解析几何——椭圆精炼专题
一、 选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中有只有一项是符合题目要求的．） 1．椭圆6322
2
=+y x 的焦距是（ ）
A ．2
B ．)23(2-
C ．52
D ．)23(2+
2．F 1、F 2是定点，|F 1F 2|=6，动点M 满足|MF 1|+|MF 2|=6，则点M 的轨迹是（ ） A ．椭圆 B ．直线 C ．线段 D ．圆 3．若椭圆的两焦点为（－2，0）和（2，0），且椭圆过点)2
3,25(-，则椭圆方程是 （ ）
A ．14
8
2
2=+x y
B ．16102
2=+x y
C ．18
42
2=+x y
D ．16
102
2=+y x
4．方程22
2
=+ky x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则k 的取值范围是（ ）
A ．),0(+∞
B ．（0，2）
C ．（1，+∞）
D ．（0，1）
5． 过椭圆1242
2
=+y x 的一个焦点1F 的直线与椭圆交于A 、B 两点，则A 、B 与椭圆的另一焦点2F 构成2ABF ∆，那么2
ABF ∆的周长是（ ）
A ． 22
B ． 2
C ． 2
D ． 1
6．已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率为
3
1
，长轴长为12，则椭圆方程为（ ） A ．
112814422=+y x 或114412822=+y x B ． 14
62
2=+y x C ．
1323622=+y x 或1363222=+y x D ． 16422=+y x 或1462
2=+y x 7． 已知k ＜4，则曲线
14
92
2=+y x 和14922=-+-k y k x 有（ ） A ． 相同的短轴 B ． 相同的焦点 C ． 相同的离心率 D ． 相同的长轴
8．椭圆
19
252
2=+y x 的焦点1F 、2F ，P 为椭圆上的一点，已知21PF PF ⊥，则△21PF F 的面积为（ ） A ．9 B ．12 C ．10 D ．8
9．椭圆13
122
2=+y x 的焦点为1F 和2F ，点P 在椭圆上，若线段1PF 的中点在y 轴上，那么1PF 是2PF 的（ ）
A ．4倍
B ．5倍
C ．7倍
D ．3倍
10．椭圆144942
2
=+y x 内有一点P （3，2）过点P 的弦恰好以P 为中点，那么这弦所在直线的方程为（ ） A ．01223=-+y x B ．01232=-+y x
C ．014494=-+y x
D ． 014449=-+y x
11．椭圆14
162
2=+y x 上的点到直线022=-+y x 的最大距离是
（ ）
A ．3
B ．11
C ．22
D ．10
12．过点M （－2，0）的直线M 与椭圆12
22
=+y x 交于P 1，P 2，线段P 1P 2的中点为P ，设直线M 的斜率为k 1（01≠k ）
，直线OP 的斜率为k 2，则k 1k 2的值为（ ）
A ．2
B ．－2
C ．
21 D ．－2
1 二、 填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上．）
13．椭圆
2214x y m +=的离心率为1
2
，则m = ． 14．设P 是椭圆2
214
x y +=上的一点，12,F F 是椭圆的两个焦点，则12PF PF 的最大值为 ；最小值为 ． 15．直线y =x －2
1被椭圆x 2+4y 2=4截得的弦长为 ．
16．已知圆Q A y x C ),0,1(25)1(:2
2及点=++为圆上一点，AQ 的垂直平分线交CQ 于M ，则点M 的轨迹方程
为 ．
三、解答题：（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤．） 17．已知三角形ABC 的两顶点为(2,0),(2,0)B C ，它的周长为10,求顶点A 轨迹方程．
18．椭圆的一个顶点为A （2，0），其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程．
19．点P 到定点F （2，0）的距离和它到定直线x =8的距离的比为1：2，求点P 的轨迹方程，并指出轨迹是什么图形．
20．中心在原点，一焦点为F 1（0，52
）的椭圆被直线y =3x －2截得的弦的中点横坐标是2
1，求此椭圆的方程．
21.已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在坐标轴上，直线y =x +1与椭圆交于P 和Q ，且OP ⊥OQ ，|PQ |=2
