【名师点评】 本题容易忽视已知条件中的 △ABC为锐角三角形，得出角C有两个解，导 致解题复杂化和解题错误．所以在解题时要 仔细审题，把明显的、隐含的已知条件弄清 楚，防止出现上面所说的情况．
自我挑战2 在△ABC中，A最大，C最小，且 A＝2C，a＋c＝2b，求此三角形三边之比．
解：在△ABC 中，由正弦定理，得 ac＝ssiinnAC＝ssiinn2CC＝2 cosC， ∴cosC＝2ac. 由余弦定理可得 cosC＝a2＋2ba2b－c2，
又∵2b＝a＋c，∴2ac＝a2－c2＋a14＋ac＋c2， 2a· 2
整理，得 2a2－5ac＋3c2＝0， 解得 a＝c 或 a＝32c， ∵A>C，∴a>c，∴a＝c 不符合题意舍去． ∴b＝12(a＋c)＝54c， ∴a∶b∶c＝32c∶54c∶c＝6∶5∶4，
故三角形的三边之比为 6∶5∶4.
例1 在△ABC 中，已知 b＝3，c＝3 3，B＝ 30°，求角 A、角 C 和边 a.
【思路点拨】 可先由正弦定理求出角C，然 后再求其他的边和角，也可以由余弦定理列 出关于边长a的方程，求出边长a，再由正弦 定理求角A、角C.
【解】 法一：由余弦定理 b2＝a2＋c2－2ac cos B， 得 32＝a2＋(3 3)2－2a×3 3×cos 30°， ∴a2－9a＋18＝0，得 a＝3 或 6. 当 a＝3 时，A＝30°，C＝120°. 当 a＝6 时，由正弦定理得 sin A＝asibn B＝6×3 12 ＝1.
【解】 (1)由 3a＝2csinA 及正弦定理得，
ac＝2sin3A＝ssiinnAC.
∵sinA≠0，∴sinC＝
3 2.
∵△ABC 是锐角三角形，∴C＝π3.
(2)法一：∵c＝ 7，C＝π3，由面积公式得
12absinπ3＝32 3，即 ab＝6.
①
由余弦定理得 a2＋b2－2abcosπ3＝7，
(4)已知三角形的三边，解三角形． 此种情况的基本解法是：先用余弦定理求出一 个角，再用正弦定理或余弦定理求出另一个角, 最后用三角形内角和定理求出第三个角. 要解三角形，必须已知三角形一边的长．若已 知条件中一条边长也不给出，则三角形可以有 无数个，因此无法求解．
即 a2＋b2－ab＝7.
②
由②变形得(a＋b)2＝3ab＋7.故 a＋b＝5.
法二：前同法一，联立①、②得
a2＋b2－ab＝7 a2＋b2＝13，
ab＝6
⇒ab＝6.
消去 b 并整理得 a4－13a2＋36＝0， 解得 a2＝4 或 a2＝9. 所以ab＝ ＝23， . 或ab＝ ＝32.， 故 a＋b＝5.
a2＋b2－c2
两倍
cosC＝____2_a_b___
问题探究
余弦定理和勾股定理有何关系？ 提示：余弦定理可以看作勾股定理的推广． 在△ABC中，设A为最大角，①若a2<b2＋c2，则 0°<A<90°，即三角形为锐角三角形；反之， 若0°<A<90°，则a2<b2＋c2.②若a2＝b2＋c2，则 三角形为直角三角形，即A＝90°；反之，若A ＝90°，则a2＝b2＋c2.③若a2>b2＋c2，则180°> A>90°，即三角形为钝角三角形，反之，若A为 钝角，则a2>b2＋c2.
∴a＝3.
【名师点评】 法一利用余弦定理列出关于a 的等量关系建立方程，运用解方程的方法求出 a边的长，这样可免去判断取舍的麻烦．法二 直接运用正弦定理，先求角再求边．可比较两 种方法，从中体会各自的优点，从而摸索出适 合自己思维的解题规律和方法．
已知三边(或三边关系)解三角形
已知三边或三边的比例关系，可直接利用余 弦定理的变形公式解三角形的三个内角．
方法感悟
1．利用余弦定理解三角形时，要注意根据题 意恰当地选取公式．一般地，求边长时，使 用余弦定理；求角时，使用其推论． 2．要重视正弦定理、余弦定理在解三角形中 的综合应用，特别是两者在实现边角转化中 的作用不可忽视．
3．解三角形问题的类型 解三角形的问题可以分为以下四类： (1)已知三角形的两边和其中一边的对角，解 三角形． 此种情况的基本解法是：先由正弦定理求出 另一条边所对的角，用三角形的内角和定理 求出第三个角，再用正弦定理求出第三边(注 意判断解的个数)． (2)已知三角形的两角和任一边，解三角形．
由余弦定理得 cosC＝a2＋2ba2b－c2＝9t2＋2×253tt2×－54t9t2 ＝－12，又 C∈(0°，180°)， ∴C＝120°，即最大角的度数是 120°.
