基本初等函数中学阶段（初高中）我们只要求掌握基本初等函数及其复合函数即可。

什么是基本初等函数？就是那些：幂函数（一次二次负一次）、指数、对数、三角等。

力求在这些具体函数中，运用函数的性质（奇偶性、周期、单调等的性质），掌握某些函数的特殊技巧。

一、一次函数初中的一个函数，Primary基本、简单而又很重要。

解析式：y=kx+b或y=ax+b，通常我们会这样设。

那么高中我们在什么地方会用到它呢？解析几何中我们会设直线；线性规划会有好多跟直线；也容易在函数里面作为条件表达一下……画出以下解析式的图像：要求快（1）y=x+1; (2)y=x-1 (3)y=-x+1 (4)y=-x-1 (5)x=1(6)y=1 (7)y=2x根据以下条件，设出一次函数的解析式：(1)直线经过(1,2)点(2)直线的斜率是2总结：两个参数主宰斜率和与y轴的交点位置。

因为两个参数，所以要有两个条件才能解得解析式。

二、二次函数二次函数的大部分内容在另外一个讲义里面已经讲述了，这里补遗强调一下。

十分重要的内容，属于幂函数中最重要的一类。

二次函数图象的应用与其最值问题是高考的热点，题型多以小题或大题中关键的一步的形式出现，主要考查二次函数与一元二次方程及一元二次不等式三者的综合应用，幂函数的内容要求较低，只要求会简单幂函数的图象与性质．1、二次函数的三种表示形式(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c，(a≠0)；(2)顶点式：y＝a(x－h)2＋k(顶点坐标为(h，k))；(3)双根式：y＝a(x－x1)(x－x2)(图象与x轴的交点为(x1,0)，(x2,0))求一元二次解析式:将题目有的条件表示一下，没有难度，过场的题目而已Eg：已知二次函数f(x)同时满足条件：(1)f(1＋x)＝f(1－x)；(2)f(x)的最大值为15；(3)f(x)＝0的两根平方和等于7.求f(x)的解析式．Ans：f(1＋x)＝f(1－x)知二次函数对称轴为x＝1.∴已知最大值和对称轴，用顶点式，设f(x)＝a(x－1)2＋15＝ax2－2ax＋15＋a.∵x21＋x22＝7 即(x1＋x2)2－2x1x2＝7∴4－2(15＋a)a＝7，∴a ＝－6.2、二次函数在特定区间上的最值问题EX ：函数y=x 2+4x+3在[-1,0]上的最大值是________,最小值是________.解析:y=x 2+4x+3=(x+2)2-1,对称轴x=-2,在[-1,0]的左侧,所以在[-1,0]上单调递增.故当x=0时,f(x)取最大值f(0)=3;当x=-1时,f(x)取最小值f(-1)=0. 答案:3 0进阶Eg ：(建议一做)：已知函数f(x)=-x 2+2mx+1-m 在0≤x ≤1时有最大值2, 求m 的值 (1)若(2b x a =-<=0) (2)若(0<2b x a =-<1) (3)若(2bx a=->=1) key:m=-1 or m=2 解析：每种情况分别画出草图。

原草图作法：求根得到与x 轴的交点，c 与y 轴的交点，a看开口，估计着画。

但是这里m 为参数解不出根，c 也未知。

题目的条件是固定区间的最值，我们只要知道定义域内的增减性（单调性）即可，由于已经知道开口向下，所以只要分类讨论对称轴的位置即可。

123问分别是分类讨论的三种情况进阶Ex ：已知f(x)=x 2+3x-5,x ∈[t,t+1],若f(x)的最小值为h(t),写出h(t)的表达式.解析：所求二次函数解析式（所以图像也）固定,区间变动,可考虑区间在变动过程中,二次函数的单调性,从而利用二次函数的单调性求函数在区间上的最值.()()()()()()()()22 [],x 1t 1,t ,h t f t 1t 13t 15,h 3,23551.2223533291,.2222t t 5t 24t t ,h t t t f -⎛⎫-- ⎪⎝=+-=+=+++-=+-<=⎭⎛⎫-<+---=- ⎪⎝⎭Q 解如图所示函数图象的对称轴为当≤即≤时即≤当≤即≤时()()()22232551,22953(),3t ,h t f t t 3t 54223..352t t t h t t t t t -⎧⎛⎫+-- ⎪>==+⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫=--<-⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫+->-⎪ ⎪⎭⎩-⎝当时≤综上可得≤3、方法技巧：待定系数法，恒成立问题之分离变量Eg/Ex:已知二次函数f(x)满足f(x ＋1)－f(x)＝2x ，且f(0)＝1. (1)求f(x)的解析式；(2)在区间[－1,1]上，函数f(x)的图象恒在直线y ＝2x ＋m 的上方，求实数m 的取值范围． ()()()()2222222min 1(0)(1)(1)112221.1.111[1,1]112231.1(3)2121.f x ax bx a a x b x ax bx x a b b a f x x x a b b x x x x m x x m x x x m m ≠+=+=⎧⎧⎨⎨++==-⎩⎩∈>><<设函数＝＋＋， ∵f(x+1)-f(x)=2x 带入假设的解析式则＋＋＋＋＝＋＋＋，整理得，解得所以＝－＋当－时，由－＋＋，得－－当＝时，－＝－【解析】，所以－－，则－故实数(1)m ∞的取值范围是－，－．Ex ：若函数f(x)是一次函数，且f[f(x)]＝4x ＋3，且f(1)=3。

