解析几何的经典结论点P 处的切线PT 平分△ PF 1F 2在点P 处的外角. PT 平分△ PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线 PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离 以焦点半径PF 为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切 22xyx)x y 0 y22=1上，则过P °的椭圆的切线方程是~2 ~2 1. aba b22第+打=1外，则过Po 作椭圆的两条切线切点为 P 、P 2,则切点弦P 1P 2的直线方程是辱+_^?=1.a 2b 2a 2b 2设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结 AP 和AQ 分别交相应于焦点 F 的椭圆准线于 MN 两点，_则MF 丄NF. 过椭圆一个焦点 F 的直线与椭圆交于两点 P 、Q, A 1、A 为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和氏Q 交于点MAP 和AQ 交于点N,则MF 丄NF.二、双曲线1. 点P 处的切线PT 平分△ PFF 2在点P 处的内角.2. PT 平分△ PF .F 2在点P 处的内角，则焦点在直线 PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交 .4.以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.(内切：P 在右支；外切：P 在左支)2 25.若F 0(X 0,y °)在双曲线 务…占=1 ( a> 0,b > 0 )上，则过F 0的双曲线的切线方程是 x -出^=1.a ba b22x y6.若P 0(x 0,y 0)在双曲线 —2=1 (a > 0,b > 0 )外，则过Po 作双曲线的两条切线切点为R 、P 2,则切点弦P 1P 2的直线a b方程是彎一智九有关解析几何的经典结论、椭 圆1.2.3.4. 5.6.7. 8. 9.10.11.12.13.x 2 y 2椭圆2=1 (a > b> 0)的左右焦点分别为 F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点.F 1PF^ '■，则椭圆的焦点角形的面积为b 2122 =b ta n 22y_2a 2 SF 1PF 2 X 2 椭圆二 2 =1 ( a> b > 0)的焦半径公式：a b I MF 1 | = a ex o , IMF 2 | = a - ex o ( F,-c,0) , F 2(c,0) M (x °, y °)).若F 0(x °, y °)在椭圆若F 0(x °, y °)在椭圆 2 2AB 是椭圆x匕2 . 2a b=1的不平行于对称轴的弦， M (x 0, y 0)为AB 的中点，_则k OM k AB =b 2即K ABb x °2a y °F 0(x °, y °)在椭圆__2x y x)x y 0y x 0 22 =1内，则被Po 所平分的中点弦的方程是~2 - b a b 2 _ a 2F 0(x °, y °)在椭圆 2x ~~2a2 22 ■占 二1内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是 —2 ■ ^2b 2a 2b 2X 0X y °ya 2b 2a b2 2X y双曲线 T 2 =1( a>0,b >o)的左右焦点分别为F 1,F 2,点P 为双曲线上任意一点.F ,PF 2二，则双曲线的焦点角a b2光 形的面积为S F 1PF 2=b 2cot?.2 2X y 双曲线 r 2 =1(a>0,b >o)的焦半径公式：(R(—C,0) , F 2(C,0) a b当 M(X 0,y °)在右支上时，|MF j |=ex 3 a , | MF ? | 二 ex j - a .当 M (x °, y °)在左支上时，| MF 1 | = —ex j ■ a , | MF 2 | = - ex o - a 设过双曲线焦点 F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点 F 的双曲线准线于 M N 两点，则 MF 丄NF.过双曲线一个焦点 F 的直线与双曲线交于两点 P 、Q, A 、A 为双曲线实轴上的顶点， AP 和AQ 交于点M, AP 和AQ 交于点N,贝U MF 丄NF.2 2b 2XAB 是双曲线一2…与=1 ( a > 0,b > 0)的不平行于对称轴的弦， M (X 0,y 0)为AB 的中点，贝U K OM K AB -=■a bK b 2x o AB 2。
a y c7.8.9.10.11.12. 13. 1.2. 3.4.2，即 ay °若F 0(x 0, y 0)在双曲线若F 0(x o ,y o )在双曲线2x a2x ~~2 a2每 =1 ( a> 0,b > 0)内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2- ba22 2y x y2 =1 (a> 0,b > 0)内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是 2bab椭圆与双曲线的对偶性质--(会推导的经典结论)X 0X y ° yb 2 2_ X02ab 22y 。
