第2离散型随机变量的方差学习目标1.理解取有限个值的离散型随机变量的方差的概念.2.能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题．知识点离散型随机变量的方差甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相等，所得次品数分别为X和Y，X和Y的分布列为X 01 2P610110310Y 01 2P510310210思考1试求EX，EY.思考2能否由EX与EY的值比较两名工人技术水平的高低？思考3试想用什么指标衡量甲、乙两工人技术水平的高低？梳理(1)离散型随机变量的方差的含义设X是一个离散型随机变量，用E(X－EX)2来衡量X与EX的________________，E(X－EX)2是(X－EX)2的________，称E(X－EX)2为随机变量X的方差，记为________．(2)方差的大小与离散型随机变量的集中与分散程度间的关系方差越____，随机变量的取值越分散；方差越____，随机变量的取值就越集中在其均值周围．(3)参数为n，p的二项分布的方差当随机变量服从参数为n，p的二项分布时，其方差DX＝np(1－p)．类型一求离散型随机变量的方差命题角度1已知分布列求方差例1已知X的分布列如下：X －10 1P 1214a(1)求X2(2)计算X的方差；(3)若Y＝4X＋3，求Y的均值和方差．反思与感悟方差的计算需要一定的运算能力，公式的记忆不能出错！在随机变量X2的均值比较好计算的情况下，运用关系式DX＝EX2－(EX)2不失为一种比较实用的方法．另外注意方差性质的应用，如D(aX＋b)＝a2DX.跟踪训练1已知η的分布列为η010205060P 1325115215115(1)求方差；(2)设Y＝2η－Eη，求DY.命题角度2未知分布列求方差例2某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种(分别称为品种甲和品种乙)进行田间试验．选取两大块地，每大块地分为n小块地，在总共2n小块地中，随机选n小块地种植品种甲，另外n小块地种植品种乙．假设n＝4，在第一大块地中，种植品种甲的小块地的数目记为X，求X的分布列、均值及方差．反思与感悟(1)求离散型随机变量X的均值和方差的基本步骤①理解X的意义，写出X可能取的全部值．②求X取每个值的概率．③写X的分布列．④求EX，DX.(2)若随机变量X服从二项分布，即X～B(n，p)，则EX＝np，DX＝np(1－p)．跟踪训练2在一个不透明的纸袋里装有5个大小相同的小球，其中有1个红球和4个黄球，规定每次从袋中任意摸出一球，若摸出的是黄球则不再放回，直到摸出红球为止，求摸球次数X的均值和方差．类型二方差的实际应用例3某投资在2017年年初准备将1 000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择：项目一：新能源汽车．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，且这两种情况发生的概率为79和29.项目二：通信设备．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能亏损30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为35，13和115.针对以上两个投资项目，请你为投资选择一个合理的项目，并说明理由．反思与感悟均值体现了随机变量取值的平均大小，在两种产品相比较时，只比较均值往往是不恰当的，还需比较它们的取值的离散型程度，即通过比较方差，才能做出更准确的判断．跟踪训练3甲、乙两名射手在一次射击中的得分分别为两个相互独立的随机变量ξ与η，且ξ，η的分布列为(1)求a ，b 的值；(2)计算ξ，η的均值与方差，并以此分析甲、乙的射击技术状况．1．已知随机变量X 的分布列为X －1 0 1 P121316则下列式子：①EX ＝－13；②DX ＝2327；③P (X ＝0)＝13.其中正确的个数是()A ．0B ．1C ．2D ．32．已知随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝13(k ＝1,2,3)，则D (3X ＋5)等于()A ．6B ．9C ．3D ．43．已知离散型随机变量X 的分布列如下表所示，若EX ＝0，DX ＝1，则a ＝________，b ＝________.X －1 0 1 2 Pa b c1124.有两台自动包装机甲与乙，包装质量分别为随机变量X ，Y ，已知EX ＝EY ，DX >DY ，则自动包装机________的质量较好．(填“甲”或“乙”)5．