No.31 高中数学联赛模拟试卷1、已知0 a b, x a b b, y b b a,则 x, y 的大小关系是.2、设a b c , n N ，且 1 1c n 恒成立，则 n 的最大值为a b b a c3、对于m 1 的一切实数 m ，使不等式 2 x 1 m(x2 1) 都成立的实数x 的取值范围是4 、已知 f x log sin x, 0, ，设 a f sin cos ， b f sin cos ，2 2c f sin 2 ，那么 a、b、 c的大小关系是cossin5、不等式4x 2 2 3 x 2000.的解集是19996、函数f x x 2 2x2 2 x 1 的最小值为2x7、若a,b,n R ，且a b n ，则 1 1 1 1 的最小值是.a b8、若3x2 xy 3y 2 20 ，则 8x 2 23y 2的最大值是．9、设n N ，求 | n 1949 | | n 1950 | | n 2001 |的最小值．1 1L 110、求s 1 ，则 s 的整数部分2 3 10611、圆周上写着红蓝两色的数。

已知，每个红色数等于两侧相邻数之和，每个蓝色数等于两侧相邻数之和的一半。

证明，所有红色数之和等于0。

（俄罗斯）12、设a, b, c R ，求证：a2 b2 c2 a b c ．b c c a a b 2（第二届“友谊杯”国际数学竞赛题）乌鲁木齐市高级中学数学竞赛培训题 2 参考答案1、解法 1xa bba ， ybb aa .a bbbba0 a b,a b b b b a, x y .解法 2xa bbb b axybb aa b， a b b a,1, x y .by解法 31 111a bbbb axya bbbb aaaa bb a1 10, x y .=a0, xy解法 4 原问题等价于比较a bb a 与 2 b 的大小 . 由 x 2y 2 ( x y) 2 , 得2 （ a bba )2 2(ab b a)4b ， a bb a 2 b .a bb a ,a b b a 2 b , x y .解法 5 如图 1，在函数 yx 的图象上取三个不同的yC点 A （ b a ， b a ）、B （ b ， b ）、C （ a b ， a b ）.B由图象，显然有 k BCk AB ，即 a bbb b a ， A(a b) bb (b a)即 a b bb b a ，亦即 x y .Ob-abb+axa 图 1解法 6令 f (t)a tt ， f (t )单a tt调递减，而 b b a ，f (b) f (b a) ，即 a bb bb a ， xy .2、解法 1原式a c a c n ． n a c a c．而ac a ca bb ca b b cminab b ca b b cb c a b 2 + bc a b 4 ，且当b c ab，即 a c2ba bb ca b b ca b b c时取等号．a c a c 4 ． n 4．故选 C ．a b b c min解法 2a b c ， a b 0, b c 0,a c 0 ，已知不等式化为a 2a2 a c 2 a c 2nc．由c24 ，即4 ，a b b cb b ca b ba b bcacmin2故由已知得 n4，选 C ．解 法 3由a b c，知 a b 0,b c 0, ac 0， 有na c1 1．又a b b cac11a bb c1111 24 ，a b b ca bb c即a c1 14 ，由题意， n4．故选 C ．a b b cmin解法 4a b c ， a b0, b c 0, a c 0 ． 已知不等式可变形为a 2a c 2nc．记 k，a b b ca b bca b b c 22 a bb c 2则 k4 ．由题意， n 4．故选 C ．ab b ca b bc解法 5a b ca 1b 0, 1 0. 于是b c1 144 ．比较得 n 4．故选 C ．a bb ca bb cacx 2 1 0 x 2 1 0x 2 1 0x 21 0 3、解法 1 题设等价于m 2x 1 或 m2x 1 或2x，即 1 2x 1或x 2 1 x 2 11 0x 21x 2 1 0 x 2 1 0x 23 1 x 1或 x1 ，即 x( 31,2) .2x 1或1,所以 1或112xx 2解法 2已知不等式即 x21 m 2x 1 0 ，令 f (m)x 2 1 m2x 1 ，则当 x 2 1 0 ，即 x1 时， f (m) 是 m 的一次函数，因为 m 1 ，即 1 m 1 时不等 式 恒 成 立 ， 所 以 f ( m) 在 1,1 上 的 图 象 恒 在 m 轴 的 下 方 ， 故 有f ( 1)x 21 2 x 1 0x 2 2 x 2 03 1 x 2 ( x 1) .f (1) x 2，即x 2，解得 1 2x 12x又当 x1时， f (m) 1，适合题意，当x 1 时， f (m) 3 不合题意 .故 x 的取值范围是3 1 x2 .4、解法 1设 sinp ， cos q . p q pq ，而 f x 是减函数，2fp q f pq ，即 a b . pq p qpq p qpq2，2，22 pq f2 pqf pq ，即 cb .故 a bc .p pq .pqq解法 2由题意，令，则 sin13sincos 1 3， cos 2 ，24 ，62sin cos43 ， sin 2 2 sin cos33 ， sin 10,1 ，f x2 sin cossin cos22是减函数，又 1 343 3 3 ，422f sincosfsin cosfsin sin 2 ，即 a b c .. 