正、余弦定理的综合应用
当问题需要边角互化时，通常将正弦定理和 余弦定理相结合使用．
例3 (2009 年高考湖北卷)在锐角三角形 ABC 中，a、b、c 分别为角 A、B、C 所对的边，且 3 a＝2csinA.
在△DEF 中，由余弦定理的变形公式，得 cos∠DEF＝DE2＋2DEEF·E2－F DF2 ＝1302＋2×1510320－×11052×0 298＝1665. 【名师点评】 已知三角形的三边求角可用余 弦定理求解．利用余弦定理求角时，角是唯一 确定的．
自我挑战1 在△ABC中，已知sinA∶sinB∶ sinC＝3∶5∶7，试求最大角的度数． 解：由正弦定理可得 sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶ c， ∴a∶b∶c＝3∶5∶7，∴角 C 为最大角， 可令 a＝3t，b＝5t，c＝7t(t>0)，
(1)确定角 C 的大小；
(2)若 c＝ 7，且△ABC 的面积为323，求 a＋b 的值． 【思路点拨】 (1)只要变换关系式 3a＝2csinA 就可以求出 sinC，根据 sinC 的值确定角 C 的大 小；(2)根据第(1)问的结果，利用余弦定理可以 得到一个关于 a、b 的方程组，解这个方程组就 可以求出 a、b 的值．
余弦定理
学习目标 1．理解用向量的数量积证明余弦定理的方法. 2．掌握并熟记余弦定理． 3．能运用余弦定理及其推论解三角形．
课前自主学案
温故夯基 1．平面向量的长度 |a|2＝a·a 2．正弦定理 sinaA＝sinbB＝sincC
余弦定理
知新益能
余弦定理
公式表达
语言叙述
推论
a2＝b_2_＋__c_2_－__2_b_c_co_s_A_
∴A＝90°，C＝60°.
法二：由 b<c，B＝30°，b>csin 30°＝3 3×12＝32 3 知本题有两解． 由正弦定理得 sinC＝csibn B＝3 33×12＝ 23， ∴C＝60°或 120°，当 C＝60°时，A＝90°，
由勾股定理得 a＝ b2＋c2＝ 32＋3 32＝6， 当 C＝120°时，A＝30°，△ABC 为等腰三角形，
三角形任何一
b2＋c2－a2
边的平方等于 cosA＝___2_b_c____
b2＝a_2_＋__c_2_－__2_a_c_co_s_B_
其他两边平方 的和减去这两 边与它们夹角
a2＋c2－b2 cosB＝____2_a_c ___
c2＝_a_2＋__b_2_－__2_a_b_c_o_s_C 的余弦的积的
【思路点拨】 构造直角三角形，在直角三 角 形 中 利 用 勾 股 定 理 求 出 DF 、 DE 、 EF 的 长 度，再由余弦定理求∠DEF的余弦值．
【解】 作 DM∥AC 交 BE 于 N，交 CF 于 M. DF＝ MF2＋DM2 ＝ 302＋1702 ＝10 298(m)， DE＝ DN2＋EN2 ＝ 502＋1202＝130(m)， EF＝ BE－FC2＋BC2 ＝ 902＋1202＝150(m)．
课堂互动讲练
考点突破 已知两边及一角解三角形
已知三角形的两边与一角解三角形，必须先 判断该角是给出两边中一边的对角，还是给 出两边的夹角．若是给出两边的夹角，可以 由余弦定理求第三边；若是给出两边中一边 的对角，可以应用余弦定理建立一元二次方 程，解方程求出第三边(也可以两次应用正弦 定理求出第三边)．
例2 (2009年高考宁夏、海南卷)如图，为了 解某海域海底构造，在海平面内一条直线上 的A、B、C三点进行测量． 已知AB＝50 m，BC＝120 m，于A处测得水深AD＝80 m，于B处测得水深BE＝ 200 m ， 于 C 处 测 得 水 深 CF ＝ 110 m ， 求 ∠DEF的余弦值．
此种情况的基本解法是：若所给边是已知角的 对边时，可先由正弦定理求另一边，再由三角 形内角和定理求出第三个角，再由正弦定理求 第三边；若所给边不是已知角的对边时，先由 三角形内角和定理求第三个角，再由正弦定理 求另外两边． (3)已知两边和它们的夹角，解三角形． 此种情况的基本解法是：先用余弦定理求第三 边，再用正弦定理或余弦定理求另一角，最后 用三角形内角和定理求第三个角．