11. 无砟轨道结构动力学理论
11.1 列车－无碴轨道耦合动力学模型
将机车车辆视为由车体、构架及轮对组成的多刚体系统，考虑车体、前后构架及轮对的垂向、横向、沉浮、点头、侧滚、摇头自由度以及车辆悬挂系统中的非线性因素。

轮轨之间的法向作用力由赫兹非线性弹性接触理论确定，切向蠕滑力先由Kalker线性蠕滑理论确定，再进行非线性修正。

将钢轨视为弹性点支承基础上的Bernoulli-Euler梁，分别考虑左、右股钢轨的垂向、横向及转动自由度，钢轨支承点间隔为扣件间距。

轨道板（道床板）垂向视为弹性基础上的弹性薄板，轨道板（道床板）的横向视为刚体运动，考虑平动和转动自由度，凸形挡台及CA砂浆对轨道板（道床板）的提供横向弹性约束。

混凝土底座同样视为弹性地基上的弹性薄板。

图11.1～图11.7为列车－无碴轨道空间耦合动力学模型。

图11.1 列车－双块式轨道耦合动力学模型（侧视图）钢轨道床板
图11.2 列车－板式轨道耦合动力学模型（侧视图）
图11.3 列车－双块式轨道耦合动力学模型端视图
图11.4 列车－板式轨道耦合动力学模型端视图钢轨
轨道板
混凝土底座
图11.5 路基上双块式轨道－有碴轨道过渡段耦合动力学模型
图11.6 路基上板式轨道－有碴轨道过渡段耦合动力学模型
图11.7 路基上板式轨道－有碴轨道过渡段耦合动力学模型（辅助轨）
11.2 无碴轨道动力学方程
将钢轨视为弹性点支承基础上Bernoulli-Euler 梁，在机车车辆荷载作用下，钢轨的垂向、横向振动以及扭转振动可表示为
()()
()()()()4242
11,,s w N N r r r ry r r rVi Fi Vj Pj i j z x t z x t E J A F t x x P t x x x t ρδδ==∂∂+=--+-∂∂∑∑ （11.1） ()()
()()()()4242
11
,,s w N N r r r rz r r rHi Fi Hj Pj i j y x t y x t E J A F t x x P t x x x t ρδδ==∂∂+=--+-∂∂∑∑ （11.2） ()()()22022
11
(,)(,)
() s
w
N N r r r r r rt rTi Si Tj Pj i j x t x t J G J F t x x P t x x t x ∂φ∂φρδδ∂∂==+=--+-∑∑ （11.3） 采用Ritz 法可将上述偏微分方程转换为关于钢轨正则坐标
()
t q zk 、
()
t q yk 、()t q tk 的二阶常微分方程组
()4
11()()() (=1~)s w N N r y zk zk rVi k Fi Vj k Pj Z i j r r E I k q t q t F Z x P
Z x k N A l πρ==⎛⎫+=-+ ⎪⎝⎭∑∑ （11.4） ()4
11()()() (=1~)s w N N r z yk yk rHi k Fi Hj k Pj Y i j r r E I k q t q t F Y x P Y x k N A l πρ==⎛⎫
+=-+ ⎪⎝⎭∑∑ （11.5）
()211
0()()() (=1~)s w N N r rt tk tk rTi k Si Tj k Pj T i j r r G J k q t q t F x P
x k N J l πρ==⎛⎫
+=-Φ+Φ ⎪⎝⎭∑∑ （11.6） 设轨道板长度为1a ，宽度为1b ，阻尼为1C ，弯曲刚度为1D ，单位面积质量为1m ，轨道板上的扣结点数为P N ，对应的扣结点枕上压力为F rv 。

