• 3．2 固定效应模型 • 3．2．1 线性统计模型 • 在固定效应模型中， α i 是处理平均数与总平均数 的离差，是个常量，因而 • ∑α i=0 I=1，2，…，n （3．2） • 要检验 α 个处理效应的相等性，就要判断各 α i 是否都 等于 0 。若各 α i 都等于 0 ，则各处理效应之间无差异。 因此，零假设为： • HO： α 1=α 2=...=α α =0 • 备择假设为： • HA： α i≠0（至少有1个i） • 若接受H0，则不存在处理效应，每个观测值都是由总平 均数加上随机误差所构成。若拒绝H0，则存在处理效应， 每个观测值是由总平均数、处理效应及误差三部分构成 的。
自由度可以做同样的分割:自由度 dfT=an-1;A因素共有a水平，因而 dfA＝a－l；误差项有 α n－α 自由度，这是因为每一处理均有n － 1 自由度，共有 α 个处理，因而 dfe=α n－α 。为了估计 σ 2, 用 SSe除以相应的自由度 MSe=SSe/(an-a) （3．8） MSe称为误差均方（error mean sqare）。记MSA为处理均方， MSA=SSA/(α -1) （3．9） 3. 2. 3 均方期望与统计量F 可以由MSe的数学期望证明MSe是σ 2的无编估计量。误差均方反映 了随机因素所造成的方差的大小，它是σ 2的无偏估计量。对于处理 项来说，只有当零假设 HO：α 1=α 2= …=α i=0 成立时， MSa 才是 σ 2 的无偏估计量。当α i=0时，n/(α -1)∑α i2项等于 0，这时 E（MSA） ＝σ 2 ，因此用 MSA与MSe比较，就可以反映出α i的大小。若 MSA与 MSe相差不大，就可以认为各α i与 0的差异不大，或者说各处理平 均数（μ i）间差异不大。若 MSA比MSe超出很多，则认为μ i间差异 是显著的。为此，用 F上尾单侧检验。 F=MSA/MSe， （3．10） Fα ,(dfA，dfe)
• 第二类处理效应称为随机效应（random effect）， 它是由随机因素（random factor）所引起的效应。 若因素的α个水平，是从该因素水平总体中随机 抽出的样本，则该因素称为随机因素。从随机因 素α个水平所得到的结论，可以推广到这个因素 的所有水平上。在这里αi是一个随机变量，所检 验的是关于αi的变异性的假设。处理随机因素所 用的模型称为随机效应模型（random effect model）或者简单地称为随机模型（random medel）。例 8．2的动物窝别，是从动物所有可 能的窝别中随机选出来的，实验的目的是考查在 窝别之间出生重是否存在差异，因而“窝别”是 随机因素。
• 在表 3.5 中 SS: 平方和 , df: 自由度 , MS: 均方 F: 统计量 F 的计算值 P-value:概率 F crit: 在α 置信度和df 自由度的查表值。 • 由表3.5 中可以看出, F=42.27856 ,F crit=4.430717, F>F crit。因此，各 处理间差异极显著（α =0.01）。 习惯上用“* ”表示在α = 0.05水平上差 异显著，用“**”表示在 α ＝0.01水平上差异显著，常常称为差异“极显著” （highly significant）。
第三章 方差分析
第一节 单因素方差分析 3. 1方差分析的基本原理 3．1．1方差分析的一般概念 方差分析（analpeis Of vanance，ANOV）是一类特定情况下 的统计假设检验，或者说是平均数差异显著性检验的一种引伸。 t检验可以判断两组数据平均数间的差异显著性，而方差分析则 可以同时判断多组数据平均数之间的差异显著性。 当然，在多组数据的平均数之间做比较时，可以在平均数的 所有对之间做t检验。但这样做会提高犯I型错误的概率，因而是 不可取的。例如，我们打算用一对一对比较的方法检验5个平均 数之间的相等性，共需检验d=10对。假设每一对检验接受零假设 的概率都是1-α=0.95，而且这些检验都是独立的，那么 10对都接 受的概率是0.9510=0.5987，α`＝1-0.60=0.40，犯I型错误的概率明 显增加。用方差分析的方法做检验可以防止上述问题的出现。方 差分析的内容很广泛，上面讲到的那种情况是方差分析中最简单 的情况，称为单因素方差分析（one—factor analyss of vcriance） 或者称为一种方式分组的方差分析（one-- way classification analysis of vanance）。
• 3.2.4 方差分析的数据分析工具操作步骤 • 在例3.1中有5个处理，每个处理的重复次数相同 （可以不同，操作相同）为5。 • 操作步骤： • 1． 单击工具菜单中的数据分析 • 2． 双击分析工具列表中的“单因素方差分析”， 出现如图3.1 • 3 ． 选择各个选项，单击确定，计算结果如表 3.5 • 注意 分组方式指出重复处理的数据是以行或是 以列排列，本例（如图3.1）以列排列。 •
