多元方差分析
u22
H0: = ... = … = … =
up1
up2
பைடு நூலகம்
或H0:u1=u2=…=un
Ha: u1,u2,…,un不全相等
u1n u2n …
upn
MANOVA原理讲解
检验统计量的计算
单因子多元方差分析:
SSCPT= SH+SE 来源
df
自由度
SSCP ……
组间
k1
H
威尔克斯统 计量
组内
Nk
E
总和
Ab1
Aj1
Ag1
2
Ah2
Ab2
Aj2
Ag2
…
…
…
…
…
10
Ah10
Ab10
Aj10
Ag10
One-way MANOVA原始数据
N=n1+n2+…+ng p: 响应变量个数
One-way MANOVA举例
来自黑龙江、北京、江苏、广东4省的芦苇在光 合效率(A),叶片长度(B),开花时间(C)上有无显 著差异,每地各量测10株。
(Yij yi)2
i1 j1
SStreat
= 34
g
=
ni(yi
i1
y)2
= 160
MANOVA的SSCP计算示例
处理
观测值
高 Y1 5 3 Y2 4 6
中 Y1 1 1 Y2 3 1
低 Y1 6 5 Y2 5 9
样本 总均 均值 值向 向量 量
44 55
14 25
76 77
备选方法: 1 对各因变量分别进行单因素方差分析. 2 用Bonferroni修正的两两比较.
MANOVA实际操作 ——以SPSS16.0为例
潘璐
分析实例
为了研究某种疾病特征表现在不同年龄段患者中是 否有差异,对一批人同时测量了四个指标:
β脂蛋白(X1)、甘油三酯(X2)、α脂蛋白(X3)和前β脂 蛋白(X4),对人群按年龄分为低(10-25岁)、中(2540岁)、高(40---65岁)三组,分别对应编号1、2、3。 试验数据见表3.1,试做统计分析。
GLM Multivariate Analysis ——结果分析
• 结果显示,各反应变量服从正态分布。
GLM Multivariate Analysis ——SPSS操作
GLM Multivariate Analysis ——SPSS操作
GLM Multivariate Analysis ——结果分析
• Hotelling迹:检验矩阵特征根之和,值总比Pillai’s轨迹的 值大。与Pillai’s轨迹相似,值越大贡献越大;
• Roy最大根统计量:为检验矩阵特征根中最大值,因此它总 是小于或等于Hotelling轨迹。
当模型建立的前提条件不满足时,Pillai’s迹最为稳 健。
小结
MANOVA原理讲解
多元方差分析 (Multivariate Analysis of Variance)
第一组
第一部分:MANOVA原理讲解 ——古 牧
第二部分:MANOVA与ANOVA之比较 ——胡凤琴
第三部分:MANOVA实际操作(SPSS) ——潘 璐
第一部分 MANOVA原理讲解
古牧
问题的提出
•例 在温室中种植多年生草本大金鸡菊 (Coreopsis lanceolata),随机对其进行高 中低三个不同的营养(施肥)处理,考察不同 营养水平对种子数量和种子均重的影响。
• Technically, the math folks can’t figure out the sampling distribution of the F statistic in some multivarite cases.
MANOVA的4个检验统计量
1.Pillai’s trace Pillai’s trace = trace[H(H+E)-1]
何为多元方差分析?
MANOVA原理讲解
单因素检验的回顾
• t-检验:检验两个样本(k=2)的平均值差异程 度,适用于较大样本(两样本总量大于等于 30)。
• 方差分析(ANOVA):通过分解样本方差,比 较若干个(k>2)样本均值,检验不同的处理所 产生的效应的差异是否显著。方差分析被认 为是t-检验的推广。
N-1 SStotal
MANOVA表
来源 处理 误差 总
d.f. g-1 N-g N -1
SSCP H E T
统计显著与否的判断
ANOVA:通过比较计算的F值与查 临界值表的F值判断是否显著。
MANOVA:4个统计检验量; 没有与之相对的临界值表; 计算近似的F值,然后判断。
• The reason for 4 different statistics and for approximations is that the mathematics of MANOVA get so complicated in some cases that on one has ever been able to solve them.
