半角模型例题已知，正方形ABCD 中，∠EAF 两边分别交线段BC 、DC 于点E 、F ，且∠EAF ﹦45° 结论1：BE ﹢DF ﹦EF 结论2：S △ABE ﹢S △ADF ﹦S △AEF 结论3：AH ﹦AD结论4：△CEF 的周长﹦2倍的正方形边长﹦2AB 结论5：当BE ﹦DF 时，△CEF 的面积最小 结论6：BM 2﹢DN 2﹦MN 2结论7：三角形相似，可由三角形相似的传递性得到 结论8：EA 、FA 是△CEF 的外角平分线 结论9：四点共圆结论10：△ANE 和△AMF 是等腰直角三角形（可通过共圆得到） 结论11：MN ﹦√22EF （可由相似得到）结论12：S △AEF ﹦2S △AMN （可由相似的性质得到） 结论5的证明：设正方形ABCD 的边长为1则S △AEF ﹦1﹣S 1﹣S 2﹣S 3﹦1﹣12x ﹣12y ﹣12(1﹣x)(1﹣y) ﹦12﹣12xy所以当x ﹦y 时，△AEF 的面积最小结论6的证明：将△ADN 顺时针旋转90°使AD 与AB 重合 ∴DN ﹦BN ′易证△AMN ≌△AMN ′ ∴MN ﹦MN ′在Rt △BMN ′中，由勾股定理可得： BM 2﹢BN ′2﹦MN ′2 即BM 2﹢DN 2﹦MN 2结论7的所有相似三角形：△AMN ∽△DFN △AMN ∽△BME△AMN ∽△BAN△AMN ∽△DMA△AMN ∽△AFE结论8的证明：因为△AMN ∽△AFE ∴∠3＝∠2因为△AMN ∽△BAN ∴∠3＝∠4 ∴∠2＝∠4 因为AB ∥CD ∴∠1＝∠4 ∴∠1＝∠2结论9的证明：因为∠EAN ﹦∠EBN ＝45°∴A 、B 、E 、N 四点共圆（辅圆定理：共边同侧等顶角）同理可证C 、E 、N 、F 四点共圆 A 、M 、F 、D 四点共圆 C 、E 、M 、F 四点共圆**必会结论-------- 图形研究正方形半角模型已知：正方形ABCD ，E 、F 分别在边BC 、CD 上，且︒=∠45EAF ，AE 、AF 分别交BD 于H 、G ，连EF .一、全等关系（1）求证：①EF BE DF =+；②DG 2﹢BH 2﹦HG 2；③AE 平分BEF ∠，AF 平分DFE ∠. 二、相似关系（2）求证：①DG CE 2=；②BH CF 2=；③HG EF 2=. （3）求证：④DH BG AB ⋅=2；⑤HG BG AG ⋅=2；⑥21=⋅CF DF CE BE . 三、垂直关系（4）求证：①EG AG ⊥；②FH AH ⊥；③BEABHCF =∠tan . （5)、和差关系求证：①BE DG BG 2=-；②DH DF AD 2=+； ③||2||DG BH DF BE -=-.例1、在正方形ABCD中，已知∠MAN﹦45°，若M、N分别在边CB、DC的延长线上移动，①.试探究线段MN、BM 、DN之间的数量关系.②.求证：AB=AH.例2、在四边形ABCD中，∠B+∠D﹦180°，AB=AD，若E、F分别在边BC、CD上，且满足EF=BE +DF.∠BAD求证：∠EAF＝12例3、在△ABC中，AB=AC，∠BAC=2∠DAE=120°，若BD=5，CE=8，求DE的长。
例4、请阅读下列材料：已知：如图1在Rt ABCDAE∠=︒．探=，点D、E分别为线段BC上两动点，若45∠=︒，AB ACBAC∆中，90究线段BD、DE、EC三条线段之间的数量关系．小明的思路是：把AEC∆，连结E D'，∆绕点A顺时针旋转90︒，得到ABE'使问题得到解决．请你参考小明的思路探究并解决下列问题：（1）猜想BD、DE、EC三条线段之间存在的数量关系式，并对你的猜想给予证明；（2）当动点E在线段BC上，动点D运动在线段CB延长线上时，如图2，其它条件不变，⑴中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明．例5、探究：（1）如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45°，试判断BE、DF 与EF三条线段之间的数量关系，直接写出判断结果：；（2）如图2，若把(1)问中的条件变为“在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，E、F 分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=21∠BAD”，则（1）问中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由；（3）在（2）问中，若将△AE F绕点A逆时针旋转，当点分别E、F运动到BC、CD延长线上时，如图3所示，其它条件不变，则（1）问中的结论是否发生变化？若变化，请给出结论并予以证明..练习巩固1：如图，在四边形ABCD中，∠B﹦∠D﹦90°，AB﹦AD，若E、F分别在边BC、CD 上的点，且∠EAF＝12∠BAD .求证：EF=BE +DF.