学生计算甲乙两人成绩的偏差的和
一 二 三 四 五 平均数
甲 乙
85 95
90 85
90 95
90 85
95 90
90 90
甲同学成绩与平均成绩的偏差的和： （85-90）+（90-90）+（90-90）+（90-90） +（95-90）= 0 乙同学成绩与平均成绩的偏差的和： （95-90）+（85-90）+（95-90）+（85-90）+ （90-90）= 0
成绩（分）
100 95
90 85 80 0 1 2 3 4 5
考 试 次 数
平均值
问题：观察下面是二组数据的波动情况，怎样才 能衡量一组数据的整个波动大小呢？
成绩（分）
100 95 90
平均值
85 80
0 1 2 3 4 5
考试次数
学生讨论，交流得出结论： 算偏差（每个数与平均值的差），再求偏差的代 数和，偏差的和越大，数据波动越大。用偏差的 和表示数据波动大小
数据 平均数 方差
1、 2 、 3、 4、 5
3
1+10、2+10、3+10、4+10、5+10 10+3
1 × 3 、 2 × 3 、 3 × 3 、 4 × 3 、 5 × 3 3× 3
2 2 2× 32
（2）对照以上结果，你能从中发现哪些有趣的结 论？
数据
平均数
方差
1、 2 、 3、 4、 5
3 3× 3
1+10、2+10、3+10、4+10、5+10 10+3
2 2 2× 32
1 × 3、 2× 3、 3× 3、 4× 3 、 5× 3
（2）对照以上结果，你能从中发现哪些有趣的结 论？ 结论：一组数每个加上或减去a，平均数增加或减 少a，方差不变；一组数同乘一个数a，平均数为 原来的a倍，方差是原来的a2倍。
小组讨绩（分）
乙
100 95 90 85 80 0 1 2 3 4 5
100 95
90 85 80 0 1 2 3 4 5
考试次数
考试次数
平均数相等，成绩越稳定越好。即成绩波动越小越 好。甲的稳定，且不断上升，固选甲
问题：观察如图乙的成绩波动情况，它是以什么 作为波动标准的？
2
则这个样本中的数据个数是____ ，平均数是____ 100 8 计算下列各组数据的方差：
（1）6 6 6 6 6 6 6； （2）5 5 6 6 6 7 7； （3）3 3 4 6 8 9 9； （2）3 3 3 6 9 9 9；
3．已知三组数据1、2、3、4、5；
1+10、2+10、3+10、4+10、5+10； 1×3、2×3、3×3、4×3、5×3； （1）求这三组数据的平均数、方差
结论：在甲乙数据个数相同的情况下，甲的成绩的 偏差的平方和小，甲的数据波动小，成绩稳定。
问题与思考？
两组数据，偏差的平方的和越大，它反映的数据 的波动性一定越大吗？若不一定，又该怎么做？ 问题：下例两组数谁的波动大？偏差的平方和 谁的大？你能得出什么结论？ 甲：4，6，4，6，4，6，4 乙：4，6，4，6，4
小组讨论与交流得出结论：两组数波动情况一样，在这 种情况下，偏差的平方的和不能反映数据的波动大小， 偏差的平方的和还与数据的个数有关，数据在波动性不 变的情况下，数据越多，它累计的偏差的平方的和也越 大，应取偏差的平方的和的平均值，表示波动大小，减 少数据个数的影响。
用各偏差平方的和的平均数来衡量数据的波动性
人教版初中数学八年级下
学习目标:
1．了解方差概念的产生和形成的过程,会用 方差计算公式来比较两组数据的波动大． 2．经历探索方差应用过程，积 累分析数据经验．
学习重点:方差产生的必要性和应用方差、标
准差公式解决实际问题．
学习难点:理解应用方差对数据分析
的实际意义．
回顾与思考？ 在日常生活中，常常用平均数反映一组数据的 平均水平；给不同数据加权，表示不同数据的 不同重要程度，那么用什么方法解决下面的问 题？
3、计算方差的步骤（学生讨论得出）
（1）先平均， （2）后求差， （3）再平方， （4）最后求平均 4、方差作用：用来衡量一批数据的波动大小.
方差越大, 数据的波动越大,.方差越小，波动越 小.
练习
1 2 2 2 S = [( x1 8) ( x2 8) ( x100 8) ] 100
1、定义
方差:各数据与它们的平均数的差的平方和的平 均数叫方差.（方差用符号s2表示） 2、计算公式： 设有n个数x1、x2、…、xn，这组数的平均数 为 讨论得出）
2
2 s x ，则这组数的方差 等于多少？（学生
1 s = ( x1 x ) ( x2 x ) ( xn x ) n
小结：任何一组数对偏差求和时，正负抵消，和为0，不 能反映数据波 动大小，
如何算才能不使偏差抵消？
学生讨论得出：1、给每个偏差加绝对值再相加
2、给每个偏差平方后再相加 教师：今天学习第2种对偏差求和的方式衡量数 据波动情况
学生计算甲乙两人成绩偏差的平方和
一 二 三 四 五 平均数
甲 乙
85 95
90 85
90 95
90 85
95 90
90 90
甲同学成绩与平均成绩的偏差的平方和：
（85-90）2+（90-90）2+（90-90）2 （95-90）2 = 50 +（90-90）2+
乙同学成绩与平均成绩的偏差的平方和：
（95-90）2+（85-90）2+（95-90）2 +（85-90） 2+（90-90）2 = 100
利用图形定性理解：从下面条形图可看出7个数 据的波动情况，和每个数都加上5后它们的波动 情况（看顶端） 同加一个数波动情况不变，同时减 去一个数波动不变，即方差不变） 成绩 （分）
100 95 90 85 80 0
同加5后
1
2
3
4
5
6
7
考试次数
利用图形定性理解：从下面条形图可看出7个数 据的波动情况，和每个数都乘以2后它们的波动 情况（看顶端）， 同乘一个数波动变大，波动幅 2倍 度为原来 2 倍，方差为原来 2 成绩 （分）
老师的烦恼
下星期三就要数学竞赛了，甲，乙两名同学只 能从中挑选一个参加。若你是老师，你认为挑 选哪一位比较适宜？ 甲、乙两个同学本学期五次测验的数学成绩分别 如下（单位：分） 甲 85 90 90 90 95
乙
_
95
85
95
_
85
90
x 甲 = 90 ( 分 )
x 乙 = 90 ( 分 )
问题？平均数一样，成绩相同吗？