第一讲 有理数的定义【知识网络】⎧⎪⎨⎪⎩有理数的定义与分类有理数的定义数轴与相反数绝对值模块一：有理数的定义与分类【引例】1. 小明的姐姐在银行工作，她把存入3万元记作+3万元，那么支取2万元应记作_______,-4万元表示________________．2. 向东行进-50m表示的意义是……………………………………………………〖 〗A．向东行进50mB．向南行进50m C ．向北行进50m D．向西行进50m3. 任意写出5个正数：____________________；任意写出5个负数：_____________________．【知识导航】1. 正、负数的概念（1） 正数： 的数叫做正数。

小学算术中学过的数（除了0）都是正数。

如：3，0.78，611，200％（也可写作+3，+0.78，611+）等是正数。

它们都比0大。

（2） 负数：在正数前面加上“－”（读作“负”）号的数，叫做负数。

如：－33，－3.141592，45-等是负数。

它们都比0 。

2. 有理数的分类正整数、零和负整数统称 ，正分数和负分数统称 。

整数和分数统称 。

（数学上，有理数是两个整数的比，通常写作b a，这里 b 不为零。

分数是有理数的通常表达方法，而整数是分母为1的分数，当然亦是有理数。

）（1）按整数分数关系分类 （2）按正数、负数与0的关系分类3. 生活中的有理数具有相反意义的两个量规定其中一个用正数表示，另一个量就用负数来表示，到底用正数，还是用负数来表示其中的一个量，只是我们的一种规定，但也常遵守人们的习惯。

比如人们习惯用正数表示零上温度，用正数表示收入等。

1）如果汽车向西行驶150m ，记做+150m ，那么向东行驶55m ，就记做 m 。

2）零度以上的气温用 表示，零度以下的气温用 表示。

3）水面比警戒线高4m ，记做+4m ，比警戒线低4m ，记做 m 。

河流沿岸人们关注水位的升降，当水位为一个很大的正数，就要防洪；水位为一个很小的负数，就要抗旱。

【典型例题】例1.(1) 下列说法正确的是（ ）A. 整数，分数和负数称为有理数B. 有理数分为正有理数和负有理数C. 正整数都是整数，整数都是正整数D. 0是整数，也是自然数 (2)给出下列各数：-3，0，+5，213-，+3.1，21-，2004，+2008．其中是负数的有( ) A ．2个 B ．3个C ．4个D ．5个例2.下列说法是否正确？正确的打“√”，错误的打“×”，并说明理由。

（1）前进2km 记作+2km ，那么－5km 就表示后退－5km 。

（ ） （2）有理数中不是正数的数就是负数。

（ ）（3）有一种记法，80分以上如88分记为+8，某学生得分为74分，应记为－6分。

（ ） （4）负整数和非负整数统称为整数。

（ ）例3.下列结论中正确的是（ ）A. 0既是正数，又是负数。

B. 0是最小的正数。

C. 0是最大的负数。

D. 0既不是正数，也不是负数。

例4.数学考试成绩85分以上为优秀，以85分为标准，老师将某一小组五名同学的成绩简记为：+9，－4，+11，－7，0，则这五名同学的实际成绩分别为多少？例5．（1）下列说法中正确的是（ ）A ．非负有理数就是正有理数B ．零表示没有，不是自然数C ．正整数和负整数统称为整数D ．整数和分数统称为有理数（2）下列说法中不正确的是（ ）A ．-3.14既是负数，分数，也是有理数B ．0既不是正数，也不是负数，但是整数C ．-2000既是负数，也是整数，但不是有理数D ．O 是非正数（3）下列说法正确的是（ ）A 没有最大的正数，但有最大的负数；B 没有最小的负数，但有最小的正数；C 有最大的负整数，也有最小的正整数；D 有最小的有理数是0。

例6．把下列各数分别填在相应集合中：1，-0.20，513，325，-789，0，-23.13，0.618，-2004． 正数集合：{…}；负数集合：{ …}； 非正数集合：{…}；非负数集合：{…}．例7.一种零件的零件直径尺寸在图纸上的表示是3003.002.0+-（单位毫米）表示这种零件的标准尺寸是30毫米，加工要求最大不超过标准尺寸的 毫米例8.小李到银行共办理了四笔业务，第一笔存入120元，第二笔支取了85元，第三笔取出70元，第四笔存入130元．如果将这四笔业务合并为一笔，•请你替他策划一下这一笔业务该怎样做．【精练精学】1．在下列四组数(1)-3，2.3，41； (2)43，0，212； (3)311，0.3，7； (4) 21，51，2 中，三个数都不是负数的组是（ ）A ．(1)(2)B ．(2)(4)C ．(3)(4)D ．(2)(3)(4)2．给出下列说法：①0是整数；②312-是负分数；③4.2不是正数；④自然数一定是正数；⑤负分数一定是负有理数． 其中正确的有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．同学聚会，约定在中午12点到会，早到的记为正，迟到的记为负，结果最早到的同学记为＋3点，最迟到的同学记为-1.5点，•你知道他们分别是什么时候到的吗？最早到的同学比最迟到的同学早多少小时？4．在下表适当的空格里画上“√”号5．1. 把下列各数分别填在相应的大括号内：25，216-，－0.91，π，3.14，－7，0，－50，78，9。

