二、帕斯卡三角形
1.帕斯卡
• 帕斯卡(Blaise Pascal，1623－1662)是法国著名的数学 家．要不是由于宗教信仰，瘦弱的体质，以及无意单单为 数学课题而耗尽全部精力，他本来可以成为一名伟大的数 学家．帕斯卡的父亲担心他的孩子也像他自己那样嗜好数 学，希望帕斯卡能在更宽阔的教育背景下发展，所以起初 劝导他不要学数学，希望能引发他在其他方面的兴趣．不 料帕斯卡在12岁，便显露出几何方面的天赋，从而使他的 数学志向在此后深受鼓舞．16岁时便写下了一篇关于圆锥 曲线的论文，这使当时的数学家们倍感惊奇．在文章中帕 斯卡陈述了后来为人所共知的帕斯卡定理：一条圆锥曲线 的内接六边形的三组对边的交点共线．18岁时，帕斯卡发 明了有史以来的第一台计算机．但就在这个时候，他遭受 到病魔的侵扰．为此，他向上帝许愿，将停止自己的数学 工作．此后三年，他写下了论述帕斯卡三角形及其性质的 著作．公元1654年11月 23日夜，帕斯卡经历了一场宗教 仪式．在仪式上他被要求献身于神学，并放弃数学和科 学．此后，除一个短暂的时期外(1658－1659)，帕斯卡不 再从事数学研究．
2.帕斯卡三角形
斐波那契数列
（1）掷硬币
• 假设将一枚硬币掷4次， 可能出现16种不同的组 合方式，如上所示．其 中第一栏为全是正面(H)， 然后是3个正面、1个反 面(T)，以此类推，直到 没有正面出现为止．
• 如此所形成的数列与帕 斯卡三角形的第五行相 同．
18 17 16 15 14 13 12 车1
11^0= 1 11^1= 1 1 11^2= 1 2 1 11^3=1 3 3 1
• 11的乘方至114时，仍 满足帕斯卡三角形的 形式．115由于会进位， 所以并不能对应帕斯 卡三角形第六行的数 字1、5、10、10、5、
1(4)Biblioteka 项式(1+a)0=1 (1+a)1=1+a (1+a)2=1+2a+a2 (1+a)3=1+3a+3a2+a3 (1+a)4=1+4a+6a2+4a3+a4
4.斐波那契數列的奇特属性
• （1）随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越来越 逼近黄金分割的数值0.6180339887……
• （2）从第二项开始，每个奇数项的平方都比前后两项之 积多1，每个偶数项的平方都比前后两项之积少1。
• （3）如果任意挑两个数为起始，比如5、-2.4，然后两项 两项地相加下去，形成5、-2.4、2.6、0.2、2.8、3、5.8、 8.8、14.6……等，你将发现随着数列的发展，前后两项 之比也越来越逼近黄金分割，且某一项的平方与前后两项 之积的差值也交替相差某个值
0,8,16,24,32,… 8
0,13,26,39,52,… 13
三个连续的斐波那 契数列
• （4）花瓣的数目
花瓣的数目：
3 5 8 13 21
斐波那契数列
• （5）钢琴的琴键 在一个音阶中： 白色的键数为：8 黑色的键数为：5
两个连续的斐波那契数
7.斐波那契数列的应用
• （1）数学游戏
一位魔术师拿着一块边长为8英尺的正方形地毯， 对他的地毯匠朋友说：“请您把这块地毯分成四 小块，再把它们缝成一块长13英尺，宽5英尺的 长方 形地毯。”这位匠师对魔术师算术之差深感 惊异，因为两者之间面积相差达一平方英尺呢！ 可是魔术师竟让匠师用图2和图3的办法达到了他 的目的！
•
55条逆时针螺旋
• 较大的向日葵： ８９条顺时针螺旋
•
１４４条逆时针螺旋
• （2）.植物分枝
8
13 斐
8波
5
那
5契
3
3數
2
2
• (3)菠萝表皮
菠萝的中心軸 ： Z 轴 垂直于Z轴的平面： XOY
度量表皮上每一个六角形
的中心与平面XOY的距离
其中三个方向是按等差数列
排列的：
公差
0,5,10,15,20,… 5
小兔子 對數
1
0
1
1
23
5
8 13 21 34 55
89
大兔子 對數
0
1
1
2
3
5
8
13 21 34 55 89 144
兔子總 對數
1
1
2
3
5
8
13 21 34 55 89 144 233
一年後兔子的總數為 233 對
3.斐波那契數列
• 斐波那契数列指的是这样一个数列：1、1、2、3、 5、8、13、21、……
• （3）斐波纳契扇形线
• 斐波纳契扇形线，例如，以最低点反向到最高点线上的两 个端点画出的趋势线。然后通过第二点画出一条“无形的 (看不见的)”垂直线。然后，从第一个点画出第三条趋势线： 38.2%， 50%和61.8%的无形垂直线交叉。 这些线代表了支撑点和阻力点
