第二十二章《一元二次方程》教材分析北京八中刘颖一. 本章的主要内容:1. 主要内容: 一元二次方程及其有关概念, 一元二次方程的解法（配方法、公式法、因式分解法）, 运用一元二次方程分析和实际问题.2. 本章重点：一元二次方程的解法,难点：一元二次方程的应用.二. 中考考试要求: （2012年）三. 课程学习目标1. 以分析实际问题中的等量关系并求解其中的未知数为背景, 认识一元二次方程及其有关概念.2. 根据化归的思想, 抓住“降次”这一基本策略, 掌握配方法、公式法和因式分解法等一元二次方程的基本解法．有条件时可选学“一元二次方程的根与系数的关系”, 拓展对一元二次方程的认识.3. 经历分析和解决实际问题的过程, 体会一元二次方程的数学模型作用, 进一步提高在实际问题中运用方程这种重要数学工具的基本能力.四. 本章知识结构框图五. 课时安排本章教学时间约需13课时, 具体分配如下（仅供参考）:22.1一元二次方程………………（2课时）22.2降次——解一元二次方程…（7课时）22.3实际问题与一元二次方程…（2课时）数学活动与小结…………………（2课时）六. 内容安排22.1 节以实际问题为背景, 引出一元二次方程的概念, 归纳出一元二次方程的一般形式, 给出一元二次方程的根的概念, 并提出一元二次方程的根会出现不唯一的情况. 这些概念是全章后续内容的基础.22.2节讨论一元二次方程的基本解法, 其中包括直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法等, 这一节是全章的重点内容之一. 在本章之前的方程都是一次方程或可化为一次方程的分式方程, 一元二次方程是首次出现的高于一次的方程.解二次方程的基本策略是将其转化为一次方程, 这就是“降次”. 本节首先通过解比较简单的一元二次方程, 引导学生认识直接开平方法解方程; 然后讨论比较复杂的一元二次方程, 通过对比一边为完全平方形式的方程, 使学生认识配方法的基本原理并掌握其具体方法; 有了配方法作基础, 再讨论如何用配方法解一元二次方程的一般形式20++=(0ax bx ca≠), 就得到一元二次方程的求根公式, 于是有了直接利用公式的公式法, 并引出用判别式确定一元二次方程的根的情况. 本节在公式法后讨论因式分解法解一元二次方程, 这种解法要使方程的一边为两个一次因式相乘, 另一边为0, 再分别令每个一次因式为0. 这几种解法都是依降次的思想, 将二次方程转化为一次方程, 只是具体的降次手段有所不同. 本节最后增加了选学内容“一元二次方程的根与系数的关系”. 学习这一内容可以进一步加深对一元二次方程及其根的认识, 为以后的学习做准备.22.3节安排了3个探究内容, 结合实际问题, 分别讨论传播问题、增长率问题和几何图形面积问题. 一元二次方程与许多实际问题都有联系, 本节不是按照实际问题的类型分类和选材的, 而是选取几个具有一定代表性的实际问题来进一步讨论如何建立和利用方程模型, 重点在分析实际问题中的数量关系并以方程形式进行表示, 这种数学建模思想的体现与前面有关方程的各章是一致的, 只是在问题中数量关系的复杂程度上又有新的发展, 数学模型由一次方程或可以化为一次方程的分式方程变为一元二次方程．本章从引言到小结始终保持贴近实际、贴近生活. 这样安排主要目的是:1. 反映客观世界与数学的密切联系;2. 加强对应用数学知识分析和解决实际问题的意识和能力的培养.目前的课程标准没有将一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）列为必学内容, 考虑到部分学有余力的学生可以进一步扩大对一元二次方程的认识, 以及这个内容是比较重要的数学知识, 教科书在22.2.4中安排了有关内容供选学, 希望能提供一些问题给部分学生去探究.在本章小结中, 教科书再次强调一元二次方程与实际问题之间的联系, 突出解一元二次方程的基本思路以及具体方法, 这是本章的重点内容.一元二次方程是本套初中数学教科书中所学习的最后一种方程, 从某种意义上说, 学习本章也具有对方程的学习进行总结的作用．七. 教学中应注意一些的问题（一）一元二次方程的有关概念1. 了解一元二次方程的概念（1）一元二次方程是整式方程;（2）它含有一个未知数（“一元”）, 未知项的最高次次数是2（“二次”）;（3）它的一般形式是: )0(02≠=++a c bx ax .2. 能由一元二次方程的概念确定二次项系数中所含字母的取值范围只有当二次项系数0a ≠时, 整式方程20ax bx c ++=才是一元二次方程. 例1. ① 关于x 的方程()04412=-++mx x m 是一个一元二次方程, 则m 的取值范围是_________,一次项系数是_____________, 常数项是______________② 关于x 的一元二次方程()()()a x a x x 51233=+-+-, 化成一般形式是_____________3. 