• 表3. 3 单因素方差分析的典型数据 X1 X2 X3……Xi……Xa 1 X11 X12 X13 Xi1 Xa 2 X12 X22 X32 Xi2 Xa2 3 X13 X23 X33 Xi3 Xa3 . . . . j X1j X2j X3j Xij Xaj . . . . . . n X1n X2n X3n Xin Xan 平均数 X1. X2. X 3. X i. X a . • • 表中的数据Xij，表示第i次处理下的第j次观测值。
例 3.1 调查了 5 个不同小麦品系的株高， 结果列于表 3.1 。判断这 5 个样本是否存 在差异。
表3.1 5个小麦品系株高（cm）调查结果 品 系 株号 I II III IV V 1 64.6 64.5 67.8 71.8 69.2 2 65.3 65.3 66.3 72.1 68.2 3 64.8 64.6 67.1 70.0 69.8 4 66.0 63.7 66.8 69.1 68.3 5 65.8 63.9 68.5 71.0 67.5 方差分析.xls
• 例3.2 为了探讨不同窝的动物出生重是否存 在差异，随机选取4窝动物，每窝中均有4只 幼仔，结果如下，通过对以上数据的分析， 判断不同窝别动物出生重是否存在差异。 • 窝 别 • 动物号 I II III IV •1 34.7 33.2 27.1 32.9 •2 33.3 26.0 23.3 31.4 •3 26.2 28.6 27.8 25.7 •4 31.6 32.3 26.7 28.0 • 方差分析.xls
• 当 F＜Fα 时，则可以认为 MSA 与 MSe 差异不大，产生的 变差是由随机误差造成的，n/(α -1)∑α i2 近于 0，接 受零假设，处理平均数之间差异不显著。当 F＞Fα 时， MSe,显著高于MSe，n/(α -1)∑α i2 项不再为0，拒绝零 假设，处理平均数间差异显著。 • 以上所述可以归纳成方差分析表，见表 3.4。 • 表3.4单因素固定效应模型方差分析表 • 变差来源 平方和 自由度 均方 F • 处理间 SSA α -1 MSA F=MSA/MSe • 误差 SSe α (n-1) MSe • 总和 SST nα -方差分析的基本思想，就是将总的变差分解为构成总变差的各个部分。对单因素 实验，总平方和（total sm of sqares）表示如下： • ∑∑(xij-x..)2 （3.3） • 其中 x..表示总体平均值。总平方和可以分解为处理平均数与总平均数之间离差的平 方和及处理内部观测值与处理平均数之间离差的平方和两部分。处理平均数与总平均 之间的离差，度量了处理之间的差异；而处理内部观测值与处理平均数之间的离差， 度量了随机误差的大小。 • 用SST表示总平方和， • SST=∑∑(xij-x..)2 (3. 4) • =∑∑((xij-x.i)+(x.i-x..))2 • = ∑∑(xij-x.i) 2 + ∑∑(x.i-x..))2 +2∑∑ (xij-x.i)(x.i-x..) • ∑∑ (xij-x.i)(x.i-x..)=∑(x.i-x..)∑(xij-x.i) • = n∑(x.i-x..) (x.i-x.i) • =0 • SSA 称 为 处 理 平 方 和 （ treatlnnts sm of apares） 或 称 为 处 理 间 平 方 和 （ sm of mpares betwee treaments）。 • SSA= n ∑(xi.-x..)2 (3．5) • 其中 xi. 表示 i处理的平均值。 • SSe 称 为 误 差 平 方 和 （ error sm of sqares） 或 称 为 处理 内 平 方 和 ( sm of sqares within treatment)。 • SSe=∑∑（xij-xi.）2 (3. 6) • 因此 • SST=SSA+SSe （3．7）
• 上述模型中，包括两类不同的处理效应。 • 第一类处理效应称为固定效应（fixed effect），它是 由固定因素（fixed factor）所引起的效应。若因素的 α 个水平是经过特意选择的，则该因素称为固定因素。 例如，实验者人为选定的几种不同实验温度、几种不同 化学药物或一种药物的几种不同浓度、几个作物品种以 及几种不同的治疗方案和治疗效果等。在这些情况中， 因素的水平是人为选定的，所检验的是关于 n 的假设， 因此温度、药物、浓度、品种等称固定因素。方差分析 所得到的结论只适合于选定的那几个水平，并不能将结 论扩展到未加考虑的水平上。处理固定因素所用的模型 称为固定效应模型（fixed effect model）或简单地称 为固定模型（fixed model）。例 3.1中的5个小麦品系 是特意选择的，目的是从这 5 个品系中，选出最优者， 因而“品系”这个因素属于固定因素，所使用的模型是 固定效应模型。
• 随机因素的水平是不能严格地人为控制的，在 水平确定之后，它的效应值并不固定。例如，在 研究农家肥不同施用量对作物产量的影响试验中， 农家肥是因素，不同施用量是该因素的不同水平， 作物的产量是它的效应值。由于农家肥的有效成 分很复杂，不能像控制温度那样，将农家肥的有 效成分严格地控制在某一个固定值上。在重复试 验时即使施以相同数量的肥料，也得不到一个固 定的效应值。即在因素的水平（施肥量）固定之 后，它的效应值（产量）并不固定，因而农家肥 是一随机因素。