连支的集合称为补（余）树。
林：分离图G的各部分子图的树构成林；K个分离部分构成K个树的林。
六、 单连支回路（基本回路）和单树支割集（基本割集）
6
c1
l3 4
c2
5
c3
l1
l2
12
3
树支: 1、2、 3; 连支：4、5、6 单连支回路: l1(1、2、4) ， l2(2、3、5)， l3(1、3、6) 单树支割集: c1(1、4、6)， c2(2、4、5)， c3(3、5、6)
c3 Q 0 1 0 1 1 1 1t Ql
4 4
0 0 1 0 1 1
6
定理2
QBT 0 (BQT 0) 则 1 t
Ql BtT At1Al
Q l
B
T t
1l



BtT
Ql
0
由A可得Q： Q [1t At1 Al ]
Aa

1 0
1 0
0 1
0 0
1 1
0

1
01源自1100

1 0 0 1 0 1
A 1 1 0
0
1
0

0 0 1 0 1 1
选支路1、2、3为树支，则 A A t A l
增广矩阵 关联矩阵
二、 回路矩阵 图G中的回路与支路的关系矩阵。
C1:{1,2,4} C2:{1,2,3,5} C3:{2,3,6}
1 支路 j 在割集i中且与割集方向一致
qij= -1 支路 j 在割集i中且与割集方向相反
0 支路 j 不在割集中
例 选树支: 1、2、 3, 列写Qf .
基本割集?
c2 2
1
5
1 0 0 1 0 1
c1
2 3
三、 割集矩阵 主要讲单树支割集矩阵，也称基本割集矩阵Qf 。
基本割集与支路的关联性质
４ ①
② ５
３
③
２
６
01
选树支: 4、5、 6
割集支 4 5 6 1 2 3
C1 1
Qf=C2 0
C3 0
0 0 -1 -1 0 1 0 1 1 -1 0 1 0 -1 1
规定：(1)割集方向为树支方向 (2)支路排列顺序先树支后连支 (3)割集顺序与树支次序一致
四. 拓扑矩阵及KCL、KVL方程
约定 假设支路电流与支路电压的参考方向相关联, 电压源支路的电压参考方向从电源的正端指向负端， 电流源支路的电流参考方向与电流源的电流方向相同。
1. 关联矩阵与KCL、KVL
４ ①
② ５
３
③
２
６
01
结支 1 2 1 -1 -1
A= 2 0 0 310
3456 0100 1 -1 -1 0 0 0 11
l1 1 -1 0 1 0 0 Bf==l2 -1 0 1 0 1 0
l3 0 - 1 1 0 0 1
Bt
Bl
割集支 3 4 5 1 2 6
C1 1
Qf=C2 0
C3 0
0 0 -1 101 01 0 Qt
10 01 -1 -1 Ql
矩阵A、Bf和Qf的关系
关联矩阵与回路矩阵，以及割集矩阵与回路矩阵 并不是独立的，存在如下关系：
４ ①
２
② ５
３ ６
④1
回支 4 11
③ Bf =2 1 30
l b的矩阵描述
56123
-1 0 1 0 0
-1 1 0 1 0 1 -1 0 0 1
Bt
Bl
= [ Bt 1l ]
设 [u] [u4 u5u6 u1 u2u3 ]T
ut
ul
矩阵形式的KVL： [ Bf ][ u ]= 0
设:
i1
i2
i

i3
i4

i5
i6
u1
u2
u

u3 u4
u5
u6
un1
un



un2
un3
４ ①
② ５
３
③
结支 1 2 3 4 5 6 1 -1 -1 0 1 0 0 A= 2 0 0 1 -1 -1 0 3 1 0 00 1 1
第二章 网络图论
图论是工程数学的分支，在许多其他领域均有应用。 如：城市规划，交通，系统工程，物流，医学等
第一节 网络与图 第二节 图的基本概念 第三节 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵 第四节 路径矩阵 第五节 矩阵A、B和Q的关系
第一节 网络与图
图 —— 点和线的集合（二元关系）； 反映网络的拓扑结构，与元件无关。
[ Bf ][ u ]= 0
可写成
[ Bt
1
]uult


