(A)
（B ）
(C)
(D)
图１
高一数学必修二
一、选择题（8小题，每小题4分，共32分）
１．如图１所示，空心圆柱体的主视图是（ ）
2．过点()4,2-且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线有 （ ）
(A)１条 （B ）２条 (C)３条 (D)４条
3．如图2，已知E 、F 分别是正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱BC ，CC 1的中点，设α为二面角D AE D --1的平面角，则αsin ＝（ ）
(A)
3
2 （B ）
3
5
(C) 32
(D)3
22
图２
4．下列命题中错误．．
的是( ) A ．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β B ．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β C ．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，l =βα ，那么l ⊥平面γ D ．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β
5．将一张画有直角坐标系的图纸折叠一次，使得点)2,0(A 与点B(4,0)重合．若此时点)3,7(C 与点),(n m D 重合，则n m +的值为（ ）
(A)531 (B) 532 (C) 5
33
(D)
5
34
二、填空题（6小题，每小题4分，共24分）
6．如图，在透明塑料制成的长方体1111D C B A ABCD -容器内灌进一些水，将容器底面一边BC 固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四个说法：
①水的部分始终呈棱柱状；
②水面四边形EFGH 的面积不改变； ③棱11D A 始终与水面EFGH 平行； ④当1AA E ∈时，BF AE +是定值． 其中正确说法是 ．
7．四面体的一条棱长为x ，其它各棱长均为1，若把四面体的体积V 表示成关于x 的函数)(x V ，则函数)(x V 的单调递减区间为 ．
8．正六棱锥ABCDEF P -中，G 为侧棱PB 的中点，则三棱锥D -GAC 与三棱锥P -GAC 的体积之比GAC P GAC D V V --:＝ ．
三、解答题(4大题，共44分)
9．(本题10分)
如图所示，在直三棱柱111C B A ABC -中，︒=∠90ABC ，1CC BC =，M 、N 分别为1BB 、11C A 的中点.
（Ⅰ）求证：11ABC CB 平面⊥； （Ⅱ）求证：1//ABC MN 平面.
10．（本题12分）
已知四棱锥P-ABCD ，底面ABCD 是 60=∠A 、边长为a 的菱形，又ABCD PD 底面⊥，且PD=CD ，点M 、N 分别是棱AD 、PC 的中点．
（1）证明：DN ⊥
二、填空题（6小题，每小题4分，共24分）
9． 111或-=z ； 10． ①③④； 11． ⎪⎪⎭
⎫
⎢⎣⎡3,26 ；
12． 30x y +=； 13． 150°； 14． 2：1．
三、解答题(4大题，共44分)
15．(本题10分)已知直线l 经过点)5,2(-P ，且斜率为4
3
-. （Ⅰ）求直线l 的方程；
（Ⅱ）求与直线l 切于点（2，2），圆心在直线110x y +-=上的圆的方程.
解析：（Ⅰ）由直线方程的点斜式，得),2(4
3
5+-
=-x y 整理，得所求直线方程为.01443=-+y x
……………4分
（Ⅱ）过点（2，2）与l 垂直的直线方程为4320x y --=，
……………5分
C
A
由110,4320.x y x y +-=⎧⎨--=⎩
得圆心为（5，6），
……………7分
∴半径22(52)(62)5R =-+-=， ……………9分
故所求圆的方程为22(5)(6)25x y -+-=． ………10分
16．(本题10分) 如图所示，在直三棱柱111C B A ABC -中，︒=∠90ABC ，1CC BC =，
M 、N 分别为1BB 、11C A 的中点.
（Ⅰ）求证：11ABC CB 平面⊥； （Ⅱ）求证：1//ABC MN 平面.
