dt dt
M d L －角动量定理微分形式 dt
设 t1 t2时间内，刚体角速度由 1 2
t2 M dt L2 d L I 2 I1
t1
L1
－定轴转动的角动量定理积分形式
t2 M dt L2 d L I 2 I1
t1
L1
定轴转动的刚体对轴的角动量的增量等于对同一
转轴合力矩的角冲量（冲量矩）
2
2
A力矩
1 2
I2
1 2
I02
可得
3g L
I 1 mL2 3
例2，劲度系数为k的轻弹簧，一端固定另一端通
过一定滑轮系一质量为m的物体，滑轮半径为R，
转动惯量为I，绳与滑轮无相对滑动，求物体从弹
簧原长时开始(静止)下落到h距离时的速度？
k I,R
解 机械能守恒
m mgh 1 kh2 1 mv 2 1 I 2
度。因为： M一定时I I
如一个外径和质量相同的实心圆柱与 空心圆筒，若 受力和力矩一样，谁转 动得快些呢？
M
I
M
M
刚体定轴转动的转动定律与牛顿定律的对比
转动定律
M
r
F
I M
r 2dm
I
L
M
I
dL
dt
牛顿定律 F
m
F
ma
P
F
mv
dP
dt
例2 一轻绳绕在半径 r =20 cm 的飞轮边缘，在绳端施以F=98 N 的拉力，飞轮的转动惯量 I=0.5 kg·m2，飞轮与转轴间的摩擦
二 转动惯量的计算 1 计算公式
I miri2
i
r 2dm
－质量不连续分布 －质量连续分布
线分布
dl －线分布λ＝m/l dm ds －面分布σ＝m/S
dV －体分布ρ＝m/V
面分布
2 决定 I 的三要素:
体分布
(1)总质量 (2)质量分布 (3)转轴的位置
例1 一质量为 m 、长为 l 的均匀细长棒，求
0
3
例2 圆环绕中心轴旋转的转动惯量
I L R2dm 2πR R2dl
0
0
R2
2πR
dl
2πR3
m
mR 2
0
2πR
例3 圆盘绕中心轴旋转的转动惯量
ds 2π rdr
dm
ds
π
m R2
2π
rdr
2mr R2
dr
I
m r 2dm
0
R 0
2m R2
r 3dr
m 2
R2
dl m
R O
定轴转动定律：绕某定轴转动的刚体，所受
合外力矩在该轴上的分量等于刚体对该轴的
转动惯量与角加速度的乘积。
M I
或
M
I
说明：1）定律是瞬时对应关系；
2）M , I , 应是对同
一轴而言的
Z
F
F
如何求力对轴的力矩呢？ 如图可将力分解为两个
M
Z
r
F
力，只求那个垂直于轴
的力的力矩就可以了。
3）转动定律说明了I是物体转动惯性大小的量
0
O
x
图
解：（1）
m l
,
df gdm gdx
M
dM
xdf
l
0 x gdx
r 900
ds rd
A Fds sin Frd sin
Fr sin d Md
A Md －力矩的功 dA Md
说明
(1) 合力矩的功
A
2 1 i
Mid
i
2 1
M
i
d
i
Ai
(2) 力矩的功就是力的功
(3) 内力矩作功之和为零
力矩的功率： N dA M d M
注意：该定理也适应于刚体的一般运动中转轴通过
质心的运动。
m、I
C
C1
t2 t1
M Cdt
IC2
IC1
m、I
C
vCC2
例：一长为l、质量为m的均匀细杆，可绕轴O轴转 动。桌面与细杆间的滑动摩擦系数为，杆初始转 速为0 ，求：
（1）细杆受的摩擦力矩； （2）从0到停止转动共经历的时间； （3）从0到停止转动共转了多少圈（如图）。
通过棒中心并与棒垂直的轴的转动惯量 .
