高二数学椭圆同步练习一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1．下列命题是真命题的是（ ）A ．到两定点距离之和为常数的点的轨迹是椭圆B ．到定直线cax 2=和定点F(c ，0)的距离之比为ac 的点的轨迹是椭圆C ．到定点F(－c ，0)和定直线cax 2-=的距离之比为ac (a >c>0)的点的轨迹 是左半个椭圆D ．到定直线cax 2=和定点F(c ，0)的距离之比为ca (a >c>0)的点的轨迹是椭圆2．若椭圆的两焦点为（－2，0）和（2，0），且椭圆过点)23,25(-，则椭圆方程是 （ ） A ．14822=+xyB ．161022=+xyC ．18422=+xyD ．161022=+yx3．若方程x 2+ky 2=2表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围为（ ）A ．（0，+∞）B ．（0，2）C ．（1，+∞）D ．（0，1） 4．设定点F 1（0，－3）、F 2（0，3），动点P 满足条件)0(921>+=+a aa PF PF ，则点P 的轨迹是（ ） A ．椭圆 B ．线段 C ．不存在D ．椭圆或线段 5．椭圆12222=+by ax 和kby ax =+2222()0>k 具有（ ）A ．相同的离心率B ．相同的焦点C ．相同的顶点D ．相同的长、短轴 6．若椭圆两准线间的距离等于焦距的4倍，则这个椭圆的离心率为 （ ）A ．41B ．22 C ．42 D ．217．已知P 是椭圆13610022=+yx上的一点，若P 到椭圆右准线的距离是217，则点P 到左焦点的距离是（ ）A ．516B ．566 C ．875 D ．8778．椭圆141622=+yx上的点到直线022=-+y x 的最大距离是（ ）A ．3B ．11C ．22 D ．109．在椭圆13422=+yx内有一点P （1，－1），F 为椭圆右焦点，在椭圆上有一点M ，使|MP|+2|MF|的值最小，则这一最小值是（ ）A ．25 B ．27C ．3D ．410．过点M （－2，0）的直线m 与椭圆1222=+yx交于P 1，P 2，线段P 1P 2的中点为P ，设直线m 的斜率为k 1（01≠k ），直线OP 的斜率为k 2，则k 1k 2的值为 （ ）A ．2B ．－2C ．21D ．－21二、填空题（本题共4小题，每小题6分，共24分）11．离心率21=e ，一个焦点是()3,0-F 的椭圆标准方程为 ___________ .12．与椭圆4 x 2 + 9 y 2 = 36 有相同的焦点,且过点(－3，２)的椭圆方程为_______________． 13．已知()y x P ,是椭圆12514422=+yx上的点，则y x +的取值范围是________________ ．14．已知椭圆Ｅ的短轴长为6，焦点Ｆ到长轴的一个端点的距离等于９，则椭圆Ｅ的离心率等于__________________．三、解答题（本大题共6题，共76分）15．已知椭圆的对称轴为坐标轴，离心率32=e ，短轴长为58，求椭圆的方程．(12分)16．已知A 、B 为椭圆22ax +22925ay =1上两点，F 2为椭圆的右焦点，若|AF 2|+|BF 2|=58a ，AB中点到椭圆左准线的距离为23，求该椭圆方程．(12分)17．过椭圆4:),(148:220022=+=+yx O y x P yxC 向圆上一点引两条切线PA 、PB 、A 、B 为切点，如直线AB 与x 轴、y 轴交于M 、N 两点．（1）若0=⋅PB PA ，求P 点坐标；（2）求直线AB 的方程（用00,y x 表示）； （3）求△MON 面积的最小值．（O 为原点）(12分) 18．椭圆12222=+by ax (a ＞b ＞)0与直线1=+y x 交于P 、Q 两点，且OQ OP ⊥，其中O为坐标原点. （1）求2211ba+的值；（2）若椭圆的离心率e 满足33≤e ≤22，求椭圆长轴的取值范围.(12分)19．一条变动的直线L 与椭圆42x+2y2=1交于P 、Q 两点，M 是L 上的动点，满足关系|MP|·|MQ|=2．若直线L 在变动过程中始终保持其斜率等于1．求动点M 的轨迹方程，并说明曲线的形状．（14分）20．椭圆的中心是原点O ，它的短轴长为22，相应于焦点F （c ，0）（0>c ）的准线l 与x 轴相交于点A ，|OF|=2|FA|，过点A 的直线与椭圆相交于P 、Q 两点 . （1）求椭圆的方程及离心率；（2）若0=⋅OQ OP ，求直线PQ 的方程；（3）设AQ AP λ=（1>λ），过点P 且平行于准线l 的直线与椭圆相交于另一点M ，证明FQ FM λ-=.（14分）参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案DDDAADBDCD二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分） 11．1273622=+xy12．1101522=+yx13．]13,13[- 14．54三、解答题（本大题共6题，共76分）15．(12分) [解析]:由 2223254cbaa c eb =-===⇒812==c a ，∴椭圆的方程为：18014422=+yx或18014422=+xy.16．