§2 正 项 级 数
一 正项级数收敛性的一般判别原则
若级数各项的符号都相同，则称为同号级数。

而对于同号级数，只须研究各项都由正数组成的级数——正项级数。

因负项级数同正项级数仅相差一个负号，而这并不影响其收敛性。

定理12-2-1 正项级数∑∞=1n n u
收敛⇔部分和数列{}n S 有界。

证明：由于对n ∀，0>n u ，故{}n S 是递增的，因此，有
∑∞=1n n u
收敛⇔{}n S 收敛⇔{}n S 有界。

定理12-2-2（比较原则） 设
∑∞=1n n u 和∑∞
=1n n v 均为正项级数，如果存在某个正数N ，使得对
N n >∀都有 n n v u ≤，
则 （1）若级数∑∞=1
n n v
收敛，则级数∑∞=1n n u 也收敛；
（2）若级数∑∞=1n n u
发散，则级数∑∞=1n n v 也发散。

证明：由定义及定理12-2-1即可得。

例1 考察∑∞
=+-1211n n n 的收敛性。

解：由于当2≥n 时，有
222)
1(1)1(1111-≤-=-≤+-n n n n n n n ， 因正项级数∑∞=-22)
1(1n n 收敛，故∑∞=+-1211n n n 收敛。

推论（比较判别法的极限形式） 设 ∑∞=1n n u
和∑∞
=1n n v 是两个正项级数，若
l v u n
n n =∞→lim
， 则 （1） 当+∞<<l 0时，级数∑∞=1n n u
、∑∞=1n n v 同时收敛或同时发散；
（2）当0=l 且级数∑∞=1
n n v
收敛时，级数∑∞=1n n u 也收敛； （3）当+∞=l 且∑∞=1n n v
发散时，级数∑∞=1n n u 也发散。

证明：由比较原则即可得。

例2 讨论级数
∑-n n 21 的收敛性。

解：利用级数∑n 2
1的收敛性，由推论可知级数∑-n n 21收敛。

例3 由级数∑n 1的发散性，可知级数∑n 1sin 是发散的。

二 比式判别法和根式判别法
定理12-2-3 （达朗贝尔判别法，或称比式判别法）设∑n u 为正项级数，且存在某个正整数0N 及常数
)1,0(∈q ：
（1） 若对0N n >∀，有 q u u n
n ≤+1，则级数∑n u 收敛 ； （2） 若对0N n >∀，有
11≥+n n u u ，则级数∑n u 发散。

证明：（1）不妨设对一切n ，有q u u n
n ≤+1成立，于是，有 q u u ≤12， ,23q u u ≤， ,1
q u u n n ≤-。

故 11
2312--≤⋅⋅⋅n n n q u u u u u u ， 即 11-≤n n q u u ，由于，当)1,0(∈q 时，级数 ∑∞=-11n n q
收敛，由比较原则，可知级数∑n u 收敛。

(2) 因此时0lim ≠∞→n n u ，故级数∑n u 发散。

推论（比式判别法的极限形式）设∑n
u 为正项级数，且 q u u n
n n =+∞→1lim ， 则（1）当1<q 时，级数∑n u 收敛；
（2） 当1>q （可为∞+）时，级数∑n u 发散；
（3） 当1=q 时，级数∑n
u 可能收敛，也可能发散。

如：∑n 1，∑21n 。

证明：由比式判别法和极限定义即可得。

例4讨论级数
+-+⋅⋅-+⋅⋅++⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+)]
1(41[951)]1(32[852951852515212n n 的收敛性。

例5 讨论级数)0(1>∑-x nx n 的收敛性。

定理12-2-4（柯西判别法，或称根式判别法） 设
∑n u 为正项级数，且存在某个正整 数0N 及正常数l ，
（1）若对0N n >∀，有
1<≤l u n n ， 则级数∑n u 收敛； （2）若对0N n >∀，有
1≥n n u ， 则级数∑n u 发散。

证明：由比较判别法即可得。

推论（根式判别法的极限形式）设∑n u 为正项级数，且
l u n n n =∞
→lim ， 则 （1）当1<l 时，级数∑n u 收敛；
（2）当1>l （可为∞+）时，级数
∑n u 发散； （3）当1=q 时，级数∑n
u 可能收敛，也可能发散。

如：∑n 1，∑21n 。

例6 讨论级数 ∑-+n
n
2)1(2的敛散性。

解：由上推论即得。

说明：因 ⇒=+∞→q u u n
n n 1lim q u n n n =∞→lim 这就说明凡能用比式判别法判定收敛性的级数，也能用根式判别法来判断，即根式判别法较之比式判别法更有效。

但反之不能，如例6。

三 积分判别法
特点：积分判别法是利用非负函数的单调性和积分性质，并以反常积分为比较对象来判断正项级数的敛散性。

定理12-9 设)(x f 为[),1+∞上非负减函数，则正项级数
∑)(n f 与反常积分⎰+∞1)(dx x f 同时收敛或同时发
散。

证明：由假设)(x f 为[),1+∞上非负减函数，则对任何正数A ，)(x f 在[1，A]上可积，从而有 ⎰--≤≤n
n n f dx x f n f 1)1()()(， ,3,2=n
依次相加，得 ∑⎰∑∑-====-≤≤11122
)()1()()(m n m m n m n n f n f dx x f n f 若反常积分收敛，则对m ∀，有
⎰⎰∑+∞=+≤+≤=
111)()1()()1()(dx x f f dx x f f n f S m m n m 。

于是，知 级数
∑)(n f 收敛。

反之，若级数∑)(n f 收敛，则对任意正整数)1(>m ，有 ∑∑⎰=≤=≤-=-S n f n f S dx x f m n m m )()()(1
111。

又因)(x f 为[),1+∞上非负减函数，故对任何1>A ，有 S S dx x f n A <≤≤
⎰1)(0, 1+≤≤n A n 。

故知，反常积分⎰+∞
1)(dx x f 收敛。

同理可证它们同时发散。

例7 讨论下列级数
（1） ∑∞=11n p n ，（2）∑∞=2)(ln 1n p n n ， （3） ∑∞
=3)ln )(ln (ln 1n p n n n 的敛散性。