O
Or
l 2 O´ dr l 2
O´ dr l
r 解 设棒的线密度为 ，取一距离转轴OO´为
处的质量元 dm dr dI r 2dm r 2dr
I 2 l /2 r 2dr 1 l 3 1 m l2
0
12
12
如转轴过端点垂直于棒 I l r 2dr 1 ml2
刚体的动能：
r i vi mi
M
Ek
n i 1
1 2mi
ri2
2
1 2
(
n i 1
mi ri2
)
2
质量连续分布 mi 0
Ek
lim
mi 0 n
n i 1
12miri2 2
r i vi mi
M
1 ( r 2dm) 2 1 I 2
2
2
Ek
1 I 2
2
令I r 2dm
I－转动惯量（rotational inertia）
解：I A I杆 I球
ω
I杆
1 3
ml
2
A m, ι
m,R
由平行轴定理：
I球A I球O m( R l )2
I 球O
2 mR 2 5
IA
1 3
ml
2
2 5
mR 2
m( R
l )2
§3-3 力矩 转动定律
一、力矩
F
φ
rp
力矩： M rF sin
矢量式：
M
r
F
单位：米.牛顿
说明： 1）力
受力：mg，N（不产生 对轴的力矩）
建立OXYZ坐标系 A
建立OXYZ坐标系（并以Z轴为转动量的正方向）
N
Y
M
Z
L
M mg L sin
XO
r
2
I
1
mL2
(1)
3
mg M mg sin 3g sin
I
1 mL2 2L
3
r F沿Z轴正向，
0则 0 / 2则 3g / 2L
三、刚体转动动能定理
力矩的功定义 dA Md Id
I d d Id
dt
A 2 Md 2 Id
1
1
2
1
Md
1 2
I
2 2
1 2
I12
此称刚体转动 的动能定理
定轴转动刚体的动能定理：合外力矩对绕定轴 转动的刚体所作的功等于刚体转动动能的增量 .
四、刚体转动时的机械能守恒定律
机械能：
E机械
第一定律：一个定轴转动的刚体，当它所受的 合外力矩（对该转轴而言）等于零时，它将保 持原有的转动状态不变即原来静止的仍然静止， 原来转动的则仍保持原来的角速度转动。
第二定律：一个定轴转动的刚体，当它所受的 合外力矩（对该转轴而言）不等于零时，它将 获得角加速度，角加速度的方向与合外力矩的 方向相同；角加速度α的量值与合外力矩M的 量值成正比，并与转动惯量I成反比 .
2
2
2
h
v R
解之，可得
2mgh kh2
v
m I R2
3－5 角动量守恒定律
力的时间累积效应
冲量、动量、动量定理.
力矩的时间累积效应 冲量矩、角动量、角动量定理.
一、角动量
L
r
P
r mv rmr r 2m I
二、定轴转动的角动量定理积分形式
Z
MZ
F
M I I d d(I)
不计， (见图) 求 (1) 飞轮的角加速度
(2) 如以重量P =98 N的物体挂在绳端， 试计算飞轮的角加速
rO T
解 (1) Fr I Fr 98 0.2 39.2 rad/s 2
(2) mg T ma
Tr I
I 0.5
I
mgr mr 2
两者区别
F mg
a r
98 0.2 0.5 10 0.22
mghC
1 2
mvC2
1 2
Ic 2
若刚体系统 A外＋ A非保守＝0 ，则刚体的机械
能守恒E1＝E2。
例1 设一细杆的质量为m，长为L，一端支以枢 轴而能自由旋转，设此杆自水平静止释放。求：
当杆过铅直位置时的角加速度、角速度以及 此时A和C点的线速度量值。
N YZ
L
解(一)
XO
C
mg
1）以杆为研究对象
例1: 一均匀细杆，在平面内以角速度ω转动，
求M摩擦力。 ω
解 力是连续的
dm
r F dr
所以
M合 rdF
r 其中：
dF gdm g m dr
l
M合
rdF l mg 1rdr 1 mgl
0
l
2
二、转动定律
要揭示转动惯量的物理意义，实际上是要找到一个 类似于牛顿定律的规律——转动定律。
dt dt
当输出功率一定时,力矩与角速度成反比。
二、转动动能
Ek
n i 1
1 2
Δmiri
2ω2
1 2
(
n i 1
Δmiri
2
)ω2
1 2
Iω2
刚体绕定轴转动时转动动能等于刚体的转动惯量与角 速度平方乘积的一半。