如图，已知D是△A B C内一点，试说明A B+A C＞B D+C D 证明：延长BD交AC于E
在△ABC中，AB+AE＞BE,即AB+AE＞BD+DE……①在△DEC中,DE+EC＞DC……②
①+②，得（AB+AE）+（DE+EC）＞（BD+DE）+CD 即AB+（AE+EC）+DE＞（BD+DE）+CD
即AB+AC+DE＞BD+DE+CD
∴AB+AC＞BD+CD
如图，△ABC中，D是BC的中点，求证：
（1）AB+AC＞2AD
（2）若AB=5,AC=3，求AD的范围。

(1)延长AD到点G,使DG=AD.连接BG
在△CDA和△BDE中
AD=GD,∠ADC=∠GDB
∵D是BC的中点
D
C B
A
E
A
B C
D
G
∴CD=BD
∴△CDA ≌△BDG.
∴BG=AC
在△ABG 中,AB+BG=AB+BC
AG=2AD
因为三角形两边和大于第三边,所以AB+BE ＞AG
∴AB+BC ＞2AD
(2)AB-AC ＜2AD ＜AB+AC
2＜2AD ＜8
1＜AD ＜4
如图，AB=AD,AC=AE,∠BAD=∠CAE=90°，点F 为DE 的中点，求证：BC=2AF.
延长AF 到点G,使AF=DF.连接GD
在△AFE 和△DFG 中
AF=GF,∠AFE=∠DFG
∵点F 为DE 的中点
∴DF=EF
B
D
C
所以△AFE≌△DFG.(SAS)
GD=AE=AC;∠G=∠FAE.
∴DG∥AE.(内错角相等,两直线平行)
则∠GDA+∠DAE=180°.(两直线平行,同旁内角互补）
又∵∠BAC+∠DAE=180°.
∴∠GDA=∠BAC.(同角的补角相等).
又∵AD=AB.
∴⊿ADG≌⊿BAC(SAS)
∴AG=BC,即2AF=BC.
∴BC=2AF.
如图，AD是△ABC的中线，点E在BC的延长线上，CE=AB, ∠BAC=∠BCA 求证：AE=2AD
证明：在AD的延长线上取点F,使AD＝FD,连接CF
∵AD是中线
∴BD＝CD,AD＝FD,∠ADB＝∠FDC
∴△ABD≌△FCD （SAS）
F
E
C
D
B
A
∴CF＝AB,∠B＝∠FCD
∵∠ACF＝∠BCA+∠BCE,∠ACE＝∠BAC+∠B,∠BAC＝∠BCA
∴∠ACF＝∠ACE
∵CE＝AB
∴CE＝CF
∴△ACE≌△ACF （SAS）
∴AE＝AF
∵AF＝AD+FD＝2AD
∴AE＝2AD
如图，△ABC中，∠ABC=90°，AC=CE,BC=CD,∠ACE=∠BCD=90°，BC的延长线交DE于F。

（1）求证:EF=DF
（2）求证:S△ABC=S△DCE 证明：
①作EG⊥BF,交BF延长线于G 则∠CGE=∠ABC=90°
∵∠ACE=90°E
∴∠ACB+∠ECG=90°
∵∠ACB+∠BAC=90°
∴∠ECG=∠BAC
又∵AC=EC
∴△ABC≌△CGE（AAS）
∴BC=EG
∵BC=CD
∴EG=CD
∵∠BCD=90°
∴∠DCF=90°=∠EGF
又∵∠CFD=∠GFE（对顶角相等）,CD=EG ∴△CFD≌△GFE（AAS）
∴EF=DF
②∵△CFD≌△GFE
∴S△CFD=S△GFE
∴S△CFD+S△CFE=S△GFE+S△CFE
B A
即S△DCE=S△CGE
∵△ABC≌△CGE
∴S△ABC=S△CGE
∴S△ABC=S△DCE
如图，在△ABC，△DEF中，AM,DN分别是两三角形中线，AB=DE,AC=DF,AM=DN.求证：△ABC≌△DEF
证明：如图，延长AM至A′，使A′M=AM
延长DN至D′，使D′N=DN
连接A′C、D′F
∵AM是△ABC的中线
∴BM=MC
在△ABM和△A′CM中
BM＝MC∠AMB＝∠A′MCAM＝A′M ∴△ABM≌△A′CM（SAS）
∴AB=A′C，同理可得DE=D′F ∵AB=DE，∴A′C=D′F B
A
M
C
A′
D
E
D
F
N
∵AM=DN，AA′=2AM，DD′=2DN
∴AA′=DD′，在△AA′C和△DD′F中，AC＝DFAA′＝DD′A′C＝D′F
∴△AA′C≌△DD′F（SSS）
∴∠A′=∠D′，在△A′MC和△D′NF中，A′M＝D′N∠A′＝∠D′A′C＝D′F ∴△A′MC≌△D′NF（SAS）
，∴MC=NF
∵AM、DN分别是两三角形中线
∴BC=2MC，EF=2NF
∴BC=EF，在△ABC和DEF中，AB＝DEAC＝DFBC＝EF
∴△ABC≌DEF（SSS）．。