设
A


2
0
0 2

，判断


k 1
1 k
Ak
的敛散性.
3
2)
设
A

1

2
0
1
，判断
k 1
1 k2
Ak
的敛散性.
工程应用数学基础
研究生MOOC课程
第12讲 矩阵级数
三、方阵幂级数
工程应用数学基础
解
1)
因为幂级数


k 1
1 k
zk
的收敛半径为R
第12讲 矩阵级数
二、矩阵级数
1

k (k 1)
Ak
k 1
k 1 0

0
2k 3k


1 0
0
3 2

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第12讲 矩阵级数
三、方阵幂级数
工程应用数学基础

定义3(方阵幂级数) 设 A nn ，称 ck Ak 为方阵幂级数. k 0

求极限
lim
k
Ak
.
sin k
3k
k
2

1
，
(
k
1，2，
)
k2
解
lim
k
2k 2
k k2

1

2
lim
k
sin k
k

0
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第12讲 矩阵级数
一、矩阵序列的极限
lim ek sin k
k

lim
k
sin ek
k
0
lim
k
使得
lim
k
a(k ij
)

aij
(1 i m， 1 j n)
则称矩阵序列 { Ak }收敛到 矩阵 A ，记为
lim
k
Ak

A
or Ak A
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第12讲 矩阵级数
工程应用数学基础
一、矩阵序列的极限
2k 2 k 1
例
1
设 Ak

k2
ek sin k
)
(ik )
ik
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(r
1 1)!
(ik
)( r 1)



1 2!
(ik
)

(ik ) ik
rr
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第12讲 矩阵级数
三、方阵幂级数

Sm (i )

Sm (i )
1 2!
Sm
(i
)
Sm(r1) (i )
k
Ak
Bk
)

AB
3) 若
Ak，A 可逆，则
lim
k
Ak1

A1
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工程应用数学基础
第12讲 矩阵级数
一、矩阵序列的极限
工程应用数学基础
定理1 设 Ak [ai(jk ) ] mn，A [aij ] mn ，则有
m
lim
k
Ak

A
lim ||
图片
工程应用数学基础
第一篇：矩阵理论
第 12 讲：矩阵级数
主讲：国防科技大学 杨文强 副教授
第12讲 矩阵级数
内容提纲
1. 矩阵序列的极限 2. 矩阵级数 3. 方阵幂级数
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第12讲 矩阵级数
一、矩阵序列的极限
工程应用数学基础
定义1(收敛)设 Ak [ai(jk ) ] mn ，若存在矩阵 A [aij ] mn ，
k
Ak

A
||1
lim
k
max
1 jn
|
a(k) ij
i 1
aij
|0

lim
k
||
Ak

A ||
0
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第12讲 矩阵级数
一、矩阵序列的极限
工程应用数学基础
证明
lim
k
Ak

A
lim
k
a(k) ij
aij (1 i m，1
j n)

lim
k
|
a(k ij
)
aij
| 0
(1 i m，1
j n)
m

lim
k
i 1
|
a(k) ij

aij
|

0
(1 j n)
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lim
k
||
Ak

A
||1
0
推论
第12讲 矩阵级数
一、矩阵序列的极限 设 A nn ，则有
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第12讲 矩阵级数
二、矩阵级数
工程应用数学基础
1
例
3
设
Ak

k(k
1)
0
0

2k 3k

，k
1，2，

. 求级数 Ak . k 1
解

1 1
k1 k (k 1)

k 1
2k 3k
?
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第12讲 矩阵级数
当|x|<1时

，其中
c
是实常数，试求
lim
k
Ak

O
的充要条件.
解 因为A 的特征值为 1 4c，2 c
A 的谱半径为
( A) 4 | c |
lim Ak O ( A) 1 | c | 1 / 4
k
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二、矩阵级数
1 x x2 xk 1 1 x
1 2x 3x2
kxk1

(1
1 x)2
x 2x2 3x3
kxk
x (1 x)2
2k
3k
k 1

2
k 1
k (13)k

3 2
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所以有
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ck Ak， ck z k 之间的收敛性有什么关系?
k 0
k 0
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三、方阵幂级数
定理3

设幂级数 ck zk 的收敛半径为R，则有 k 0
1) 当 ρ(A) < R 时， ck Ak 收敛. k 0

2) 当 ρ(A) > R 时， ck Ak 发散. k 0
3k 2 k

2
1

3
所以有
2 0
lim
k
Ak

0
3
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第12讲 矩阵级数
一、矩阵序列的极限 矩阵序列极限的性质:
设
lim
k
Ak

A，
lim
k
Bk

B
，则有
1) lkim(c1 Ak c2 Bk ) c1 A c2B
2)
lim(
J
k i
k 0
存在
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第12讲 矩阵级数
三、方阵幂级数

所以 当 ρ(A) < R 时， ck Ak 收敛. k 0
所以 当 ρ(A) > R 时， ck Ak 发散. k 0
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第12讲 矩阵级数
三、方阵幂级数
1
例
4
1)
一、矩阵序列的极限
所以有
lim
k
J
k i
O
| i
| 1，i
1，2，
，s.
( A) 1
由此得到
lim Ak O ( A) 1
k
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第12讲 矩阵级数
一、矩阵序列的极限
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例
2
设
c A 3c
2c 2c

P
1
J
k s

lim Ak
k
O

lim
k
J
k i
O，i
1，2，
，s
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第12讲 矩阵级数
一、矩阵序列的极限
设
i 1

Ji


i





1
i

rr
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则当 k r 有
ik


J
k i
3) 当 ρ(A) R 时， ck Ak 待定. k 0
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证明
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三、方阵幂级数
m
记部分和 Sm (z) ck zk k 0
设A 的Jordan标准形为