2cos解法 3、0,， sin0,1 ， f x 是 单 调 减 函 数 ， sin0 ，2cos0 .a bsin coslog sin sin coslog sin2sincos log sin2log sin 1 0， ab .又 bc log sin sin coscossinsin 2 log sinsin coslog sinsin coslog sin 1 0，即log sincos 2sin cos 2 sin cossinsin cosb c ， a b c .5、解 设 y=4x2 23 x ，由4x 2 0 ，得定义域为 [ 1，3].3 x 0 2y 2 4x2 4(3 x)4 ( 4x 2)(3 x) 10 4 4 x 214x 6 10, y 1020001，3].1999即原不等式在定义域内恒成立，故所求解集为[29.71623题目改为 “ 4x2 23 x的解集是 ，结果一样。

5.2766、解法 1f x1 x 11. 因为两个互为倒数的数，在它们等于 1 时，其2 x 1和可以取到绝对值的最小值. 即当 x 11，即 x 2 或 x0 时， f x 的绝对值最小 . 又x 1 ，故 x 2 时， f x 的绝对值最小 . 又 f x0 ，f x minf 21.选B .解法 2 因为 x1，联想到 sec1 ，于是令 x sec2 ，0,，则 x 1 tan 2.2f xx 2 2x 2x 1 2 1 tan 2 1 1 tan 1 1 2 tan 1 12 x 12 x 1 2 tan 2 tan 2tan21 ，即 x2 时， f x min 1 .故选B .，当且仅当 tan2tan解法3设x x 2 2x2 x 1 ， g x 2x 2 x 1 .x g x x 22x 2 2x 2 x 2 4 x 4x 2 20 ，x g x 0 .xfx1, fxmin1.故选 B .1 ，即g x解法 4f x x 2 2x2x 1 2 1 x 1 . 由此联想到万能公式:2x 22 x12tan1 tan 21sin2 ，故令 x 1 tan 20 ，则 f x g20 ，122 tansintan212sin 0 . 又 1 sin1， 0sin 1 , 即 f x1 . f xmin1.故选1,B .sinx 1x 1 0解法5，， f xx 1 2 1 x 1 1 2 x 111当且仅当 x11，即2 x 1 2 2 x 12 2 x 122 x 1x 2 时取等号 .f xmin1.故选 B .解法 6x 1 ， f xx 22x 2x 2 22x 2 x 222x 22x 22x1 1 ，当 x 22时取等号 .故选 B .解法 7 由 yx 2 2x 2 去分母并整理，得 x 2 2 2y x 2 2 y0 . x R ，2x 22 2y 24 2 2 y 0 ，即 y 21 0 ，y1或 y 1 . x 1 ，y f xx 1 2 1 0 ，y 1 .当 y1时，由1x 22x2， 解 得2 x 12x2x 2 1, ，f x min1 .故选 B .1 47、证明a,b, n R , n a b 2 ab ，于是 ab n 2，11111 a b 11 n 11 4(n 1)n 2 abababn 2n2，当且仅当 a bn时取211n 2 2等号，1 1 的最小值是 .a b n推广 2 若 a 1 ,a 2 , , a n R ，且 a 1a 2a n 1 ，则1 1 1 1 L 1 1 的最小值是 (n 1) n.a 1 a 2 a n证明a 1 , a 2 , , a n R ， a 1 a 2a n 1，11 a 1 a 1 a 2a n( n 1)n 1 a 1 a 1 a 2 a n.a 1a 1a 1同理 11 (n 1)n 1a 2a 1a 2 L a n , ,1 1(n 1)n 1 a n a 1a 2 L a n .故a 2 a 2L a na n1 111L1 1(n 1)n n 1 ( a 1a 2 L a n )(a 1a 2 L a n )nn，当且仅当a 1a 2 a na 1a 2 L a n(n1)a 1 a 2La n1 时取等号 .1 1 1 1 L 1 1 的最小值是 (n 1)n .na 1 a 2 a n若 k, m, a iR (i1,2,, n) ，且 nn1推广 3a im ，则1的最小值是i 1 a iki 1n k n1.mknn 1 nn n证明由均值不等式得，ni 1a i ma ii 11n1n1 kpn kppC n pp1p nkC n 1pL ,C n ( ) C n C n ( p ,n) 1 i 1 i 2 L i p na i k a i k L a i k i 1 a ii 1 a im k1,2,1 2 pn 11 1n11L1n 1从而a ika i ka i k a i ka i k a i k L a i ki 1a iki 1i 11 i 1 i2 n1 i 1 i2 Li n 1 n1212n 1nknk 2nk n 1nk nnk n12n 1n，1 C nmkC n mkL C nmkC n mk1mkm(in1n kn当且仅当 a i1,2, ,n) 时取等号 .