X^2+m+2>f(x)在R 上恒成立（1）求f(x)的解析式；(2)求m的取值。

Key:f(x)=2x+1;m>0三、幂函数解析式()af x x，当a=1时，一次函数；当a=2时，二次函数；当a=-1时，反比例函数；当a=12时，y=x。

幂函数只要求掌握a为某些特殊值的时候的图象即可。

幂函数性质的推广(1)一般地,当α>0时,幂函数y=xα有下列性质:①图象都通过点(0,0),(1,1);②在第一象限内,函数值随x的增大而增大【也就是x>0单调递增咯】③在第一象限内,α>1时,图象是向下凹的;0<α<1时,图象是向上凸的;④在第一象限内,过(1,1)点后,图象向右上方无限伸展.(2)当α<0时,幂函数y=xα有下列性质:①图象都通过点(1,1)②在第一象限内,函数值随x的增大而减小,图象是向下凹的;【也就是x>0单调递减咯】③在第一象限内,图象向上与y轴无限地接近,向右与x轴无限地接近;④在第一象限内,过(1,1)点后,|α|越大,图象下落的速度越快.1、看指数判断图象前人归纳的结论：幂函数的图象一定会出现在第一象限，一定不会出现在第四象限，是否在第二、三象限内出现，要看奇偶性；在(0,1)上幂函数中指数愈大，函数图象愈靠近x轴(简记“指大图低”)在(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴．Eg：如上图，为幂函数y＝x^n在第一象限的图象，则C1、C2、C3、C4的大小关系为( ) A．C1>C2>C3>C4B．C2>C1>C4>C3C．C1>C2>C4>C3 D．C1>C4>C3>C2【解析】观察图形可知，C1>0，C2>0，且C1>1，而0<C2<1，C3<0，C4<0，且C3<C4. 【答案】 CEx:如上图是幂函数y＝xm和y＝xn在第一象限内的图象，则()A．－1<n<0<m<1 B．n<－1,0<m<1C．－1<n<0，m>1 D．n<－1，m>1 key:A2、比较大小---利用幂函数的单调性比较大小要注意以下几点：(1)将要比较的两个数都写成同一个函数的函数值的形式． (2)构造的幂函数，要分析其单调性．(3)注意两个函数值要在同一个单调区间上取到．(4)若直接不易比较大小，可构造中间值，间接比较其大小．（中间值通常选用0、1）3、幂函数的概念（补加的）()()()()()()221(2)1234m m f x m m x m f x ＋－已知＝＋，实数为何值时，是：正比例函数；反比例函数；二次函数；幂函数．()()()()2222201112011112m m f x m m m m m f x m m m ⎧+≠⎪⎨+-=⎪⎩⎧+≠⎪⎨+-=-⎪⎩若是正比例函数，则，解得＝；若是反比例函数，则，解得＝－；()()()()2222011312211 2.34m m f x m m m f x m m m ⎧+≠-±⎪⎨+-=⎪⎩若是二次函数，则，解得＝若是幂函数，则＋＝，解得＝－()221Ex :(21)m m f x m m x m ＋－已知函数＝＋＋是幂函数且其图象过坐标原点，则实数＝____22211()2.10(a 0)m m m m m ⎧++=⎪⎨+->>⎪⎩幂函数【解前面的系数是1由题设知，解得＝－过原点析就是】四、指数函数指数函数是高中新学的，反应相同的底数a被自乘x次的结果。

同时它也是理解对数函数的基础。

1、指数运算能力*根式的性质：n a=；当n为奇数时，a=；当n为偶数时，(0)||(0)a aaa a≥⎧==⎨-<⎩．（2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：0,,,mna a m n N+=>∈且1)n>．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂：1()0,,,m mn na a m n Na-+==>∈且1)n>．0的负分数指数幂没有意义．注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)r s r sa a a a r s R+⋅=>∈如果是除法就相减咯。

②()(0,,)r s rsa a a r s R=>∈③()(0,0,)r r rab a b a b r R=>>∈解决此类问题的关键是利用幂指式的运算性质,将根式与指数幂互化.一般地,进行指数幂的运算时,化负指数为正指数,化根式为分数指数幂,便于利用幂的运算性质,化繁为简.121121333225:(3)(4)6EG a b a b a b----⎛⎫-⎪⎝⎭÷g1111311316222222513555(2).232444a b a b a b a b a b bb-----⎛⎫=--=-=-=-⎪⎝⎭÷⨯⨯原式1212317:(0.027)21);79ex--⎛⎫⎛⎫-+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1132272510572149145.1000933-⎛⎫⎛⎫=-+-=-+-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭原式2、图像性质：()xf x a=自变量在指数的位置，注意跟幂函数()af x x=区别(1)指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数大小的关系如图所示,则0<c<d<1<a<b.在y 轴右侧,图象从上到下相应的底数由大变小;在y 轴左侧,图象从下到上相应的底数由大变小;即无论在y 轴的左侧还是右侧,底数随逆时针方向变大. *另记，作x=1，从下往上，底数从小到大3、比较大小比较0.7a 与0.8a 的大小。