根据弹性薄板的振动理论，轨道板的垂向振动方程可写为
()()()()()()()()()()()1111111111111
CA
P
44424224
2N N rVi Pi Pi j Fj Fj i=1j=1
w x,y,t w x,y,t w x,y,t w x,y,t w x,y,t C m +2+++x x y y D t D t =
F t x-x y-y F t x-x y-y D D δδδδ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂-∑∑ （11.7）
采用双向梁函数组合级数逼近方法来求解轨道板振动方程，轨道板的挠度可设为
()()()()11111
,,y
x N N mn m n mn m n w x y t A X x Y y T t ===∑∑ （11.8）
将（11.8）式代入（11.7）式，化简后可得轨道板关于正则坐标的二阶常微分方程
()()()()()()()()()()
546738
111111134
11113421
1,2,;1,2,,P F
mn mn mn N N rVi m Pi n Pi j m Fj n Fj i=j=mn x
y
I I +I I +I I C D T t +
T t +T t m m I I =F t X x Y y F t X x Y y A m I I m=,...N n=...N ⎛⎫- ⎪⎝⎭
∑∑ （11.9） 同理，可以列出板式轨道混凝土底座的运动方程
()()()()()()()()()()
11101213914
2222222910
112291021
1,2,;1,2,,F R
mn mn mn N N j m Fj n Fj k m Rk n Rk j=k=mn x
y
I I +I I +I I C D T t +
T t +T t m m I I =F t X x Y y R t X x Y y A m I I m=,...N n=...N ⎛⎫- ⎪⎝⎭
∑∑ （11.10） 11.3 动力学方程数值积分方法
机车车辆和无碴轨道耦合动力学模型充分考虑了车辆的各个运动自由度以及轨道各部件（钢轨、辅助轨、轨道板、混凝土底座）的振动，是一个复杂而庞大的动力学系统，为提高求解速度，采用了新型快速显式积分方法。

积分格式：
()()22
111
11/21n n n n n n n n n t t t
t t ψψϕϕ+-+-⎧=+∆++∆-∆⎪⎨
=++∆-∆⎪⎩u u u u u u u u u （11.11） 式中，u 、u 、u —车辆和轨道动力学系统的广义位移、速度、加速度；
ϕ、ψ—积分参数；
t ∆—时间积分步长；
下标n —表示n t n t =∆； 下标n+1—表示1n n t t t +=+∆； 下标n-1—表示1n n t t t -=-∆。

将式（11.11）代入车辆和轨道系统运动方程可得1n +时刻的车辆和轨道系统的动力学方程：
111n n -++=u M R （11.12）
式中，
[]()()[]111 11/2++n n n n
n n t t t t t
ϕψϕψ++-=--+∆-+++∆∆∆∆⎡⎤⎣⎦R R Ku C K u C K u C K u （11.13）
根据系统的初始条件，就可以按积分递推公式（11.12）、（11.13）逐步计算出每一时刻车辆和轨道系统的位移、速度和加速度。

11. 4 轮轨系统激励
轮轨系统的激励主要可分为轨道几何不平顺、轨道动力不平顺、轮轨局部缺陷三大类。

在路桥、路隧、路涵、有碴轨道与无碴轨道等过渡段处，由于线下基础构造不同，线路在列车荷载的重复作用以及环境气候的影响下，不可避免地会出现残余变形积累，还可能产生基础沉降差。

无碴轨道动力性能的评估，暂采用德国高速轨道谱作为轮轨系统的激励。

11. 5 无碴轨道动力学性能评价指标
将机车车辆、钢轨、轨道板（道床板）、混凝土底座的运动方程进行数值积分，就可求得机车车辆和无碴轨道的动力学响应。

无碴轨道及其过渡段的动力性能主要从轮轨动作用力、行车的安全性和舒适性、动力学强度及结构振动水平等方面来评价，主要有轮轨垂向力、轮轨横向力、脱轨系数、轮重减载率、车体加速度、钢轨支点压力、CA砂浆动应力、路基面上动应力等动力学性能指标。

11. 6 列车－无碴轨道耦合动力学仿真软件
采用经过长期自主研究开发的列车－轨道动力学仿真软件TRACKDYNA以及列车－线路－桥梁动力学仿真通用软件TTBSIM。