2.已知向量组 A a1(0 1 1)T a2(1 1 0)T B b1(1 0 1)T b2(1 2 1)T b3(3 2 1)T 证明 A 组与 B 组等价
求 A2
A3
Ak
(2)设
A
0 0
1 0
0 1
求 Ak
7.
(1)设 A
3 1
13 ，求 A50 和 A51
(2)设 a
2 1
,
b
1 2
,
A
ab T , 求A100
3 4
8.(1)设 A B 为 n 阶矩阵，且 A 为对称矩阵，证明 BTAB 也是对称矩阵 (2)设 A B 都是 n 阶对称矩阵，证明 AB 是对称矩阵的充分必要条件是 ABBA
16.
设有线性方程组
1 0
1 2
2 1
x1 x2
1 3
，问取何值时
(1)有唯一解 (2)无0 解 0(3)有2无穷1多 x个3 解?5并在有无限多解时求其解.
17.取何值时
非齐次线性方程组
x1x1 xx22
x3 x3
1
(1)有唯一解 (2)无解 (3)有无穷x1多个x2解 ?并x3 在有2 无限多解时求其解.
34xx11
x2 x2
2 x3 3x3
7 x4 6x4
0 0
x1 2x2 5x3 5x4 0
(4)
3742xxxx1111
43xx22
53xx33
27xx44
0 0
121xx22x133x33 x4160x4
0
14.求解下列非齐次线性方程组:
(1)
34xx11
2x2 x3 x2 2x3
11. 设 J 是 元 素 全 为 1 的 n(>=2) 阶 方 阵 ， 证 明 E-J 是 可 逆 方 阵 ， 且
（E - J）-1
E-
1 n -1
J
，这里
E
是与
J
同阶的单位矩阵。
12.设 AkO (k 为正整数) 证明(EA)1EAA2 Ak1 13.设方阵 A 满足 A2A2EO 证明 A 及 A2E 都可逆 并求 A1 及(A2E)1
14.解下列矩阵方程
(1) 12
53X
24
16
(2)
X
2 2 1
1 1 1
101 14
1 3
23
(3)
1 1
24X
2 1
10 03
11
（4）AXB=C其中
A
2 5
1 4
,
B
1 1
3 4
3 3
,C
1 1
13 4
0 2
1 0
.
15.分别利用克拉默法则和逆矩阵解下列线性方程组
(1) 2xx1122xx2235xx3312 3x1 5x2 x3 3
4.设 A11 32 B 11 02 问
(1)ABBA 吗? (2)(AB)2A22ABB2 吗? (3)(AB)(AB)A2B2 吗?
5.举反列说明下列命题是错误的 (1)若 A20 则 A0 (2)若 A2A 则 A0 或 AE (3)若 AXAY 且 A0 则 XY
6.
(1)设
A
1
10
(2)
x1 x2 x1 2x2
x3 2 4x3 3
x1 3x2 9x3 5
16设 A 为 3 阶矩阵
|
A|
1 2
求|(2A)15A*|
17.
设
A
0 1 1
3 1 2
033
ABA2B
求 B
18.设
A
1 0 1
0 2 0
110
且 ABEA2B
求 B
19.设 Adiag(1 2 1) A*BA2BA8E 求 B
2 0 1 1
1 5 3 3
A31 3A32 2 A33 2 A34 .
第二章 矩阵及其运算
1.计算下列乘积
(1)
154
3 2 7
103172
(2) (1 2 3)123
(3)
132(1
2)
(4)
2 1
14 1 3
041104
3 1 3 0
1 2
12
(5)
(x1
x2
x3)
a11 a12 a13
1 0 1
7.在秩是 r 的矩阵中,有没有等于 0 的 r1 阶子式? 有没有等于 0 的 r 阶子式?
8.从矩阵 A 中划去一行得到矩阵 B 问 A B 的秩的关系怎样?