的价格水平。为了能得到一个
更为精确的预报，建议和其他
• （4）斐波那契数列的第n项同时也代表了集合{1,2,...,n}中 所有不包含相邻正整数的子集个数。
• （5）斐波那契数列（f(n)，f(0)=0，f(1)=1，f(2)=1， f(3)=2……）的其他性质：
•
1.f(0)+f(1)+f(2)+…+f(n)=f(n+2)-1
•
2.f(1)+f(3)+f(5)+…+f(2n-1)=f(2n)
• 数列中的每一项被称为斐波那契数(Fibonnaci
Number) 以符号Fn 表示。
F1 = F2 = 1 ，而 Fn = Fn-1 + Fn-2 (n>2) • 这个数列从第三项开始，每一项都等于前两项之
和。它的通项公式为：(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1√5)/2]^n}（又叫“比内公式”，是用无理数表示 有理数的一个范例。）（√5表示根号5） • 有趣的是：这样一个完全是自然数的数列，通项 公式居然是用无理数来表达的。
要正确创建斐波纳契通道必须
记住的是在当趋势线上升，基
本线限制住了通道最高点，
当趋势线向下，基本线限制
住了通道的最低点。
• （5）斐波纳契时间周期线
• 斐波纳契时间周期线是以斐波纳契的时间间隔1， 2， 3， 5， 8， 13， 21， 34等画出的许多垂直线。假定主要的 价格变化期望在这些线附近。 运用确定的单位时间间隔长 度的两点来创建此工具。根 据斐波纳契数列，全部其他 的线是在此单位间隔的基础 上确定的。
可以用迭代得到: 斐波那契数列的某一项F(n)=(BC^(n-2))1 这就是斐波那契数列的矩阵乘法定义.
6.斐波那契数列的实例
• （1）向日葵的种子
• 绿色表示按順時針排列的種子 • 紅色表示按逆時針排列的種子
植物学家发現：
某种向日葵的种子是按两组螺旋排列， 其数目往往是连续的斐波那契數 。
• 普通大小的向日葵：34条顺时针螺旋
斐波那契数列与 帕斯卡三角形
一、斐波那契数列
1.斐波那契
• “斐波那契数列”的发明者，是意大利数学家列昂 纳多·斐波那契。他被人称作“比萨的列昂纳多”。 1202年，他撰写了《珠算原理》(Liber Abaci)一 书。他是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的 欧洲人。他的父亲被比萨的一家商业团体聘任为 外交领事，派驻地点相当于今日的阿尔及利亚地 区，列昂纳多因此得以在一个阿拉伯
一個很有趣的數學問題:
假設每一對新生的小兔子,两个月後便會長大,且每 一个月都生一對小兔子。已知每次新生的一對兔 子都是一雄一雌,而所有兔子都沒有死去,且隔代的 兔子不會互相交配。
若現有一對小兔子,問一年後共有兔子多小對呢?
month
1 2 3 4 5
月數 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
结束语
• 一些表面上毫无相关的数学内容，实质上 有着深刻的联系 ，斐波那契数列和帕斯卡 三角形就是一个典型的例子 。所以，重在 发现事物之间那千丝万缕的联系。
•
利用这一点，可以用程序编出时间复杂度仅为O（log
n）的程序。
•
7.[f(n)]^2=(-1)^(n-1)+f(n-1)·f(n+1)
•
8.f(2n-1)=[f(n)]^2-[f(n-2)]^2
•
9.3f(n)=f(n+2)+f(n-2)
•
10.f(2n-2m-2)[f(2n)+f(2n+2)]=f(2m+2)+f(4n-2m)
•
3.f(2)+f(4)+f(6)+…+f(2n) =f(2n+1)-1
•
4.[f(0)]^2+[f(1)]^2+…+[f(n)]^2=f(n)·f(n+1)
•
5.f(0)-f(1)+f(2)-…+(-1)^n·f(n)=(-1)^n·[f(n+1)-f(n)]+1
•
6.f(m+n)=f(m-1)·f(n-1)+f(m)·f(n)
斐波纳契工具一起使用。
• （4）斐波纳契通道
• 斐波纳契通道利用几条趋势平行线建立。要创建这个工具， 通道宽度是取自每个单位宽度。平行线价格数值处于斐波 纳契数列相同的值。以0.618 开始为通道宽度，然后是 1.000，1.618，2.618，4.236来画平行线。当第五根线画 好后，与相应的趋势线相反方向的正确的线就画出了。
由数学归纳法可以得到：a(n)=F(n+1)/F(n)，将 斐波那契数列的通项式代入，化简就得结果。