0
u1
ul



u2

u3
u4
ut



u5

u6
Btut+ul=0 ul= - Btut
连支电压用树支电压表示
设 [i] [i4 i5 i6 i1 i2 i3 ]T 则 [Bf ]T[ il ]=[ i ]
基本回路矩阵Bf (描述基本回路和支路的关联性质)
l b的矩阵描述
②
回支 4 5 6 1 2 3
４
５
1 1 -1 0 1 0 0
①
３
③ Bf =2 1 -1 1 0 1 0 = [ Bt 1l ]
２
６
3 0 1 -1 0 0 1
④1
规定：
Bt
Bl
选树支:
1. 连支电流方向为回路电流方向
4、5、 6;


u5
u6

u1
u2

0 1 1
u5 u6 u3
[u]

ut ul


Qf
T ut

1t QlT
ut
ul QlT ut 连支电压用树支电压表示
3. 回路矩阵与KCL、KVL
二、全通图、连通图及分离图 全通图：G中任意两节点均有支路.
连通图：任意两节点间均至少有一条路径（支路序列）.
分离图：
2
1
1
2
3 3
2
1
1
2
3 3
0 0
孤立节点也是图的一部分
三、平面图、有向图及无向图 平面图：可使各支路不相交；否则为非平面图
有向图：各支路标有方向图 无向图： 各支路无方向图
四、断点与可断图 G中任一节点移去时，与之相连的所有支路必须同时移去， 由此所得的子图不再连通了，该点就称为断点。 具有断点的图称为可断图。
ABf T ＝ 0 ，或 Bf AT ＝ 0 Bf Qf T 0 ，或 Qf Bf T ＝ 0
设连通图G，按先树支后连支顺序编号，各矩阵可分 解成相应的子矩阵，即
A At Al
Bf Bt 1l
Qf 1t Ql
则可得 或：
ABf T
At
Al

Bt
T

0 0 1
i3 i3
Bf=[ Bt 1 ]
[Bf
]T


BtT 1


BtT 1
[il
]

it il

BTt il it 树支电流用连支电流表出
矩阵形式的KCL： [ Bf ]T[ il ]=[ i ]
小结：
A
断点点
断点
五、路径、树和树支、连支和补树、林
路径：两节点的通路，有始端点和终端点，各节点和支路只能出现一次； 有向图与无向图有差别，有向图不能逆向走。
2
树和树支：连接所有节点，但不构成回路的最少支路集合；
1
至少有两个悬挂节点，树中支路称树支,树支数=n-1。 1
2
3
3
0
连支和补（余）树：G中除去树支以外的支路为连支，连支数=b-(n-1);
若按2、4、5为树支，1、3、6为连支，情况如何？
第三节 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵
一、 关联矩阵 图G的节点与支路的关系数字化，用矩阵的形式表示。
A为降阶的关联矩阵(n-1)b
４ ①
２
② ５
节点和支路关联性 图的拓扑结构用nb的矩阵描述
３ ６
0④ 1
③
节支 1 2
1 -1 -1
Aa= 2 0 0 参考结点 3 1 0
Bf
KCL Ai = 0
BTil=i
BTt il it
KVL ATun=u
Bfu=0 ul= - Btut
Ql BtT
Qf
Qf i=0
it Ql il
QfTut=u
ul QlT ut
练习 列写基本回路矩阵和基本割集矩阵。
6
①
②
③
1
2
3
5
4
0
选树支: 3、4、 5
回支 3 4 5 1 2 6
6
①
2② 4
③
3 1
5
电路图 Fig.
o 有向图G
1、 KCL：在节点上的支路，KVL：回路上的支路； 2、方向：信号的转移。
第二节 图的基本概念
一、图与子图
图 G =（V，E）
a
1
支路连接两个节点：
相邻 两节点（同类）， 节点与支路关联（非同类）
b 自环：
a
孤立节点