一元二次方程的解(根)的定义与检验一元二次方程的解(根)（1）一元二次方程作为整式方程, 在有解的情况下, 一定有两个实数解;（2）区分“无解”与“无实数解”.例2. 已知: a > b , 且有01532=-+a a , 01532=-+b b① a , b 是否方程01532=-+x x 的根; ② 求a , b 的值例3. 关于x 的方程(1–a )x 2+2x +2=0有实根, 求a 的取值范围.（二）能选择适当的方法解一元二次方程在学习本章之前, 学生已经学习过一元一次方程、二元一次方程组的解法, 并且学习了可以化为一元一次方程的分式方程的解法. 一元二次方程的解法与前面的方程的解法相比, 特点在于未知数的次数是2（二次）, 于是重点和难点在于如何将一元二次方程转化为已经会解的一次方程.1. 明确解一元二次方程是以降次为目的, 应以直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法等方法为手段, 从而把一元二次方程转化为一元一次方程求解, 其中配方法更是尤为重要;2. 理解配方法, 能熟练地选用包括直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法等方法在内的适当的方法解一元二次方程;3. 理解各种解法的依据;4. 各种解法应强调的问题（1）直接开平方对于形如n x =2或)0()(2≠=+a n b ax 的一元二次方程（即一边是含有未知数的一次式的平方, 而另一边是一个非负数）, 可用直接开平方法求解.形如n x =2的方程的解法: 当0>n 时, n x ±=;当0=n 时, 021==x x ;当0<n 时, 方程无实数根.注意: 在进行用直接开平方法解形如)0()(2≠=+a n b ax 的方程的教学时, 可有意识地渗透“换元法”的思想.（2）配方法通过配方的方法把一元二次方程转化为n m x =+2)(的形式, 当0≥n 时, 可运用直接开平方法求解.配方法的一般步骤:① 移项: 把一元二次方程中含有未知数的项移到方程的左边, 常数项移到方程的右边;② “系数化1”: 根据等式的性质把二次项的系数化为1;③ 配方: 将方程两边分别加上一次项系数一半的平方, 把方程变形为n m x =+2)(的形式;④ 求解: 当0≥n 时, 方程的解为n m x ±-=; 若0<n 时, 方程无实数解． 注意: 在二次项系数为1的情况下, “方程两边都加上一次项系数（绝对值）一半的平方”这是用配方法解一元二次方程的关键步骤.（3）公式法一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax , 当042≥-ac b 是, 方程的根为: aac b b x 242-±-= 当042>-ac b 时, 方程有两个实数根, 且这两个实数根不相等;当042=-ac b 时, 方程有两个实数根, 且这两个实数根相等, 写为ab x x 221-==; 当042<-ac b 时, 方程无实数根．公式法的一般步骤:①把一元二次方程化为一般形式;②确定c b a ,,的值;③代入ac b 42-中计算其值, 判断方程是否有实数根;④若042≥-ac b 则代入求根公式求值, 否则, 原方程无实数根.注意: 求根公式适用于任何一个有实根一元二次方程, 因此, 公式法是解一元二次方程的通法（使用时要先将方程化为一般式）, 但它不一定是解决具体问题时的最简单的方法. 另外, 求根公式也反映处了一元二次方程的根与系数之间的关系.（4）因式分解法① 因式分解法解一元二次方程的依据: 如果两个因式的积等于0, 那么这两个因式中至少有一个的值为0;② 因式分解法的一般步骤:将方程化为一元二次方程的一般形式;把方程的左边分解为两个一次因式的积, 右边等于0;令每一个因式都为零, 得到两个一元一次方程;解出这两个一元一次方程的解可得到原方程的两个解.注意: 因式分解的方法也可以帮助我们达到降次的目的. 对于系数是无理数或含字母系数的一元二次方程, 应首先考虑选用因式分解法求解, 往往较为简便.5. 对于含有字母系数的一元二次方程注意: 方程类型的确定和必要时对系数的分情况讨论.例4. 用适当的方法解下列方程① ()y y 2422=+ ② 04232=+--t t③ ()()03051752=+---x x ④ ()x x x 2152=-⑤ ()0321322=+++x x ⑥313123121-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--x x x 例5. 解关于x 的方程：① 044222=-+-b a ax x② ()()()b a a c x c b x b a ≠=-+-+-02 ③ ()()()01222≠--=-b a x b a x④ ()22x x c b a =-+ ⑤ ()0065622≠=-+m mx x m例6. 用配方法解下列方程：① x x 7322=+ ②231322=+x x（三）会用一元二次方程根的判别式判断根的情况1. 