2、定轴转动角量和线量的关系
v = r ⋅ω
r为定轴转动时转动平面内质点距轴的距离 dv d ( rω ) = rα 2 = an = rω at = dt dt
刚体作匀加速转动
ω = ω0 +α t
2 2 0
(θ −θ0 ) = ω0t + α t
1 2
2
ω −ω = 2α(θ −θ0 )
三、刚体定轴转动定律
一.
刚体定轴转动的转动定律
一.
刚体定轴转动的转动定律
1、刚体：受力时形状和体积都不改变 、刚体： 的物体 理想化模型） （理想化模型）
说明
1)、刚体是特殊的质点系，在外力作用 1)、刚体是特殊的质点系， 下各质点间的相对位置保持不变 2)、 2)、有关质点系的规律都可用于 刚体
一.
刚体定轴转动的转动定律
F 牛顿第二定律： 由 牛顿第二定律： a = m
类比有
绕定轴转动的刚体获得的角加速度大小与合外力矩的 量值成正比。方向与合外力矩的方向相同。 量值成正比。方向与合外力矩的方向相同。
由质点运动方程
类比有刚体转动方程: 类比有刚体转动方程
dP dv F = = m = ma dt dt
dω M = Jα = J dt
( m 2 m 1) g (m 2 m 1 ) g a= α = (m m m 1+ 2+ m 1+ m 2 + m ) ( 2 )r 2
m m1 2m2 + g 2 T1 = m m1 + m2 + 2
m m2 2m1 + g 2 T2 = m m1 + m2 + 2
对质点： 对质点： 线量描述： 线量描述： 角量描述： 角量描述：
dP F= dt
dL M = dt
※质点系：对固定点： 质点系： 对固定点：
M外 = dL系 dt
M外 = ∑ Mi
i
L系 = ∑ ( ri × mi vi )
i
M 外 dt = dL
质点系的角动量定理 角动量守恒定律
如果 M 外 = 0 L = 常量
ω
R r dr m
1 2 3 r dr = mR 2
对同一轴 J 具有可叠加性
J =∑Ji
i
平行轴定理
J = J C + md 2
的均匀细杆， 例4. 一质量为 M 、长为 L 的均匀细杆，可以绕一端 水平轴自由转动。 水平轴自由转动。 当细杆处于水平位置时， (1) 当细杆处于水平位置时 ， 求细杆所受到的外力 对转轴的力矩; 对转轴的力矩; 细杆在水平位置时， (2) 细杆在水平位置时 ， 求由重力矩产生的细杆绕 一端水平轴转动的角加速度。 一端水平轴转动的角加速度。
m 解：dm = dx df = µ gdm l l m dM = −xdf = − xµgdm = − xµg dx dx x o l m l 1 dω ´ M = − µg ∫ xdx = − µmgl = J l 0 2 dt 1 1 2 dω 1 2 − µmgl = ml J = ml 2 3 dt 3 ω0 ω0l t 3µg ⇒− dt = ∫ 2 dω ⇒ t = 3µg ω0 2l ∫0
2
角速度矢量
ˆ ω = ωω
右手螺旋法则确定方向 右手螺旋法则确定方向 确定
ω
角加速度： 角加速度： α = dω dt
dt dω ˆ dω dω ˆ ˆ =ω =ω +ω dt dt dt 2 dω d θ α= = 2 角加速度的方向？ 角加速度的方向？ dt dt
=
ˆ d(ωω )
ω
二、刚体定轴转动的角量描述
dm = σds J = ∫ r 2σ ds
dm = ρdV J = r ρdV
ρ=
V
∫
2
长度为L 例1、求质量为 长度为 的均质细杆的转动惯量 、求质量为m,长度为 解： 建立坐标系如图 1、任取线元 dx，距离左端 x 、 ， m dm = dx L 2、质元 的转动惯量 、质元dm的转动惯量 m 2 2 dJ = x dm = x dx L 3、杆的转动惯量 、 0 0 ω L x 0 L 0 x dx ω dx
Lz = Jzω dω dLz ⇒ M外z = Jzα = Jz ⇒ M外z =
dt
dt
（1）刚体定轴转动第一定律 ） 由牛顿第一定律： 由牛顿第一定律： F 为 0 时 ∑ 类比有
v = 恒矢量
a等于0
绕定轴转动的刚体所受的合外力矩为零时， 绕定轴转动的刚体所受的合外力矩为零时，将保持原 有的运动状态不变。 有的运动状态不变。 （2）刚体定轴转动第二定律 ）
1 M z = MgL 2
M z 3g α= = J z 2L
dl
