解析几何基本结论理论1、2设P （x °,y °）为抛物线y =2px,（p . 0）上一定点，PA 、PB 为它的任意两条弦,宀，2分别是PA 、PB 的倾斜角，则（1 ）当tan:1 tan 〉2二定值t 时，直线AB 过定点2）当tan:-1 - tan:• 2二定值t 时，直线 AB 过定点（注意：这里，我把（％ • y 2）和y i y 2看成是两个参数团，只要找到这两个参数团的关系, 从而把两个参数团减少为一个，就可以得到定点问题。

对于（i ），我们可以得到下面的过程：对于（2），完全可仿照上面过程。

对于（3），则要麻烦一些。

由tant =tan （：^ ：■ 2）（先讨论tan ： i ,ta n ： 2,tan （〉i 匕辽）都 存在的情况），知道：2p2p y o y iy 。

y 22p （2y 。

％ y ?）tant22i _ 2p______ 2p y o +y °（y i 十丫2）十丫』2 —4py o y i y o y ?2p x0 …，- y o )；( X o2y o，一y或有定向k = P ； （ 3）当①亠二2二定值t 时，直线AB 过定点y oX o 一2% tant，一yo 2P tant ）或有定向 k = —P 。

y o证明思路：设 A （x i ,y i ）, B （x 2,y 2），则 k AB 二2p y i y 2所以 I AB ： y - y i = 2p (x_x i )化简：（％ ⑴-価2二2px(*)kPAkPB2p 2py o y i y o y ? 2y oy o (y iy ?) yy4p 2F 面只需把--y 。

2 - y o (y iy 2)代入（*）即可。

k^■ k i = 0(「c 0,，= -1)。

TT设直线AB 上一点M ，满足BM = ■ MA ，证明线段PM 的中点在y 轴上;当'=1时，若点P 的坐标为（1,-1），求/ PAB 为钝角时点A 的纵坐标y 1的取值范 围。

对于椭圆也有类似的结论，但过于复杂，下面仅罗列几条简单结论。

1、设 P （X 0,y °）为椭圆可得这两个参数团的关系。

代入（*）即可。

考过的试题。

题1、（2005山东22）点A 、B 为抛物线y 2 =2px （ p . 0 ）上原点以外的两个不同的点, 直线OA 和OB 的倾斜角分别为 二打、二：2变化且二° 匕2为定值（0 ：：： V :::二）物线交于A,B 两点。

当PA 、PB 的斜率存在且倾斜角互补时，证明直线 *y的斜率是非零常数。

题4、（ 2000北京春）点 A 、B 为抛物（p ・0 ）上原点以外的两个动点, OA _OB , OM _ AB ，求点 M 的 题5、（ 2005天津21）抛物线C 的方2y 二ax （a 0），过抛物线C 上一点Q O\xP （X °, y °）（X 。

= 0）作斜率为 k, k 2 的两条直线分别交抛物线 C 于 A(x 1, y 1)> B(x 2, y 2)两P 、A 、B 三点互不相同），且满(1)求抛物线C 的焦点坐标和准线方程;(2) (3)时，证明直线AB 恒过定点。

抛物线交于（P 0）上任一点P （x 0，y 0）（y 0 0）作两条直线与抛线 已 轨迹方程。

AB2 2斜率存在时，有k AB = - ~y °X 。

)；2X4、设P(x °,y 0)为双曲线-- a2笃=1(a 0,b 0)上一定点，PA 、PB 为它的任意两条b 2弦，〉i , 〉2分别是PA 、 PB 的倾斜角，则当tan ■ tan = 0时，直线AB 有定向b 2X o 2a y o5、设P(x 0, y 0)为双曲线2 X 2a2-y _=1(a 0,b 0)上一定点，PA 、PB 为它的任意两条 b 2弦，：\，〉2分别是PA 、PB 的倾斜角，则当tan -ta n 〉2 =T 时，直线 AB 过定点爲 =1(a . b . 0)上一定点， PA 、PB 为它的任意两条弦， 宀，：• 2分别是 bb 2xPB 的倾斜角，则当tan:-1 - tan:・2二0时，直线AB 有定向k厂0 ；a y 。

PA 、(1)求点A 、B 的坐标, 证明思路： 其中的k 换成一 k 即得B 的坐标。

设直线PA 的斜率为k ,则只需求出A 点的坐标，再把(2)把直线 | PA : y - y 02X = k(x-X 0)代入椭圆— a 2•爲=1，得关于X 的方程,b 2而这个方程的一个根已经知道是x =x 0 ,则另一个根可由韦达定理求得。