(12分) [解析]：设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，,54=e 由焦半径公式有a －ex 1+a －ex 2=a 58，∴x 1+x 2=a 21，即AB 中点横坐标为a 41，又左准线方程为a x 45-=，∴234541=+a a ，即a =1，∴椭圆方程为x 2+925y 2=1．17．(12分)[解析]：（1）PB PA PB PA ⊥∴=⋅0∴OAPB 的正方形由843214882020202020==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=+x y x y x 220±=∴x ∴P 点坐标为（0,22±） （2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）则PA 、PB 的方程分别为4,42211=+=+y y x x y y x x ，而PA 、PB 交于P （x 0，y 0） 即x 1x 0+y 1y 0=4，x 2x 0+y 2y 0=4，∴AB 的直线方程为：x 0x +y 0y=4（3）由)0,4(400x M y y x x 得=+、)4,0(0y N||18|4||4|21||||21000y x y x ON OM S MON ⋅=⋅=⋅=∆22)48(22|222|24||2020000=+≤⋅=yxy x y x 22228||800=≥=∴∆y x S MON当且仅当22,|2||22|min00==∆MONSy x 时.18．（12分）[解析]：设),(),,(2211y x P y x P ，由OP ⊥ OQ ⇔ x 1 x 2 + y 1 y 2 = 0 ① 01)(2,1,121212211=++--=-=x x x x x y x y 代入上式得： 又将代入x y -=112222=+by ax 0)1(2)(222222=-+-+⇒b a x a x b a ，,2,022221ba ax x +=+∴>∆222221)1(ba b a x x +-=代入①化简得 21122=+ba.(2) ,3221211311222222222≤≤⇒≤-≤∴-==ab ab ab ac e 又由（1）知12222-=aa b26252345321212122≤≤⇒≤≤⇒≤-≤∴a a a ，∴长轴 2a ∈ [6,5].19．(14分)[解析]：设动点M(x ，y)，动直线L ：y=x +m ，并设P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)是方程组⎩⎨⎧=-++=042,22y x m x y 的解，消去y ，得3x 2+4m x +2m 2－4=0，其中Δ=16m 2－12(2m 2－4)>0，∴－6<m<6，且x 1+x 2=－3m 4，x 1x 2=34m 22-，又∵|MP|=2|x －x 1|，|MQ|=2|x －x 2|．由|MP||MQ|=2，得|x －x 1||x －x 2|=1，也即|x 2－(x 1+x 2)x +x 1x 2|=1，于是有.13423422=-++mmx x ∵m=y －x ，∴|x 2+2y 2－4|=3．由x 2+2y 2－4=3，得椭圆172722=+x x夹在直线6±=x y 间两段弧，且不包含端点．由x 2+2y 2－4=－3，得椭圆x 2+2y 2=1． 20．(14分) [解析]：（1）由题意，可设椭圆的方程为)2(12222>=+a y ax .由已知得⎪⎩⎪⎨⎧-==-).(2,2222c c ac c a 解得2,6==c a ，所以椭圆的方程为12622=+yx，离心率36=e .（2）解：由（1）可得A （3，0） .设直线PQ 的方程为)3(-=x k y .由方程组⎪⎩⎪⎨⎧-==+)3(,12622x k y yx 得062718)13(2222=-+-+k x k x k ，依题意0)32(122>-=∆k ，得3636<<-k .设),(),,(2211y x Q y x P ，则13182221+=+kkx x ， ①136272221+-=k k x x . ②，由直线PQ 的方程得)3(),3(2211-=-=x k y x k y .于是]9)(3[)3)(3(2121221221++-=--=x x x x k x x k y y. ③∵0=⋅OQ OP ，∴02121=+y y x x . ④，由①②③④得152=k ，从而)36,36(55-∈±=k.所以直线PQ 的方程为035=--y x 或035=-+y x .（2）证明：),3(),,3(2211y x AQ y x AP -=-=.由已知得方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=-=-.126,126,),3(3222221212121y x y x y y x x λλ注意1>λ，解得λλ2152-=x ，因),(),0,2(11y x M F -，故 ),1)3((),2(1211y x y x FM -+-=--=λ),21(),21(21y y λλλλ--=--= .而),21(),2(222y y x FQ λλ-=-=，所以FQ FM λ-=.。