解析：（Ⅰ）在直三棱柱111C B A ABC -中，
侧面C C BB 11⊥底面ABC ，且侧面C C BB 11∩底面ABC =BC ， ∵∠ABC =90°，即BC AB ⊥，
∴⊥AB 平面C C BB 11 ∵⊂1CB 平面C C BB 11，∴AB CB ⊥1. ……2分
∵1BC CC =，1CC BC ⊥，∴11BCC B 是正方形，
∴11CB BC ⊥，∴11ABC CB 平面⊥. …………… 4分 （Ⅱ）取1AC 的中点F ，连BF 、NF . ………………5分 在△11C AA 中，N 、F 是中点，
∴
1//AA NF ,
12
1AA NF =
，又∵
1//AA BM ,
12
1AA BM =
，∴
BM NF //,BM NF =，………6分
故四边形BMNF 是平行四边形，∴BF MN //，…………8分
而BF ⊂面1ABC ，MN ⊄平面1ABC ，∴//MN 面1ABC ……10分
17．(本题12分)已知圆0422
2
=+--+m y x y x .
(1)此方程表示圆，求m 的取值范围；
(2)若(1)中的圆与直线042=-+y x 相交于M 、N 两点，且ON OM ⊥ (O 为坐标原点)，求m 的值；
(3)在(2)的条件下，求以MN 为直径的圆的方程． 解析：(1)方程0422
2=+--+m y x y x ，可化为 (x －1)2
＋(y －2)2
＝5－m ， ∵此方程表示圆， ∴5－m ＞0，即m ＜5.
(2)⎩⎪⎨
⎪⎧
x 2
＋y 2－2x －4y ＋m ＝0，x ＋2y －4＝0，
消去x 得(4－2y )2＋y 2
－2×(4－2y )－4y ＋m ＝0， 化简得5y 2
－16y ＋m ＋8＝0.
设M (x 1
，y 1
)，N (x 2
，y 2
)，则⎩⎪⎨⎪⎧
y 1
＋y 2
＝16
5
， ①y 1y 2
＝m ＋8
5
. ②
由OM ⊥ON 得y 1y 2＋x 1x 2＝0， 即y 1y 2＋(4－2y 1)(4－2y 2)＝0， ∴16－8(y 1＋y 2)＋5y 1y 2＝0. 将①②两式代入上式得 16－8×165＋5×m ＋85＝0，解之得m ＝8
5.
(3)由m ＝85
，代入5y 2
－16y ＋m ＋8＝0，
化简整理得25y 2
－80y ＋48＝0，解得y 1＝125，y 2＝45.
∴x 1＝4－2y 1＝－45，x 2＝4－2y 2＝125. ∴M ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－45，125，N
⎝ ⎛⎭
⎪⎫125，45，
∴MN 的中点C 的坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫45，85.
又|MN |＝
⎝ ⎛⎭⎪⎫125＋452＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫45－1252＝855， ∴所求圆的半径为45
5
.
∴所求圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －452＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －852＝16
5
.
N
M
B
P
D C
A
18．（本题12分）已知四棱锥P-ABCD ，底面ABCD 是 60=∠A 、边长为a 的菱形，又ABCD PD 底面⊥，且PD=CD ，点M 、N 分别是棱AD 、PC 的中点．
（1）证明：
DN ⊥PMB DN PMB DN PMB MQ MQ
DN 平面平面平面////⇒⎪⎭
⎪
⎬⎫
⊄⊆ …
………………4分
（2） MB PD ABCD MB ABCD PD ⊥⇒⎭
⎬⎫⊆⊥平面平面
又因为底面ABCD 是 60=∠A ,边长为a 的菱形，且M 为AD 中点，
所以AD MB ⊥.又所以PAD MB 平面⊥.
.PAD PMB PMB MB PAD MB 平面平面平面平面⊥⇒⎭
⎬⎫
⊆⊥………………8分
（3）因为M 是AD 中点，所以点A 与D 到平面PMB 等距离.
过点D 作PM DH ⊥于H ，由（2）平面PMB ⊥平面PAD ，所以PMB DH 平面⊥．
故DH 是点D 到平面PMB 的距离.
.552
5
2a a a
a DH =⨯=所以点A 到平面PMB 的距离为a 55.………12分。