（1）整数集合：{ …… } （2）分数集合：{ …… } （3）正整数集合：{ …… } （4）负整数集合：{ …… } （5）正分数集合：{ …… }（6）负分数集合：{ …… } （7）正有理数集合：{ …… } （8）负有理数集合：{ …… } （9）有理数集合：{ …… }6.下列说法正确的是（ ）A. 记向东行为正，－20km 表示向西－20kmB. 正有理数和负有理数统称为有理数C. 整数和分数统称有理数D. 温度上升2度记作+2度，则－3度表示零下3度7. 小于4的负整数有（ ）A. 无数个B. 3个C. 2个D. 4个8. 某粮店出售的三种品牌面粉，分别标有（2.5+-0.1）kg ，（2.5+-0.2）kg ，（2.5+-0.3）kg ，的字样，现从中任意拿出两个袋，它们的质量最多相差（ ）A. 0.4kgB. 0.5kgC. 0.6kgD. 0.8kg模块二：数轴与相反数【知识导航】1.在数学中，可以用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴(number axis),它满足以下要求:（1）在直线上任取一个点表示数0，这个点叫做原点（2）通常规定直线上从原点向右（或向上）为正方向，从原点向左（或向下）为负方向 （3）选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度去一个点，依次表示为1,2,3……；从原点向左，用类似方法依次表示1,2,3---，…… （4）我们把这种规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴 2.相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数(opposite number)（1）一般的，a a -和互为相反数。

这里，a 表示任意一个数，可以是正数、负数，也可以是0（2）特别的，0的相反数是0 （3）互为相反数的两数之和为0（4）互为相反数的两数在数轴上的对应点离原点距离相等。

【典型例题】例1.如下图所示，数轴中正确的是（ ）例2.把下列各数在数轴上表示出来，并且从小到大用“＜”连接起来：－2，132，0，14-，1，142-，152。

例3.（1）大于－5而不大于2的所有的整数是_______。

（2）在数轴上表示数2的点与表示数－5的点之间的距离是_______。

（3） 把在数轴上表示－1的点移动3个单位长度后，所得到对应点的数是_______。

（4）数轴上的A 点与表示－3的点距离4个单位长度，则A 点表示的数为 ． 例4. 求下列各数的相反数：（1）-5； （2）12； （3）0； （4）a3；（5）-2b ； （6）a b -； （7）a +2 例5. 化简下列各数中的符号：（1）--⎛⎝ ⎫⎭⎪213 （2）-+()5 （3）[]---()7（4）[]{}-+-+()3例6．下列语句中，正确的是（ ） A. 一个数的相反数比它本身小B. 一个数的相反数肯定与这个数的符号不同C. 一个数和它的相反数在数轴上对应的点，一个在原点左边，一个在原点右边D. 互为相反数的两个数在数轴上表示它们的点到原点的距离相等例7.下列各数中，互为相反数的是（ ）B－10 1ACDA.()--5与--5B.-3与+3C. ()--4与-4D. a 与-a例8.如图所示（1）点A 到点B 的距离是多少？ （2）点M 到A ，B 的距离之和是多少？（3）点M 在A ，B 之间移动时，M 到A ，B 的距离之和是多少？【精练精学】1．(1)下列图中为数轴是（ ）（2）在数轴上表示－212和123，并根据数轴指出所有大于-212而小于123的整数．2. 数a 、b 在数轴上的位置如图，比较,,,a b a b --四个数的大小3.（1）一个点从数轴上表示—2的点开始，向右移动4个单位长度，再向左移动5个单位长度，说明这时这个点表示的数．（2）数轴上与原点相距3个单位长度的点有几个？它们表示的数各是什么？4.(1)下列各对数中，互为相反数的有( )。

+(-3)与(-3)，+(+3)与-3，-(-3)与+(-3)，-(+3)与+(-3)，-(-3)与+(+3)，+3与(-3) A.3对 B.4对 C.5对 D.6对 (2)下列说法正确的是( )。

A.-41和0.25不是互为相反数。

B.-a 是负数。

C.任何一个数都有它的相反数。

D.正数与负数互为相反数。

（3）下列说法中正确的是（ ）A. π的相反数是-314. B. 符号不同的两个数一定是互为相反数 C. 若x 和y 互为相反数，则x y +=0 D. 一个数的相反数一定是负数（4） 一个数大于它的相反数，那么这个数是（ ） A. 负数 B. 正数C. 非负数D. 非正数5.(1)-3.85的相反数是 ,7.6是 的相反数,相反数是它本身的数的有 ；(2)借助数轴填写，比5小的正整数有 ；比—5大的负整数有 ．6.1 + 2 + 3 + … + 2013 + (－2)+ (－3) + … +(－2013)7.已知m 、n 互为相反数，试求：3222nm n m +-++的值．模块三：绝对值【知识导航】1.绝对值的定义：一般的，数轴上表示数a 的点与原点的距离叫做a 的绝对值(absolute value)，记作a 由绝对值的定义可知：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。

即：⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=0a a 0a 00a a a互为相反数的两数的绝对值相等。