9.求作一个秩是 4 的方阵 它的两个行向量是 (1 0 1 0 0) (1 1 0 0 0)
10.求下列矩阵的秩并求一个最高阶非零子式
(1) OB
A O
1
(2) CA
O B
1
28.求下列矩阵的逆阵
(1)
5 2 0 0
2 1 0 0
0 0 8 5
00 32
(2)
1 1 2 1
0 2 1 2
0 0 3 1
00 04
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组
1 用初等行变换把下列矩阵化为行最简形矩阵
(1)
1 2 3
0 0 0
2 3 4
18.非齐次线性方程组
x12x21 x2x2
x3 x3
2
x1 x2 2x3 2
当取何值时有解？并求出它的解
19.设
(22x21x1()5x41x2 2)xx(22542xx)33x312
1
问为何值时
此方程组有唯一解、无解或
有无穷多解? 并在有无穷多解时求解
20.证明 R(A)1 的充分必要条件是存在非零列向量 a 及非零行向量 bT 使 AabT
2 10
11x1 3x2 8
2x 3y z 4 (2) 34xxx28yyy942zzz1653
(3)
42xx
y z w1 2y 2z w
2
2x y z w1
(4) 32xx2yyzzw3w1 4 x 4y 3z 5w 2
15.写出一个以 xc10231c20421为通解的齐次线性方程组
(1) 311
1 1 3
0 2 4
241 ;
(2) 723
2 1 0
1 3 5
3 1
1
831
(3) 22
3 1
18 3 0 2 5
03
3 7 8 2
7005
11.设 A、B 都是 mn 矩阵 证明 A~B 的充分必要条件是 R(A)R(B)
12.设
A
1 1 k
2 2k 2
3k33
问 k 为何值
可使
(1)R(A)1 (2)R(A)2 (3)R(A)3
13.求解下列齐次线性方程组:
(1) 22x1xx11 x22x2x22xx33x3 xx442x4000 (2) 53x1xx11 216x0x2 2x2xx3 3x3x345x4x04 00
2x1 3x2 x3 7x4 0
(3)
第一章 行列式
1 利用对角线法则计算下列三阶行列式
2 (1) 1
1
0 84
1 1 3
a (2) b
c
b c a
c a b
1 (3) a
a2
1 b b2
1 c c2
(4)
x y
x y
y x y
x
x y x y
2 按自然数从小到大为标准次序 求下列各排列的逆序数 (1)1 2 3 4 (2)4 1 3 2 (3)3 4 2 1 (4)2 4 1 3 (5)1 3 (2n1) 2 4 (2n) (6)1 3 (2n1) (2n) (2n2) 2
a12 a22 a23
a13 a23 a33
x1 x2 x3
2.
设
A111
1 1 1
111
B 101
2 2 5
143
求 3AB2A 及 ATB
3.已知两个线性变换
xxx13224yy211y1 yy323y25y32y3
y1 y2 y3
23zz12z1z33zz23
求从 z1 z2 z3 到 x1 x2 x3 的线性变换
an1 ann
D1
a11
a1n
a1n ann
D2
a11
an1
ann
D3
an1
a1n
a11
n(n1)
证明 D1 D2 (1) 2 D D3D
8计算下列各行列式(Dk 为 k 阶行列式)
(1) a
Dn 1
1,
a
其中对角线上元素都是 a
未写出的元素都是 0
(2)
Dn
3.
设Байду номын сангаас
A
5 2
3 1
1 1
（1）求一个可逆矩阵 P，使 PA 为行最简形矩阵.
（2）求一个可逆矩阵 Q，使 QAT 为行最简形矩阵.
4.试利用矩阵的初等变换 求下列方阵的逆矩阵
(1) 333
2 1 2
153
(2)
03 01
2 2
2 1
0 2 3 2
11 21
5.试利用矩阵的初等行变换，求解
311
(2) 000
2 3 4
3 4 7
311
(3)
1 3 2 3
1 3 2 3
3 5 3 4
4 4 2 2
31 01
(4)
2 1 3 2
3 2 2 3