故1 的最小值是 1.ni 1 akm ki8、解法 1引入参数 t,Q xytx y 1t 2 x2y 2 t 2x 212t2t 222t 2 y ，又 Q xy3x 2 3y 2 20 ，t 2 x 2 12 y 2 3x 2 3y 2 20,2 2t3 t 2x 231 y2 20．考虑到待求最值的二元式是8x223y 2 ， 故 令22t 23 t 2 822， 解 得 t 2 4 或 t 2（ 舍 去 ）， 故 只 需 令 t2，即可得3 1 23232t 23 2 x 231y 2 20 ．因此， 8x 2 23y 2160 ，当且仅当 2xy，即 y 4x 时取82等号 .8x 2 23y 2max160 ．235 y 2x 1 y 20cos ,解法 2 已知条件式即x 1 y20 .令 63636335 y 20 sin,63x20 cos2 sin,即321代入待求式 ,并化简 ,y12sin .21得 8x 223y 222321128 sin 2 2232 1128 160 . 故 当且 仅当 y 4x 时，212121 218x 2 23y 2 有最大值 160．解法 3令 8x223y2 t2.从而有8x t cos,t cos , yt sin . 代即 x23yt sin,823入已知等式 ,得3t 2cos 2t 2 sin cos3t 2 sin 2 20 ,818423t 231 20 393 20 36820 368 160. 即2 sin 2sin 247cos 293 47cos2387368x 2 23y 2 160 ．解法 4 Q xy 14x y 16x 2 y 2 ,而 xy 3x 23y 2 20,483x 23y 22016x 2 y 2, 即 8x 223y 2160 ．8解法 5设 xm n, y m n, 代入条件得 5m 2 7n 220.令 202222m 2cos, nsin则8x23y8 m n23 m n7,31m 2 30mn 31n 262cos 2605sin 2 620 sin 21 744 376cos 27771744 376 160 ．7解法 6 设 8x 2 23y 2 s,则s 3x2 xy 3y2 20 8x 2 23y2 ,即 3s 160 x 2 sxy 3s 460 y 2 0 ①.由题设x,y 不同时为 0,故不妨设y 0,则将①式x 2x两边同除以y2 ,得3s 160 s 3s 460 0. 当3s 160 0 时,y y由 = s2 4 3s 160 3s 460 0, 解得368 s 160 ;当3s 160 0 时,x45 ．7 y 8综上 , 368 s 160 .故 8x 2 23y2max 160 ．7解法 7 8x2 23y2 8 3x 2 xy 3y2 16x 2 8xy y 2 8 20 4x2y160 .故当 4x y 时, 8x 2 23y2 160 ．max9．解可从绝对值的几何意义上去想，以| n 1 | | n 2 | | n 3 | | n 4 | 为例，如图： A B1 2 3 4所给的式子的几何意义是数轴上坐标为n 的点N与坐标为1、2、3、4的4个点的距离的和．显然，当 N 在线段 AB 之外时，和大于N 在线段 AB 上时的和；当N 在线段 AB 上时， N 接近AB 的中点，和就逐渐变小，N 重合于AB 的中点时，和达到最小．因为n N ，所以当 n 取2 或 3 时，| n 1| | n 2 | | n 3 | | n 4|最小．对于和式 S=| n 1949 | | n 1950 | | n 2001 | ，设数轴上的点A、B 分别表示1949、2001，则线段 AB 的中点的坐标是1949 2001 1975,2S最小 |1975 1949 | |1975 1950 ||1975 2001| (26 25 L 1) (1 2 L 26) 2 (26 1) 26 702 ．2拓展运用同样的思想方法，可以得到下面的对于函数 f ( x) n| x a i |(a1 a n ) ，定理 1 a2i 1n 1若 n 是奇数，则当n 2x a n 1 时， f ( x) 取得最小值 a j a t ；2 j n3 t 12n若 n 是偶数，则当x [ a n ,a n ] 时， f ( x)取得最小值na j2a t1n2 2 j 1 t 1210、解若 { a n } 是等差数列, a n>0,则1 a n an 1 a nan 12,n N , d 是公差).由此，得a n an 1 a nan 1 d( ns 11 1L112 2L2122 3 106 2 2 3 3 106 106 2 12 21 21 1 13 2 106 10 6 1 2 1 3 2 10 6 10 6 1 1 2 2 1 3 2 L 106 106 1 1 2 1 106 1999 .又知 s 1 1 1 1 2 2 2= 2 3 10 6 2 1 3 2 10 6 10 61 12 1 106 1998. 1998 s 1999 ，s 1998，评析s 显然是数列 1 的前106 项的和，直接求和，无法可依.能否用裂项相消法将每一n项拆成异号的两项之和呢？考虑到n 1n 1n n 1 ，于是将 1 变为 2 ，n n n再放大为2 ，或缩小为 2 ，便使问题获解 .n n 1 n 1 n这是一道用“放缩法”求解不等式问题的好题目。