以下理论的证明类似。

2 x2、设P(x 0, y 0)为椭圆 二a2y 2 =1(a b 0)上一定点，PA 、PB 为它的任意两条弦,PA 、PB 的倾斜角，则当tan 〉1 tan 「2二-1时，直线 AB 过定点2,2 a …b '22a b2a X0 , - 2a-b 2 -b 2y o )；3、设P(X o ,y °)为椭圆2X~2a2爲=1(a b 0)上一定点,b 2PA 、PB 为它的任意两条弦, >i ，-2分别是PA 、PB 的倾斜角，则当tan ： i tan 2b 2脊时，直线AB 有定向(当ABax 2 y^a 2 (除去点(-a,O), (a,O))(等腰三角形、中位线)(见双曲线部分的证明)。

设F 1QF 2的内切圆为圆 M ，则Q 到圆M 的切线长为定值a-c ;2 2关于双曲线：设双曲线X - y 2 =1(a 0,b 0)，两焦点F i (-c,O)、F 2(C ,0)，点Q 在双a b曲线上，关于.F 1QF 2有如下性质: (1) F 1QF 2的内心记为M ，则x 轴于圆M 切于定点；(2)过焦点F 1作• F 1QF 2的角平分线的垂线，垂足为P ,则P 点的轨迹方程是2 2 2a ba ：:；-b )- 2 ,2 x 0 , — 2 ,2 yo 'a—b a —b2x 6、设P(x o ,y °)为双曲线—a2-爲=1(a ■ O,b ■ O)上一定点, bPA 、PB 为它的任意两条 弦,：-1,- 2分别是PA 、 PB 的倾斜角，则当tan :1 tan _：i 2b 2 2时，直线AB 有定向a(当AB 斜率存在时，有kABX o2 2理论2、设椭圆务 召=1(a b ■ 0)，两焦点RGc,。

)、a bF 2(C ,0)，点Q 在椭圆上，关于F 1QF 2 (常称焦点三角形)有如下性质:(1) 当点Q 为短轴端点时，.F J QF 2达最大。

证明思路：记QF^ m,QF 2二n ,则cos. F 1QF2/2『“二⑴ n)2—2mn — 4c22mn 2mn2 24b, _ 2b 2m n 严 n )22当m =n 时取得。

(2)过焦点F ,作.F ,QF 2的外角平分线的垂线，垂足为 P ，贝U P 点的轨迹方程是(3)x y = a (除去点(-a,O),(a,O))证明思路： 延长F i P ，交QF 2于点N ，则QF i =QN ，则NF ? =2a ，连接OP ，则|0P | 丄 NF 2 | = a 。

2 考过的试题:2x题1、( 2005辽宁21)已知椭圆 —aF 2 (c,0) (c 0)，Q 是椭圆外的动点，满足| F 1Q $ 2a ，点P 是线段F 1Q 与该椭圆的交点，点T 在线段F 2Q 上，并且满足PT TF 2 =0,|TF 2心0。

—■c (1 )设x 为点P 的横坐标，证明IRPUa x ；a(2)求点T 的轨迹C 的方程;Z F 1MF 2的正切值；若不存在，请说明理由。

(c 0)，且椭圆上存在点P ，使得直线PF |与直线PF 2垂直。

(1)求实数m 的取值范围；(2)设L 是相应于焦点F 2的准线，直线PF 2与L 相交于点Q ，若型』=2 - 3，求直|PF 2|线PF 2的方程。

理论3、设F 为圆锥曲线焦点，其相应准线为丨，作一直线交圆锥曲线于 A 、P 两点，交丨于 M ，贝U FM 平分• AFP (或其外角)。

推论1、设过圆锥曲线焦点 F 作一直线与圆锥曲线相交于 P 、Q 两点，A 为圆锥曲线除2•当=1( a ■ b ■ 0)的左、右焦点分别是 F^-c,。

)与b(3) 试问：在点T 的轨迹C 上，是否存在点2，使.F 1MF 2的面积S = b ,若存在，求2题2、( 2004全国IV 卷21)设椭圆—y 2 = 1的两个焦点是 F 1 (-c,0)与F 2(C,0)P、Q外任一点，连结AP、AQ分别交相应焦点F的准线L于M、N两点，则.MFN =90。

2 2推论2、椭圆笃•爲=1(a . b ■ 0)的右准线丨与x轴的交点为A , Q是椭圆右准线丨上a b异于点A的任意一点，A,、A2分别是椭圆的左右顶点，直线QA「QA2与椭圆的另一个交点分别为M、N，则直线MN与x轴交于定点。