图1AB CD E图2ABCD E练习巩固2：如图，在五边形ABCDE 中，AB ﹦BC ﹦CD ﹦DE ﹦EA ， ∠CAD ＝12∠BAE ，求∠BAE 的度数练习巩固3：已知：正方形ABCD 中，45MAN ∠=，绕点A 顺时针旋转，它的两边分别交CB 、DC （或它们的延长线）于点M 、N ．（1）如图1，当MAN ∠绕点A 旋转到BM DN =时，有BM DN MN +=．当MAN ∠ 绕点A 旋转到BM DN ≠时，如图2，请问图1中的结论还是否成立？如果成立，请给予证明，如果不成立，请说明理由；（2）当MAN ∠绕点A 旋转到如图3的位置时，线段BM DN ，和MN 之间有怎样的等量关系？请写出你的猜想，并证明．NMDCBANMCDBANM D CBA* * 练习巩固4(1)如图，在四边形ABCD中，AB﹦AD，∠B﹦∠D﹦90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝12∠BAD．求证：EF BE FD=+;(2) 如图在四边形ABCD中，AB﹦AD，∠B﹢∠D﹦180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝12∠BAD，(1)中的结论是否仍然成立？不用证明．(3) 如图，在四边形ABCD中，AB﹦AD，∠B﹢∠ADC﹦180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF＝12∠BAD，(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．（4）如图①，将边长为4cm的正方形纸片ABCD沿EF折叠（点E、F分别在边AB、CD上），使点B落在AD边上的点M处，点C落在点N处，MN与CD交于点P，连接EP．（1）如图②，若M为AD边的中点，①△AEM的周长﹦cm；②求证：EP﹦AE﹢DP；（2）随着落点M在AD边上取遍所有的位置（点M不与A、D重合），△PDM的周长是否发生变化？请说明理由．EFDCBAEFDCBAEFDCBA（5）.如图17，正方形ABCD ，E 、F 分别为BC 、CD 边上一点． （1）若∠EAF ﹦45º．求证：EF ﹦BE ﹢DF ．（2）若△AEF 绕A 点旋转，保持∠EAF ﹦45º，问⊿CEF 的周长是否随△AEF 位置的变化而变化？（3）已知正方形ABCD 的边长为1，如果⊿CEF 的周长为2．求∠EAF 的度数．练习巩固5、如图，已知在正方形ABCD 中，∠MAN ﹦45°，连接BD 与AM ，AN 分别交于E 、F 两点。
求证：（1）MN ﹦MB ﹢DN ；（2）点A 到MN 的距离等于正方形的边长； （3）CMN 的周长等于正方形ABCD 边长的2倍； （4）=ABCD CMN S 2ABS MN； （5）若∠MAB ﹦20°，求∠AMN ； （6）若()∠=ααMAB 045，求∠AMN ；（7）=+222EF EB DF ；（8）AEN 与AFM 是等腰三角形； （9）=AEF AMNS 1S2。
FE DCBA图17练习巩固6、在等边ABC ∆的两边AB ，AC 所在直线上分别有两点M N D ，，为ABC ∆外一点，且60MDN ∠=︒，120BDC ∠=︒，BD CD =，探究：当点M N ，分别爱直线AB AC ，上移动时，BM BN MN ，，之间的数量关系及AMN ∆的周长Q 与等边ABC ∆的周长L 的关系．（1）如图①，当点M N ，在边AB AC ，上，且DM DN =时，BM NC MN ，，之间的数量关系式_________；此时QL=__________ （2）如图②，当点M N ，在边AB AC ，上，且DM DN ≠时，猜想(1)问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；（3）如图③，当点M N ，分别在边AB CA ，的延长线上时，若AN x =，则Q =_________(用x L ，表示) 练习巩固7、如图所示，△ABC 是边长为1的等边三角形，△BDC 是顶角为120°的等腰三角形，以D 为顶点作一个60°的∠MDN ，点M ，N 分别在AB ，AC 上，求△AMN 的周长练习巩固8、如图，在正方形ABCD 中，BE=3，EF ﹦5，DF ﹦4，求∠BAE ﹢∠DCF 为多少度。
图①M NDCBA 图②MND CBAN图③MD CBA巩固练习9、如图1，Rt△ABC≌Rt△EDF，∠ACB﹦∠F﹦90°，∠A﹦∠E﹦30°。
△EDF绕着边AB的中点D旋AC于点M，K．转，DE，DF分别交线段．．(1)①如图2、图3，当∠CDF﹦0°或60°时，AM﹢CK_______MK(填“>”，“<”或“=”)．②如图4，当∠CDF﹦30°时，AM﹢CK___MK(只填“>”或“<”)．(2)猜想：如图1，当0°＜∠CDF＜60°时，AM﹢CK_______MK，证明你所得到的结论．(3)如果2MK的值．2AM2+，请直接写出∠CDF的度数和MK=CKAM* *。