2.Hotelling-Lawley’s trace Hotelling-Lawley’s trace = trace(HE-1)
3.Wilk’s lambda Wilk’s lambda = |E|/|H+E|
4.Roy’s largest root Roy’s largest root = max(λi) or the maximum eigenvalue of HE-1
ANOVA的原假设
H0:u1=u2=u3=u4 Ui 代表什么?
MANOVA的原假设
: = uA1
H0
uB1
uC1
= uA2
uB2 uC2
= uA3
uB3 uC3
uA4 uB4 uC4
uAi uBi 代表什么? uCi
ANOVA总平方和的分解
SSerror : SSwithin SStreatment: SSbetween, SShypothesis
(重复) 用ni表示各处理的重复数 N=n1+n2+…+ng
One-way ANOVA举例
芦苇(Phragmites australis)是广布种。欲检验产 于黑龙江、北京、江苏、广东4省的芦苇在光合效 率(A)上有无显著差异,每地各量测10株。
黑龙江(h) 北京(b) 江苏(j) 广东(g)
1
Ah1
多元方差分析的基本假设
• 各响应变量的联合分布为多元正态分布。 • 数据来自随机样本,观察值间独立。 • 每个样本的协方差矩阵均相同 • 响应变量间存在一定相关关系
MANOVA原理讲解
分析原理-多元方差分析-原假设
p个响应变量 n个因子水平
多元方差分析的统计原假设的向量形式如下:
u11
u12
u21
可以用多次的ANOVA检验 代替MANOVA检验吗?
适用情况比较:t-Test vs. Hotelling’s T2
ANOVA vs. MAVOVA
样本个数 k=2
响应变量个数
一個 (一元)
t-Test
超过一個 (多元)
Hotelling’s T2
k>2
ANOVA
MANOVA
MANOVA原理讲解
t-Test
ANOVA MAVOVA
目的
检验两组均值 是否差异
检验k组(k>2) 以上均值是
否有差异
检验k组间在 两个以上响 应变量间是
否有差异
自变量
响应变 量
一个 一个
一个或多个 一个或多个
一个
多个
MANOVA的强化理解 (与ANOVA作比较)
胡凤琴
One-way ANOVA的原始数据
处理水平个数(treatment levels)
• MANOVA过程各水平与各水平的平均值进行比较, 即Deviation对比(Deviation Contrast)。
GLM Multivariate Analysis ——SPSS操作
GLM Multivariate Analysis ——SPSS操作
正态性检验
GLM Multivariate Analysis ——SPSS操作
GLM Multivariate Analysis ——结果分析
(3)Levene’s检验
• Levene’s检验结果是按照自变量的取值水平组合,考察 每个反应变量在不同的水平组合间的方差是否齐性的方差 检验结果。上表表明4个变量的方差均齐。
(1)组间变量
• 组间变量(Between-Subjects Factors)为年龄,各自 的自变量取值水平对应的样本数分别为20、20、20。
GLM Multivariate Analysis ——结果分析
(2)Box检验
• Box检验是对于各组间协方差矩阵是否为齐性的检验。上 表 中 , Box 检 验 量 统 计 量 =22.461 , 换 算 后 F=1.008 , p=0.448,说明三组反应变量的协方差矩阵相等。
黑龙江(h) 北京(b) 江苏(j) 广东(g)
1
Ah1
Ab1
Bh1
Bb1
Aj1 Bj1
Ag1 Bg1
Ch1
Cb1
Cj1
Cg1
2
Ah2
Ab2
Aj2
Ag2
Bh2
Bb2
Bj2
Bg2
Ch2
Cb2
Cj2
Cg2
…
…
…
…
…