平均攀登速度是丙的多少倍?(用含h 的代数式表示)【答案】(1)甲的平均攀登速度是12米/分钟;(2)360h h+倍. 【解析】 【分析】(1)根据题意可以列出相应的分式方程,从而可以求得甲的平均攀登速度;(2)根据(1)中甲的速度可以表示出丙的速度,再用甲的速度比丙的平均攀登速度即可解答本题. 【详解】(1)设乙的速度为x 米/分钟,900900151.2x x +=, 解得,x=10,经检验,x=10是原分式方程的解, ∴1.2x=12,即甲的平均攀登速度是12米/分钟; (2)设丙的平均攀登速度是y 米/分,12h+0.5×60=h y ,化简,得 y=12360hh +,∴甲的平均攀登速度是丙的:1236012360h h h h ++=倍,即甲的平均攀登速度是丙的360h h+倍.19.某商场在一楼与二楼之间装有一部自动扶梯,以均匀的速度向上行驶,一男孩与一女孩同时从自动扶梯上走到二楼(扶梯本身也在行驶).如果二人都做匀速运动,且男孩每分钟走动的级数是女孩的两倍.又已知男孩走了27级到达顶部,女孩走了18级到达顶部(二人每步都只跨1级).(1)扶梯在外面的部分有多少级.(2)如果扶梯附近有一从二楼下到一楼的楼梯,台阶级数与扶梯级数相等,这两人各自到扶梯顶部后按原速度走下楼梯,到一楼后再乘坐扶梯(不考虑扶梯与楼梯间的距离).则男孩第一次追上女孩时,他走了多少台阶? 【答案】(1)楼梯有54级(2) 198级 【解析】 【试题分析】(1)设女孩速度为x 级/分,电梯速度为y 级/分,楼梯(扶梯)为s 级,则男孩速度为2x 级/分, 根据时间相等列方程,有:2727,21818.s x y s x y -⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩①两式相除,得327418s s -=-,解方程得54s =即可. 因此楼梯有54级.(2)设男孩第一次追上女孩时,走过扶梯m 次,走过楼梯n 次,则这时女孩走过扶梯()1m -次,走过楼梯()1n -次.将54s = 代入方程组①,得2y x =,即男孩乘扶梯上楼的速度为4x 级/分,女孩乘扶梯上楼的速度为3x 级/分.于是有()()5415415454.423m n m n x x x x--+=+ 从而114231m n m n --+=+,即616n m +=. 无论男孩第一次追上女孩是在扶梯上还是在下楼时,,m n 中必有一个为正整数,且01m n ≤-≤,经试验知只有13,26m n ==符合要求.这时,男孩第一次追上女孩所走过的级数是:132********⨯+⨯=(级). 【试题解析】(1)设女孩速度为x 级/分,电梯速度为y 级/分,楼梯(扶梯)为s 级,则男孩速度为2x 级/分,依题意有2727,21818.s x y s x y -⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩① 把方程组①中的两式相除,得327418s s -=-,解得54s =. 因此楼梯有54级.(2)设男孩第一次追上女孩时,走过扶梯m 次,走过楼梯n 次,则这时女孩走过扶梯()1m -次,走过楼梯()1n -次.将54s = 代入方程组①,得2y x =,即男孩乘扶梯上楼的速度为4x 级/分,女孩乘扶梯上楼的速度为3x 级/分.于是有()()5415415454.423m n m n x x x x--+=+ 从而114231m n m n --+=+,即616n m +=. 无论男孩第一次追上女孩是在扶梯上还是在下楼时,,m n 中必有一个为正整数,且01m n ≤-≤,经试验知只有13,26m n ==符合要求. 这时,男孩第一次追上女孩所走过的级数是:132********⨯+⨯=(级).20.甲、乙两商场自行定价销售某一商品.(1)甲商场将该商品提价25%后的售价为1.25元,则该商品在甲商场的原价为 元;(2)乙商场定价有两种方案:方案①将该商品提价20%;方案②将该商品提价1元。