零阶电路微分方程不存在电路运动问题，但是存在电路求解问 题，这些问题研究成熟，方法有叠加原理、代文宁定理、诺顿 定理、电压源电流源等效变换方法等。自治零阶电路不会产生 新的动态特性。 2、一阶微分电路—仅含有一个储能元件的电路
电路仅有零输入响应与零状态响应问题，是研究现代电子电路 的起步电路，一般电路分析教科书中都有详细的讨论。 3、二阶微分电路—含有二个储能元件的电路 对于自治线性二阶微分电路，动态特性为衰减振荡或增幅振荡， 不稳定。对于自治非线性二阶微分电路，电路可以产生极限环， 属于稳定振荡电路。对于非自治非线性二阶微分电路，能够产生 混沌，如杜芬方程电路，圆周映射也属于这种情况，并且导致符 号动力学的研究。对于自治非线性二阶微分电路，不能够产生混 沌。
对照线性LRC谐振电路与杜芬方程，实质是仅仅多了一项ax3， 导致线性的单峰谐振幅频曲线成为多峰谐振幅频曲线，出现了 混沌。 （2）圆周映射
xi 1 xi k cos( 2xi ) 2
是双频非线性耦合，从电路构成来看，它与杜芬方程电路是完 全相同的，实验电路都是LC振荡器。 （3）蔡氏电路 ì x a ( y x f ( x)) ï íy x y z ï z by î 洛沦兹方程电路 ì x s ( y x) ï í y rx y xz ï z xy bz î
四、几种混沌电路之间的关系
1、混沌电路动态特性的共同点 任何混沌电路的相图都落在某一个奇异吸引子之中，前面几节 讨论的几个吸引子是在三维相空间中运动。相图具有以下几个特 点： （1）一个相图中的相轨线只有一根，无头无尾，（平衡点是不 动点，应该认为是无穷时间，并且实际上绝对的不动点是不存在 的。表示运动无休止，永不重复，永不相交。 （2）庞加莱截面图是分形图，有精细结构，无限复杂，具有自 相似性。 （3）奇异吸引子有不稳定的平衡点、吸引盆、吸引域、分形面。 其中我们感兴趣的是，经常是一个不稳定焦点，如洛斯勒吸引子; 两个不稳定焦点，如蔡氏电路、杜芬方程电路、洛伦茨方程电路 的吸引子等; 少数是多个不稳定焦点。
NL
IL + L _ C2 + _ C1 RNL
图4-1 蔡氏电路方框图
R1 220
+15V
R4 22k
+15V
R
1.5K
IL +
L 17mH
+
-15V -15V
_
C2 100nf
_
C1 10nf
R2
220
R5
22k
R6 2.2k
R6 3.3k
图4-2 典型的蔡氏电路 另一种典型的蔡氏电路如图4-3所示，也是经常被讨论的一个 电路。
洛斯勒方程电路
ì x ( y z ) ï í y x ax ï z b z ( x c) î
这三个方程电路是一组电路，是三阶微分方程电路。蔡氏电 路的非线性项是五段折线，能用x的1、3、5、7、9等次多项式 拟合。洛沦兹方程的非线性项是xz与xy，洛斯勒方程的非线性项 是xz。根据这样一来的规律，我们也可以自己构造出形形色色的 非线性电路，实现混沌电路的灵活设计。
§1混沌电路综述
一、电路中混沌现象发现与研究的历史
电路中的混沌现象早在20世纪20年代就被发现，前面曾经 提到的范德坡的工作就涉及到电路中的混沌现象。实际上，范 德坡所处的时代正是建立电路理论基础的时代，当时的科学家 急需建立振幅稳定与频率稳定的振荡电路，从而产生稳定的电 磁波。稳定振荡的数学模型是极限环，当时的理论基础还不能 够完全满足工程技术的需要，必须由电子工程师一方面进行工 程技术设计，一方面完善数学基础理论。极限环的数学基础理 论是微分方程理论，而且还是非线性的微分方程理论，而非线 性的微分方程很容易产生混沌，范德坡、李纳德等科学家就是 在这样的情况进行研究的。
4、三阶微分电路—含有三个储能元件的电路
三阶非线性微分电路已经复杂化，能够产生混沌。例如蔡氏电 路、洛伦茨方程电路等，这还是自治电路的情况。对于非自治电 路，还能产生超混沌与亚超混沌。 5、三阶以上微分电路 运动特性更复杂,可能出现多级超混沌现象。将以上各种情况整 理于下表。
表4-1பைடு நூலகம்电路方程的阶、自治与非自治、线性与非线性的形态
( x 2 1) x x 0 x
杜芬方程是
2x kx ax3 A cost x
对照线性LRC串联电路与范德坡方程，范德坡方程是将线性 LRC串联电路一阶导数的正系数2μ改为μ（x2-1）,使得当x>1时 为衰减振荡，当x<1时为增幅振荡，从而产生极限环。范德坡方 程的非线性项是从一阶导数的系数中引入的。
一般地说，电路系统更关心的是信息交换，因而对于能量交 换的关心程度相对偏少，有时侯会忽略某些重要问题，应该引 起注意。现在讨论电路系统能量交换中对于信息状态的影响， 并以电路系统储能元件个数及有无信号输入进行讨论。
