基本初等函数和函数的应用知识点总结
一、指数函数
（一）指数与指数幂的运算
1．根式的概念：一般地，如果a x n
=，那么x 叫做a 的n 次方根，
其中n >1，且n ∈N *
．
◆ 负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作00=n 。

当n 是奇数时，a a n n =，当n 是偶数时，⎩⎨⎧<≥-==)
0()
0(||a a a a a a n n
2．分数指数幂
正数的分数指数幂的意义，规定：
)
1,,,0(*>∈>=n N n m a a a
n m n
m ，
)1,,,0(1
1*>∈>=
=
-
n N n m a a a
a
n
m
n
m n
m
◆ 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 3．实数指数幂的运算性质
（1）r a ·s r r a a +=),,0(R s r a ∈>； （2）rs
s r a a =)( ),,0(R s r a ∈>； （3）
s
r r a a ab =)(),,0(R s r a ∈>． （二）指数函数及其性质
1、指数函数的概念：一般地，函数)1,0(≠>=a a a y x
且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R ．
注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1． 因为负数对一些分数次方无意义，0的负数次方无意义。

对于指数函数)1a 0a (a )x (f ≠>=且，总有a )1(f =；
二、对数函数 （一）对数
1．对数的概念：一般地，如果N a x
=)1,0(≠>a a ，那么数x 叫做以．a 为底．．N 的对数，记作：N x a log =（a — 底数，N — 真数，N a log — 对数式）
说明：○1 注意底数的限制0>a ，且1≠a ；
○
2 x N N a a x
=⇔=log ； ○
3 注意对数的书写格式． 两个重要对数：
○
1 常用对数：以10为底的对数N lg ； ○
2 自然对数：以无理数 71828.2=e 为底的对数的对数N ln ． 指数式与对数式的互化
幂值 真数
（二）对数的运算性质
如果0>a ，且1≠a ，0>M ，0>N ，那么：
○
1 M a (log ·=)N M a log ＋N a log ； ○
2 =N M
a log M a log －N a log ； ○
3 n
a M log n =M a log )(R n ∈． 注意：换底公式
a
b
b c c a log log log =
（0>a ，且1≠a ；0>c ，且1≠c ；0>b ）．
利用换底公式推导下面的结论
（1）b m
n
b a n a m log log =
；
（2）a b b a log 1log =． （二）对数函数
1、对数函数的概念：函数0(log >=a x y a ，且)1≠a 叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．
注意：○1 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。

○
2 对数函数对底数的限制：0(>a ，且)1≠a ．
（三）幂函数
1、幂函数定义：一般地，形如α
x y =)(R a ∈的函数称为幂函数，其中α为常数． 2、幂函数性质归纳．
（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义并且图象都过点（1，1）； （2）0>α时，幂函数的图象通过原点，并且在区间),0[+∞上是增函数．特别地，当1>α时，幂函数的图象下凸；当10<<α时，幂函数的图象上凸；
（3）0<α时，幂函数的图象在区间),0(+∞上是减函数．在第一象限内，当x 从右边趋向原点时，图象在y 轴右方无限地逼近y 轴正半轴，当x 趋于∞+时，图象在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴．
函数的应用
一、方程的根与函数的零点
1、函数零点的概念：对于函数))((D x x f y ∈=，把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函
数))((D x x f y ∈=的零点。

2、函数零点的意义：函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 实数根，亦即函数
)(x f y =的图象与x 轴交点的横坐标。

即：方程0)(=x f 有实数根⇔函数)(x f y =的图象与x 轴有交点⇔函数)
(x f y =有零点．
3、函数零点的求法：
○
1 （代数法）求方程0)(=x f 的实数根； ○
2 （几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数)(x f y =的图象联系起
来，并利用函数的性质找出零点．
4.二次函数)0(2
≠++=a c bx ax y ．
（1）△＞０，方程2
0(0)ax bx c a ++=≠有两不等实根，二次函数的图象与x 轴有两个交点，二次函数有两个零点．
（2）△＝０，方程20(0)ax bx c a ++=≠有两相等实根，二次函数的图象与x 轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．
（3）△＜０，方程20(0)ax bx c a ++=≠无实根，二次函数的图象与x 轴无交点，二次函数无零点．
5.确定零点在某区间(),a b 个数是唯一的条件是:①()f x 在区间上连续，且()()0f a f b <②在区间(),a b 上单调。

6、二分法的定义
对于在区间[a ，]b 上连续不断，且满足()()0f a f b ⋅<的函数)(x f y =，通过不断地把函数)(x f 的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
7、二分法的条件()f a ·()f b 0<表明用二分法求函数的近似零点都是指变号零点。