6.4 因式分解的简单应用同步练习
【知识提要】
1．能应用因式分解进行多项式除法．
2．会应用因式分解解简单的一元二次方程．
【学法指导】
1．多项式除以多项式，在整除的情况下，•可以把被除式分解成含有除式的几个因式的积的形式，运用换元思想，把多项式除法转化为单项式除以单项式．
2．应用因式分解解方程的依据是如果若干个数之积为零，•那么至少有一个数为零．也就是说，如果A·B=0，那么A=0或B=0．
范例积累
【例1】计算：
（1）（-a2b2+16）÷（4-ab）；（2）（18x2-12xy+2y2）÷（3x-y）．
【解】（1）（-a2b2+16）÷（4-ab）=（4+ab）（4-ab）÷（4-ab）=4+ab；
（2）（18x2-12xy+2y2）÷（3x-y）=2（9x2-6xy+y2）÷（3x-y）
=2（3x-y）2÷（3x-y）=2（3x-y）=6x-2y．
【注意】在整除的情况下，我们可以把被除式因式分解，把多项式除法转化为单项式相除．
【例2】解下列方程：
（1）3x2+5x=0；（2）9x2=（x-2）2；（3）x2-x+1
4
=0．
【解】（1）把左边因式分解，得x（3x+5）=0．所以x=0或3x+5=0．
解这两个一元一次方程，得x1=0，x2=-5
3
；
（2）移项，得9x2-（x-2）2=0
把左边因式分解，得4（x+1）（2x-1）=0 所以x+1=0或2x-1=0．
解这两个一元一次方程，得x1=-1，x2=1
2
；
（3）方程左边因式分解，得x2-x+1
4
=
1
4
（4x2-4x+1）=
1
4
（2x-1）2，
即1
4
（2x-1）2=0
所以2x-1=0
解这个一元一次方程，得x=1
2
，故x1=x2=
1
2
．
【注意】如果方程一边是零，另一边可以分解成若干个x•的一次式的积的多项式，那么就利用“若A．B=0，则有A=0或B=0”的结论，•转化为求几个一元一次方程的根．【例3】已知4x2+y2-4x+6y+10=0，求4x2-12xy+9y2的值．
【解】由已知，得（4x2-4x+1）+（y2+6y+9）=0，
即（2x-1）2+（y+3）2=0
所以2x-1=0，且y+3=0，
所以x=1
2
，y=-3．
4x2-12xy+9y2=（2x-3y）2
=[2×1
2
-3×（-3）]2=100．
【注意】由A2+B2=0，可推出A=0，且B=0，同理还可得│A│＋│B│＝0 A=B=0，概括地说，如果两个非负数的和等于零，则这两个非负数同时等于零．
基础训练
1．如果方程x（ax+2）=0的两根是x=0，x=4，那么a=________．
2．方程（x+5）（2x-3）=0可以转化为两个一元一次方程：_________或________．
3．计算：（2x2-4xy）÷（x-2y）=________．
4．计算：（9a2-4b2）÷（3a-2b）=________．
5．计算：（x2-xy+1
4
y2）÷（x-
1
2
y）=________．
6．计算：（4mn-m2-4n2）÷（2n-m）=_________．
7．方程x3+4x=0的解是________．
8．解下列方程：
（1）9x2-16=0；（2）2x2-5x=0；（3）4x2=（x-1）2．
提高训练
9．解方程：x3-9x=x2-9．
10．已知a=1
2
，b=
2
3
，求代数式5a[（a2+4ab+4b2）÷（a+2b）+（9a2-16b2）÷（3a-4b）]
的值．
11．已知x+y=7，xy=12，求x2y+xy2的值．12．计算：（a2+b2-c2-2ab）÷（a-b-c）．
应用拓展
13．在一个半径为R的大圆上，挖去9个半径为r的小圆孔，当R=70厘米，r=10•厘米时，剩余部分的面积为________平方厘米．（ 取3.14）
14．推导：若（a+b+c）2=3（a2+b2+c2），则a=b=c．
答案:
1．-1
2
2．x+5=0 2x-3=0 3．2x 4．3a+2b
5．x-1
2
y 6．m-2n 7．x=0
8．（1）x1=-4
3
，x2=
4
3
（2）x1=0，x2=
5
2
（3）x1=
1
3
，x2=-1
9．x1=-3，x2=1，x3=3 10．10a（2a+3b），15 11，84 12．a-b+c 13．12560 14．略。