10
，求椭圆方程
22．椭圆12
2
22=+b
y a x (a ＞b ＞)0与直线1=+y x 交于P 、Q 两点，且OQ OP ⊥，其中O 为坐标原点．
（1）求
2
21
1b a +
的值； （2）若椭圆的离心率e 满足33≤e ≤2
2，求椭圆长轴的取值范围．
椭圆练习题参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案
A
C
D
D
A
B
D
13、3或
316 14、 4 ， 1 15、5382 16、121
42542
2=+y
x
17、3)(x 15
92
2±≠=+y x 18、解：（1）当A (2,0)为长轴端点时，a =2 , b =1，
椭圆的标准方程为： ；
（2）当
为短轴端点时，
，
，
椭圆的标准方程为： ；
19．解：设P （x ，y ），根据题意，|PF|=(x-2)2-y 2
,d=|x-8|,因为|PF|d =12 ,所以 (x-2)2-y 2 |x-8| = 12 .化简，得3x 2+4y 2
=48,整理，得x 216 +y 2
12
=1,所以，点P 的轨迹是椭圆。
20. 解：解法一：根据题意，设椭圆的方程为y 2a 2+x 2
a 2-50 =1,设交点坐标分别为A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)
将椭圆方程与直线y=3x-2联立，消去y ，得：(3x-2)2a 2 +x 2
a 2-50
=1,化简，整理，得：
(10a 2-450)x 2+(600-12a 2)x+(-a 4+54a 2-200)=0,
所以，x 1,x 2为这个方程的两根，因为相交线段中点横坐标为12 ,所以x 1+x 2=— 10a 2-450
600-12a 2 = -1,解得，a 2=75.于是，因为c=5 2 ,所以，
b 2=25，所以椭圆的方程为y 275+x 2
25
=1. 解法二：设椭圆：
12
22
2=+
b
y a
x （a ＞b ＞0）
，则a 2-b 2=50…① 又设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），弦AB 中点（x 0，y 0） ∵x 0=2
1，∴y 0=2
3－2=－2
1
由220022212122
221222212222
222
2
1221331
1b a y x b a x x y y k b x x a y y b x a
y b x a y AB =⇒=•-=--=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=-⇒=+=+…② 解①，②得：a 2=75，b 2=25，椭圆为：25
752
2x y +=1
21.解 设椭圆方程为mx 2+ny 2=1(m ＞0,n ＞0)，P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2)由⎩⎨
⎧=++=1
12
2
ny mx x y 得(m +n )x 2+2nx +n －1=0,
Δ=4n 2－4(m +n )(n －1)＞0,即m +n －mn ＞0,由OP ⊥OQ ,所以x 1x 2+y 1y 2=0,即2x 1x 2+(x 1+x 2)+1=0, ∴
n m n n m n --
+-2)1(2+1=0,∴m +n =2 ①又2)210()(4=+-+n m mn n m 2,将m +n =2,代入得m ·n =4
3
② 由①、②式得m =21,n =23或m =23,n =21故椭圆方程为22x +23y 2
=1或23x 2+2
1y 2=1
22、（1）设),(),,(2211y x P y x P ，由OP ⊥ OQ ⇔ x 1 x 2 + y 1 y 2 = 0
① 01)(2,1,121212211=++--=-=x x x x x y x y 代入上式得：
又将代入x y -=1 1222
2=+b
y a x 0)1(2)(2
22222=-+-+⇒b a x a x b a ，,2,022
221b a a x x +=+∴>∆ 2
2
2221)
1(b a b a x x +-=代入①化简得 2112
2=+b a .
(2) ,3221211311222222222
≤≤⇒≤-≤∴-==a b a
b a b a
c e 又由（1）知12222
-=a a b
2
6
252345321212122≤
≤⇒≤≤⇒≤-≤∴a a a ，∴长轴 2a ∈ [6,5].。