将不包含随时间变化的激励信号的电路叫做自治电路，将包 含随时间变化的激励信号的电路叫做非自治电路。以下讨论中 我们把激励信号分成“简单”的信号和“复杂”的信号，“简 单”的信号如正弦波信号或者其它周期信号，“复杂”的信号 如混沌信号。 1、零阶电路—无储能元件电路，即纯电阻电路 纯电阻电路用代数方程描述，由于纯电阻电路是时不变元件， 所满足的方程与时间无关，不需要列写微分方程，仅列写代数 方程就够了，故纯电阻电路是零阶电路微分方程（非微分方 程）。对于零阶电路微分方程，分为线性零阶电路微分方程与 非线性零阶电路微分方程，还分为自治零阶电路微分方程与非 自治零阶电路微分方程，两两构成四种零阶电路微分方程。
2、几个混沌电路的分组、比较与相互关系
（1）从线性LRC串联电路与LRC谐振电路演变而来的非线性电路。 线性LRC串联电路与线性LRC谐振电路满足的微分方程分别是
2 2x 0 x 0 x
2x 02 x A cos(t ) x
范德坡方程是
第四章典型混沌电路及其分析
1983年美国伯克利分校蔡少棠发明“蔡氏电路”震动了学 术界，促进了现代非线性电路理论的发展，在全世界掀起一股 研究非线性电路的热潮。蔡氏电路原理图非常简单，然而电路 输出动态特性却极其复杂，因而成为现代非线性电路的典范。 电子学工作者发现，早在二十世纪初，范德坡在研究三相复电 流时就已经遇到了混沌，只是当时还没有意识到混沌问题，当 今又重新引起人们研究的兴趣。20余年来，电子学工作者将其 它领域中已经研究清楚的非线性系统如洛伦茨方程、逻辑斯蒂 映射等用模拟电路予以实现，并且根据电子学电路的特点，比 较轻松地发明了一大批混沌电路。混沌电路已经形成一个庞大 的家族，使电子学电路成为非线性各学科领域中引人注目的一 个学科。
目前混沌电路的定义有多种形式，这里采用系统的初始激发 已经衰减到零时的稳态响应的频率特性来定义。稳态响应的频 率特性粗分有下列4种： 1、噪声响应：系统输出为噪声，连续频谱输出。 2、静态响应：在状态相空间，所有轨道趋于一个平衡点。 3、同频周期响应、非同频周期响应与准周期响应：系统输出 与输入信号相同频率的周期波形，即ωo=ωi; 系统输出与输入信 号正整数倍频率的周期波形，ωo=nωi，n为正整数; 系统输出与 输入信号真分数倍频率的周期波形，即ωo=pωi,p为真分数; 系 统输出与输入信号基频不可约分的周期分量波形。 4、混沌电路：与以上电路都不同的输出，定义如下： 一个由确定性运动方程所描述的确定性电路，由直流或确定性 输入信号所激励，其输出波形中包含一段或多段连续频谱，那 么称此电路为混沌电路。
（4）逻辑斯蒂映射
xn1 xn (1 xn )
对应的电路是最普遍的混沌电路，几乎所有的混沌电路中 都有逻辑斯蒂映射关系，例如蔡氏电路就是这样的典型电路。
§2 典型蔡氏混沌电路分析
一、典型蔡氏电路结构与状态方程 1983年，美国贝克莱(Berkeley)大学的蔡少棠(Leon.O.Chua)教授 发明了蔡氏电路(Chua’s Circuit)，蔡氏电路因其简洁性和代表性 而成为研究非线性电路中混沌的典范。蔡氏电路是由线性电阻 ﹑电容、电感和非线性“蔡氏二极管”组成的三阶自治电路， 它满足以下一种能够产生混沌的条件：（a)非线性元件不少于一 个；（b)线性有效电阻不少于一个；（c)储能元件不少于三个， 蔡氏电路符合以上标准，如图4-1。一个具体的典型蔡氏电路如 图4-2所示。 R i
零阶自治电路 线性 平衡点 周期极限环 √ 非线性 √ 一阶自治电路 零阶非自治电路 线性 √ 非线性 √ √ 二阶自治电路 一阶非自治电路 线性 √ √ 非线性 √ √ 三阶自治电路 二阶非自治电路 线性 √ √ 非线性 √ √ 三阶及三阶以上自治与非自 治电路 线性 √ √ 非线性 √ √
拟周期极限环
R 1.43K R1 800
IL
D1 L 17mH D2
+ C2 _100nf
+ C1 _10nf
R4 22K R5 3.3K R6 3.3K R7 22K
R2 800 R3 1.2K
+15V
-15V
图4-3 另一种典型的蔡氏电路
蔡氏电路状态方程为：
1 ì dVc1 G (Vc 2 Vc1 ) G(Vc1 ) ï dt C1 C1 ï 1 G ï dVc 2 iL (Vc1 Vc 2 ) í dt C2 C2 ï ï diL 1 ï dt L Vc 2 î
√
√
√
混沌
√
√
亚超混沌
√
超混沌
√
噪声
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
由上表可以看出 1、若电路的阶数相同，则n阶非自治电路与n+1阶自治电路形态 相同。 2、尽管非线性的n阶非自治电路及n+1阶自治电路与线性的 n+1阶非自治电路及n+2阶自治电路有许多相似之处，但是线 性电路永远不能产生混沌。