编号为1,2,3的三位学生随意入座编号为1,2,3的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的人数是ξ，求Eξ和Dξ.1．随机变量的方差反映了随机变量的取值偏离于均值的平均程度．方差越小，则随机变量的取值越集中在其均值周围；反之，方差越大，则随机变量的取值就越分散．2．随机变量的方差与样本方差的区别：样本方差是随着样本的不同而变化的，因此，它是一个变量，而随机变量的方差是一个常量．答案精析问题导学思考1EX ＝0×610＋1×110＋2×310＝710，EY ＝0×510＋1×310＋2×210＝710.思考2不能，因为EX ＝EY . 思考3方差．梳理(1)平均偏离程度均值DX (2)大小 题型探究例1解(1)由分布列的性质，知12＋14＋a ＝1，故a ＝14，从而X 2的分布列为(2)方法一由(1)知a ＝14，所以X 的均值EX ＝(－1)×12＋0×14＋1×14＝－14.故X 的方差DX ＝(－1＋14)2×12＋(0＋14)2×14＋(1＋14)2×14＝1116.方法二由(1)知a ＝14，所以X 的均值EX ＝(－1)×12＋0×14＋1×14＝－14，X 2的均值EX 2＝0×14＋1×34＝34，所以X 的方差DX ＝EX 2－(EX )2＝1116.(3)因为Y ＝4X ＋3，所以EY ＝4EX ＋3＝2，DY ＝42DX ＝11.跟踪训练1解(1)∵Eη＝0×13＋10×25＋20×115＋50×215＋60×115＝16，∴Dη＝(0－16)2×13＋(10－16)2×25＋(20－16)2×115＋(50－16)2×215＋(60－16)2×115＝384，(2)∵Y ＝2η－Eη，∴DY ＝D (2η－Eη)＝Dη＝4×384＝1 536. 例2解X 可能的取值为0,1,2,3,4， 且P (X ＝0)＝1C 48＝170，P (X ＝1)＝C 14C 34C 48＝835，P (X ＝2)＝C 24C 24C 48＝1835，P (X ＝3)＝C 34C 14C 48＝835，P (X ＝4)＝1C 48＝170.即X 的分布列为∴EX ＝0×170＋1×835＋2×1835＋3×835＋4×170＝2，DX ＝(0－2)2×170＋(1－2)2×835＋(2－2)2×1835＋(3－2)2×835＋(4－2)2×170＝47.跟踪训练2解X 的可能取值为1,2,3,4,5.P (X ＝1)＝15， P (X ＝2)＝45×14＝15， P (X ＝3)＝45×34×13＝15， P (X ＝4)＝45×34×23×12＝15， P (X ＝5)＝45×34×23×12×1＝15.∴X 的分布列为由定义知，EX ＝0.2×(1＋2＋3＋4＋5)＝3.DX ＝0.2×(4＋1＋0＋1＋4)＝2.例3解若按项目一投资，设获利X 1万元， 则X 1的分布列为∴EX 1＝300×79＋(－150)×29＝200(万元)．DX 1＝(300－200)2×79＋(－150－200)2×29＝35 000，若按项目二投资，设获利X 2万元， 则X 2的分布列为∴EX 2＝500×35＋(－300)×13＋0×115＝200(万元)．DX 2＝(500－200)2×35＋(－300－200)2×13＋(0－200)2×115＝140 000，∴EX 1＝EX 2，DX 1＜DX 2，这说明虽然项目一、项目二获利相等，但项目一更稳妥． 综上所述，建议该投资选择项目一投资．跟踪训练3解(1)由离散型随机变量的分布列的性质，可知a ＋0.1＋0.6＝1，所以a ＝0.3. 同理，0.3＋b ＋0.3＝1，所以b ＝0.4. (2)Eξ＝1×0.3＋2×0.1＋3×0.6＝2.3，Eη＝1×0.3＋2×0.4＋3×0.3＝2.Dξ＝(1－2.3)2×0.3＋(2－2.3)2×0.1＋(3－2.3)2×0.6＝0.81， Dη＝(1－2)2×0.3＋(2－2)2×0.4＋(3－2)2×0.3＝0.6.由于Eξ>Eη，说明在一次射击中，甲的平均得分比乙高，但Dξ>Dη，说明在平均得分相差不大的情况下，甲得分的稳定性不如乙，因此甲、乙两人射击技术水平都不够优秀，各有优势与劣势． 当堂训练 1．C2.A3.512144.乙5．解ξ的所有可能取值为0,1,3，ξ＝0表示三位同学全坐错了，有2种情况，即编号为1,2,3的座位上分别坐了编号为2,3,1或3,1,2的学生， 则P (ξ＝0)＝2A 33＝13；ξ＝1表示三位同学只有1位同学坐对了，则P (ξ＝1)＝C 13A 33＝12；ξ＝3表示三位学生全坐对了，即对号入座，则P (ξ＝3)＝1A 33＝16.所以ξ的分布列为Eξ＝0×13＋1×12＋3×16＝1.Dξ＝13×(0－1)2＋12×(1－1)2＋16×(3－1)2＝1.。