例5、在图示的装置中求 ：T1、T2 、a 、α 、 (滑轮可视作均质圆盘 滑轮可视作均质圆盘) 滑轮可视作均质圆盘
T2 r m T1 m1 m +
α
m2
受力分析
T1
m1
T2
m2
a
a
状态分析 列方程
m1g
T1
T2
m2g
T − m g = m a J = 1 mr2 1 1 1 2 T2r −T r = Jα 1 a = rα m2 g −T2 = m2a
m t
2 R gt 2 2 联立解得： 联立解得：J = a 2h − 1mR mg 2 = 1.14kgm 单位对； 1、单位对；
分析： 、 分析： 2、 h、m一定，↑→ t ↑ 合理； 一定， 合理； 一定 J 0， 3、若J = 0，得 h = 1 gt 2 正确 2
32
例6：R=0.2m, m=1kg, v0=0, h=1.5m, 绳轮无相对滑 , 绳不可伸长， 求轮对O轴 动，绳不可伸长，下落时间 t=3s. 求轮对 轴J=? N 定 · 轴 O R 绳 v0=0 h R G T m 解：动力学关系： 动力学关系： α 对轮： 对轮： TR = Jα 对 m： mg −T = ma 1 2 a T h = at α 运动学关系： 运动学关系： =
L1
合外力矩M在 时间内的 时间内的冲量矩 合外力矩 在dt时间内的冲量矩 刚体角动量定理 —作用在刚体上的冲量矩等于刚体角动量的增量 作用在刚体上的冲量矩等于刚体角动量的增量
四、角动量守恒定律 当合外力矩为零
M' θ M 0 θ
0'
dθ
二、刚体定轴转动的角量描述
1、定轴转动的角量 角位置： 角位置： θ 角位移： ∆θ 角位移： 角速度： 角速度：
M' 0' θ M 0 θ
⇒ dθ
dθ
二、刚体定轴转动的角量描述
角速度矢量
ω
ω
右手螺旋法则确定方向 右手螺旋法则确定方向
角加速度： 角加速度：
dω d θ α= = 2 dt dt
Mz
r
F
φ
r// × F 对定轴转动无贡献 o 对定轴转动有贡献的力矩： 对定轴转动有贡献的力矩：
Mz = r × F
r//
r′
2) 力不在转动平面内 M = r ′ × F = ( r + r// ) × ( F// + F⊥ )
= r × F// + r × F⊥ + r// × F// + r// × F⊥
m L 2 1 2 J = ∫ x dx = mL L 0 3 + L / 2m 1 2 2 = mL 以中点为轴： x dx 12 以中点为轴： J = ∫ −L / 2 L
ω
例2、均质细圆环的转动惯量 均质细圆环的转动惯量 任取线元dl 任取线元 ， dm=λdl，距离轴 r ，
m r
J = ∫ r dm = r
2
2
dm = mr ∫
2
0
质量为m，半径为R 例3、质量为 ，半径为 的均质圆盘的转动惯量 质量为 任取面 ds（ r远处 宽细环） 远处dr宽细环 任取面元ds（离r远处dr宽细环）
m σ = 2 dm = σ 2πrdr πR 2 3 dJ = r dm = 2πσr dr
J = 2πσ ∫
R 0
讨论： 讨论： α 转动惯量是转动 一定， （1） M 一定，J ） 惯性大小的量度； 惯性大小的量度； 的符号： （2）M 的符号：使刚体向规定的转动正方向加速 的力矩为正； 的力矩为正；
和质量分布有关； （3）J 和质量分布有关； 和转轴有关， （4）J 和转轴有关，同一个物体对不同转轴的转 动惯量不同。 动惯量不同。
一.
刚体定轴转动的转动定律
转轴: 保持静止的点的连线。 转轴: 保持静止的点的连线。 方向： 定轴转动 方向：角速度方向 刚体质点间的相对运动只能是 一 定轴转动的 定点转动： 定点转动： 运动 刚体 只 一点 定 动 刚体 定点 的 一 轴线转动
o o· ′
2、刚体的运动 转 动
o
一.
转动: 转动 刚体各质点在运动中 刚体定轴转动的转动定律 都绕同一直线圆周运动。 都绕同一直线圆周运动。这 一直线叫转轴。 一直线叫转轴。
2、刚体的运动 1)平动： 1)平动：任意连接刚体内两点的直线在各时 平动 刻位置都保持彼此平行的运动。 刻位置都保持彼此平行的运动。 平动时， 平动时，刚体上所有点的运 动都相同 —— 可用其上任何一点的 运动来代表整体的运动（ 运动来代表整体的运动（如 质心） 质心）
一.
刚体定轴转动的转动定律
质点系对一个固定点而言： 质点系对一个固定点而言：
M inter = 0
M 外 = ∑ M i外
i
L系 = ∑ ( ri × mi vi )