了解一元二次方程根的判别式概念, 会用判别式判定根的情况, 能利用根的判别式说明含有字母系数的一元二次方程根的情况及由方程根的情况确定方程中待定系数的取值范围（1）∆=ac b 42-（2）对于一元二次方程02=++c bx ax （0≠a ） ①当⎩⎨⎧≥∆≠时00a ⇔方程有实数根; 当⎩⎨⎧>∆≠时00a ⇔方程有两个不相等的实数根;当⎩⎨⎧=∆≠时00a ⇔方程有两个相等的实数根; ②当⎩⎨⎧<∆≠时00a ⇔方程无实数根． 2. 常见的题型（1）不解方程, 利用一元二次方程根的判别式, 判别一元二次方程根的情况; 例7. 不解方程, 判断下列关于x 的方程的根的情况:① ()()7315=+-x x ② 02352=-+x x（2）已知一元二次方程的根的情况, 由根的判别式确定字母的取值范围; 例8. 若关于x 的方程0962=+-x kx 有两个不相等的实数根, 求k 的取值范围（3）应用判别式, 证明一元二次方程根的情况①先计算出判别式（关键步骤）; ②用配方法将判别式恒等变形; ③判断判别式的符号; ④总结出结论.例9. 已知a ,b ,c 为实数. 求证: 关于x 的方程(x –a )(x –b )+(x –b )(x –c )+(x –c )(x –a )=0恒有实数根.（4）分类讨论思想的应用: 如果方程给出时未指明是二次方程, 后面也未指明方程有两个根时, 需要对方程进行分类讨论, 如果二次项系数为0, 方程可能是一元一次方程; 如果二次项系数不为0, 方程是一元二次方程, 可能会有两个实数根或无实数根.例10. 已知关于x 的方程: ()()011222=++---m x m x m , 在下列情况下, 分别求m 的取值范围:① 方程只有一个实数根; ② 方程有两个相等的实数根; ③ 方程有两个不相等的实数根（5）一元二次方程根的判别式常结合三角形、四边形、不等式（组）等知识综合命题, 解答时要在全面分析的前提下, 注意合理运用代数式的变形技巧.例11. 已知: 关于x的方程(a+c)x2+2bx–a+c=0 有两个相等的实数根. 问正数a,b,c是否可以作为一个三角形的三边的长? 如果可以, 是什么形状的三角形? （6）一元二次方程根的判别式与整数解的综合.例12. 当k是什么整数时, 方程(k2–1)x2–6(3k–1)x+72=0有两个不相等的正整数根（7）判别一次函数与反比例函数图象的交点问题. 另外, 一元二次方程根的判别式对于日后学习二次函数图象与横轴交点的个数也有很好的铺垫作用.（四）会运用一元二次方程解决简单的实际问题1. 数字问题: 解答这类问题要能正确地用代数式表示出多位数, 奇偶数, 连续整数等形式.2. 几何问题: 这类问题要结合几何图形的性质、特征、定理或法则来寻找等量关系, 构建方程, 对结果要结合几何知识检验.3. 增长率问题: 在此类问题中, 一般有变化前的基数（a）, 增长（下降）率（x）, 变化的次数（n）, 变化后的结果（b）, 这四者之间的关系可以用公式1(表示. 一般采用直接开平方法求根, 结果一般要符合01 b±)a n=x<<的要求.x4. “握手问题”是一种常见的题型, 建议归纳这种方程的模型, 帮助学生识别.5. 面积问题要合理设未知数, 方程模型为()()--=, 一般采取因式分解a bx c dx m法或公式法求解, 结果要同时符合0bx a<<、0dx c<<两个要求.6. 其它实际问题（都要注意检验解的实际意义, 若不符合实际意义, 则舍去）.八. 适当补充一些问题（一）目前的课程标准没有将一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）列为必学内容, 考虑到部分学有余力的学生可以适当扩充.定理的前提条件是: 二次项系数00a ≠∆≥，.例13. 根与系数关系补充内容① 已知x 1、x 2是方程 05322=-+x x 的两个实数根, 则_________2121=+x x x x ② 已知关于x 的方程04532=-+k x x 的一个根是 -2, 求它的另一个根 α 和 k 的值③ 已知x 1、x 2是方程 0522=--x x 的两个根, 求下列代数式的值:2111x x +; 2221x x +; ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-122111x x x x ; 21x x - ④ 已知关于x 的方程 0221222=-+⎪⎭⎫ ⎝⎛--a x a x 有两个不相等的实数根 α 和 β, 且有α2 - αβ + β2 = 12, 求a 的值⑤ 在等腰△ABC 中, 三边分别为a 、b 、c , 已知 a = 3, 且b 和c 是关于x 的方程 02122=-++m mx x 的两个实数根, 求△ABC 的周长（二）可化为一元二次方程的简单的分式方程例14. 解下列方程:①12221--=+x x x ② 11314121+-+=+-+x x x x九. 