b 22 2 椭圆冷.為=1a b2轨迹方程是一2=1. a b 22x y 过椭圆一22=1 (a > 0, ba bb 2x向且k BC厂(常数).(a> b > o) 2y_b 2x2若P 为椭圆—-a 2b a -c设椭圆 的两个顶点为 A ,(-a,0) , A(a,0)，与y 轴平行的直线交椭圆于P 、P 2时AP 与A 2P 2交点的>0)上任一点A(X 0,y °)任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于 B ,C 两点，则直线BC 有定乂2 =1 (a> b>0)上异于长轴端点的任一点,F i, F 2是焦点，乙PF |F 2 =〉PF 2F 1 =:,则CL P =tan co t .2 222令y2=1 ( a> b > 0)的两个焦点为F 1、F 2,P (异于长轴端点)为椭圆上任意一点，在厶PFF 中，记/ F 1PF 2= :■a bPF 1F 2八，证卩二， 则有sin «sin ：2 2若椭圆X2-y2 =1 ( a>b > 0)的左、右焦点分别为F 1、F 2,左准线为L,则当0v e w 、2-1时，可在椭圆上求一点P,a b使得PF 是P 到对应准线距离d 与PR 的比例中项.22x VP 为椭圆1( a > b > 0 )上任一点尸讣2为二焦点，a 2b 22a-|AF 2|」PA| - | PF 1 2a ■ | AF 1 |,当且仅当A, F 2, P 三点共线时，等号成立b2日(a >b >0)的长轴两端点，P是椭圆上的一点」PA^:,PBA二-BPA 二，在右准线I 上，且BC _ x 轴，则直线AC 经过线段EF 的中点.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直5.6.7.8.9.10.11.12.13. 14.15.为椭圆内一定点，(X -X 。
) a 22 2 -(V一 V°)=1 与直线 Ax By C ^O 有公b 2点的充要条件"2 2A a2 22B b _(Ax 。
BV 0 C).22已知椭圆一2 V" =1( a > b> 0), O 为坐标原点，P 、Q 为椭圆上两动点，且OP I OQ . (1) ab11+2|OP| |OQ|1 .; 一 2 ;(2) |OP|2+|OQ|2的最大值为4a 2b 2 a 2b(3)S OPQ 的最小值是a 2b 22 2X V 过椭圆 二 2 =1( a > b> 0)的右焦点ab |PF | F 作直线交该椭圆右支于 M,N 两点，弦MN 勺垂直平分线交x 轴于P,则|MN | 2a 2-b 2b 2=1 ( a > b> 0)a 2 -b 2(1)|PF 1 ||PF 2 卜 <a22xV二2.2a bb 21 cos^,A 、B 、是椭圆上的两点，线段AB 的垂直平分线与 x 轴相交于点P(X 0,0),则b > 0 )上异于长轴端点的任一点,F 1、F 2为其焦点记/ F-| PF 2，则.⑵ S PF 1F 2=b 2ta ny2 2设A 、B 是椭圆笃-亘ae 分别是圆的半焦距离心率，则有(1)| PA | = 22ab 冋和 1.(2 tanouan0=1 — e 2.(3)a 2 -c 2cos 2S P AB 2 b^222a b -a 2cot . 已知椭圆2x_y_ 22 =1( a > b>0)的右准线I 与x 轴相交于点E ， a b过椭圆右焦点F 的直线与椭圆相交于 A 、B 两点，点C:::xo设P 点是椭圆(a >16.椭圆焦三角形中，内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数(注：在椭圆焦三角形中，非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.)双曲线双曲线二 2 =1(a>0,b >0)的两个顶点为 A(-a,0), A 2(a,0)，与y 轴平行的直线交双曲线于 R 、P ?时APa b— 2x y12 , 2 - 1.b仕 c -a a PPF 2F 1 = ，贝U tan cot —c + a 2 22.2 2过双曲线xL2,2a b=1 (a> 0,b >0)上任一点 A(x 0, y 0)任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于 B,C 两点，则直线3.BC 有定向且k BC 二叹(常数).2a y 。
若P 为双曲线2 y22二1(a > 0,b > 0)a b右(或左)支上除顶点外的任一点,F 1, F 2是焦点，乂卩斤卩2=04.2 2x y设双曲线2 =1 ( a > 0,b > 0)的两个焦点为F 1、 b 2F 2,P (异于长轴端点)为双曲线上任意一点，在△PF 1F 2中，记5.6.7. 8.F 1PF 2 二:,-PRF 2 =2, • £F 2P，则有c—-~ ———二 e .-(sin -sin :) a2若双曲线 冷一丫了 =1 ( a>0,b >0)的左、右焦点分别为 F 1、F 2，左准线为L ，则当1 < e<2 1 时，可在双曲线a 2b 2'上求一点P,使得PF 1是P 到对应准线距离d 与PF 2的比例中项.2 2=1( a > 0,b > 0)上任一点,F 1,F 2为二焦点，A 为双曲线内一定点，则|AF 2|-2a 乞|PA| •〔PF 」a b当且仅当 代F 2,P 三点共线且P 和A,F 2在y 轴同侧时，等号成立.2双曲线—斜1 (a >0,b >0)与直线Ax.By 。