几个值得关注的问题本章的主要内容包括一元二次方程的基本概念、基本解法、应用举例等, 这些都是重要的基础知识, 打好基础很重要, 因此教学中应注意使学生切实掌握它们. 此外, 本章教学应特别关注以下问题.（一）教学中应重视联系实际问题, 加强对于数学建模思想的渗透在本章的教学和学习中, 应重视相关内容与实际的联系, 可以选择一些适合一元二次方程内容而又接近本班学生生活的实际问题, 结合这些问题展开教学的内容.对于把实际问题转化为有关一元二次方程的问题, 关键是弄清实际问题的背景, 找出实际问题中相关数量之间的相等关系, 并把这样的关系“翻译”为一元二次方程. 这里需要指出, 正确地理解实际问题情境是完成这一工作的基础.（二）教学中应结合一元二次方程的特点, 从说理的角度讨论方程的解法本章所讨论的对象是一元二次方程, 它的特殊性是其未知数为二次, 这是前所未见的. 将面临的新问题转化为已经会解的老问题, 是解决问题的基本思路. 正因如此, 将一元二次方程转化为一元一次方程, 即“降次”, 成为解一元二次方程的基本策略. 这也是化归思想在解一元二次方程时的具体体现.教学中应反复指出学习一元二次方程的解法时要了解以下两点:1. 用配方法、因式分解法等解一元二次方程时, 要通过适当的变形先使方程转化为一元一次方程, 也就是使未知数从二次变为一次. 一元二次方程的降次变形, 是由一个二次方程得到两个一次方程, 因此一个一元二次方程有两个根. .2. 配方法是公式法的基础, 通过配方法得出了求根公式；公式法是直接利用求根公式, 它省略了具体的配方过程.十. 本章渗透的数学思想与方法教学中要让学生充分经历知识的形成过程, 通过学生主动地进行观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动, 逐步认识问题的本质, 领悟数学思想方法．本章涉及的重要数学思想方法较多, 如化归思想、建模思想、配方法、换元法、降次法等等.1．化归思想解方程中的化归思想, 即逐步使方程变形为x=a的形式, 是解方程的基本指导思想, 它对各种方程都适用.2．降次法解二次（高次）方程的主要思想是降次, 配方法可以看作是开方降次, 因式分解法可以看作是分解降次, 它们的共同目的是将二次方程转化为一次方程, 进而求出方程的根．降次还有着广泛的应用.3．换元法学生在本章中接触换元法, 这一方法在后续学习中有着广泛的应用．用换元法解方程应着重引导学生观察方程的特征, 方程中的未知数包含在相同的代数式中可以考虑设辅助未知数进行“换元”．本章中还有一类题目只是把一个代数式看成一个字母而不引进辅助未知数, 这是“换元法”思想的灵活运用, 这一点应适当向学生说明.4．配方法和对称思想配方法是代数式恒等变形中的一个重要方法, 学生已经在学习完全平方公式时接触过, 本章应用配方法直接解方程, 进一步推出求根公式, 更说明了其重要作用．配方法还可以灵活使用, 用来求代数式的值.补充习题:（仅供参考）一、选择题1. 下列说法中, 正确命题有（ C ）①一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，则这两个角相等②数据5，2，7，1，2，4的中位数是3，众数是2③等腰梯形既是中心对称图形，又是轴对称图形④Rt △ABC 中，∠C=90°，两直角边a ，b 分别是方程x 2－7x ＋7=0的两个根，则AB 边上的中线长为1352 A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个2. 关于x 的方程0)1(2)13(2=+++-a x a ax 有两个不相等的实根1x 、2x ，且有a x x x x -=+-12211，则a 的值是（ B ）A ．1B ．－1C ．1或－1D ． 23. 一元二次方程(2)0x x -=根的情况是（ A ）A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根C. 只有一个实数根D. 没有实数根4. 某商品原售价289元,经过连续两次降价后售价为256元,设平均每次降价的百分率为x,则下面所列方程中正确的是( A )A. ()22891256x -=B. ()22561289x -=C. 289(1-2x)=256D. 256(1-2x)=2895. 关于x 的一元二次方程2(2)10x m x m +-++=有两个相等的实数根，则m 的值是（D ）A ．0B ．8C ．42D ．0或8 6. 方程(x +1)(x －2)=x +1的解是（ D ）A ．2 B.3 C. －1，2 D. －1，37. 一元二次方程0)1(=-x x 的解是（ C ）A. 0=xB. 1=xC. 0=x 或1=xD. 0=x 或1-=x8. 若一元二次方程式)2)(1()1(＋＋＋＋x x x ax bx ＋ 2)2(＝＋x 的两根为0、2，则 b a 43＋之值为何？BA ．2B ．5C ．7D ． 89. 如图(十三)，将长方形ABCD 分割成1个灰色长方形与148个面积相等的小正方形。