重积分复习题一、计算题1.设f 在(-∞,+∞)上连续,化重积分I=⎰⎰≤≤+1||||22)(x y dxdy y x f 为定积分。
2. 计算⎰⎰⎰Ω-++dxdydz z y x |1|222,其中Ω是由z=22y x +与z=1所围成的立体。
3. 求I=⎰⋂++-AnBxxdy x y e dx y e x )3sin ()cos (2,其中⋂AnB 是由A(0,2)沿右半圆周到B(0,0)的路径。
4. 求I=⎰⎰++SdS z y x )(,S :x 2+y 2+z 2=R 2(z ≥0)。
5.求曲线积分⎰=+--+22222)2sin 2(cos )(Ry x y x xydy xydx e ,其中闭曲线取正向。
6. 计算⎰⎰+S xyzdxdy ,其中S +为球面x 2+y 2+z 2=1的外侧,在x ≥0,y ≥0的部分。
7. ⎰⎰∑++dxdy z dzdx y dydz x 222,其中∑是立方体0≤x,y,z ≤a 表面的外侧。
8. 化以下第二型曲线积分为定积分(不计算定积分):I=⎰+Cxydy dx y 2,C 为曲线:14)2(9)1(22=-+-y x 上从点(1,4)到(4,2)的一段。
9. 计算⎰⎰++Sdxdy z dxdz y dydz x 333,其中S 为球x 2+y 2+z 2=a 2的外表面。
10. 试用格林公式计算I=⎰-++Cy dy ye x dx x xy )()sin 3(2之值,其中C 是曲线y=x 2-2x 上以O(0,0)为始点,A(4,8)为终点的曲线段。
11. 求⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-Ddxdy y x y x cos ,D 是由x+y=1,x 轴及y 轴围成的平面区域。
12.求由曲面z=22y x +,x 2-2x+y 2=0及平面z=0围成的立体之体积。
13.2)()2(y x ydydx y x +++是否为某个函数u 的全微分?若是求u(x,y)。
14. 计算:⎰⎰+-Ddxdy y x y x )cos()(,其中D 由0≤x-y ≤2π,0≤x+y ≤2π所围成。
15. 计算⎰⎰∑+++++dxdy z z y x f dzdx y z y x f dydz x z y x f ]),,([]),,(2[]),,([,其中f(x,y,z)为连续函数,∑为平面x-y+z=1在第四卦限部分的上侧。
16. 计算二重积分⎰⎰Dydxdy x 2,其中D 为由y 2=x ,y=x+2,x=0及x=2所围成的平面区域。
17. 求积分值I=⎰+Lds y n y x n x )],cos(),cos([ ,其中L 为包围有界区域D 的闭曲线,n为L 的外法线方向。
18.求曲线积分⎰=+--+22222)2sin 2(cos )(Ry x y x xydy xydx e ,其中闭曲线取正向。
19. 求:I=⎰⎰⎰++Vdv z y x )(222,其中V :x 2+y 2+z 2≤2z 。
z20. 应用斯托克斯公式计算dz y x dy x z dx z y L)()()(-+-+-⎰,其中L 是柱面x 2+y 2=a 2和平面1=+hza x (a>0,h>0)的交线,从OX 轴正向看去,按逆时针方向。
21. 求积分I=⎰10)(dx x f ,其中f(x)=⎰-x y dy e22。
22.计算:⎰++Czy x ds 222,其中C :x=acost ,y=asint ,z=bt ,0≤t ≤2π。
23. 计算三重积分⎰⎰⎰-Vdxdydz x y 21,其中V 由曲面y=-221z x --,x 2+z 2=1,y=1所围成。
24. 验证⎰-+-Ldy y x x y dx x y y x )sin cos 2()sin cos 2(22与路线无关,并计算⎰-+-),()0,0(22)sin cos 2()sin cos 2(y x dy y x x y dx x y y x的值。
25. 计算⎰⎰∑++-+dxdy z y xy dzdx z y x dydz xz )2()(2322,其中∑为上半球体0≤z ≤222y x a --的表面外侧。
26. 求I=⎰⎰++SdS z y x )(,S :x 2+y 2+z 2=R 2(z ≥0)。
二、证明题1. 证明:若函数f(x,y,z)于域V 内是连续的且对于任意的域W ⊂V ,0),,(=⎰⎰⎰Wdxdydz z y x f ,则当(x,y,z)∈V 时,f(x,y,z)≡0。
2. 设函数u(x,y)在光滑闭曲线L 所围的区域D 上具有二阶连续偏导数,证明:⎰⎰⎰∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂L D ds n u dxdy y u x u 2222, 其中nu∂∂是u(x,y)沿L 外法线方向n 的导数。
3. 设P ,Q ,R 在L 上连续,L 为光滑弧段,弧长为l ,证明:Ml Rdz Qdy Pdx L ≤++⎰,其中M=⎭⎬⎫⎩⎨⎧++∈222),,(m ax R Q P L z y x 。
4. 设u ,v ∈C (2)(D),证明:⎰⎰⎰⎰⎰⋅-∂∂=∆∑DDgradvdxdy gradu ds n vuvdxdy u 。
其中∆V=2222y v x v ∂∂+∂∂,nv∂∂是v 沿单位外法向量n 的方向导数,∑为D 的光滑边界。
5. 设f 为连续函数,a>0,证明:⎰⎰⎰-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-aaDdu a u u f a dxdy x y f 222||1)(2)(,其中(x,y)∈[-a,a]⨯[-a,a]。
6. 设一元函数f(t)在(0,+∞)内具有一阶连续导数,令⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≤++=Ω2222222),,(t c z b y a x z y x t ,F(t)=⎰⎰⎰Ω⎪⎪⎭⎫⎝⎛++tdxdydz c z b y a x f 222222。
(1)证明F(t)在(0,+∞)内具有二阶连续导数; (2)求出F /(t)的表达式。
重积分复习题参考答案一、计算题1.设f 在(-∞,+∞)上连续,化重积分I=⎰⎰≤≤+1||||22)(x y dxdy y x f 为定积分。
解:I=4⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=2141arccos41sec 040)()(4)(ππθπθθθrd r rf dr d r rf dr dr r rf d ⎰⎰-+=211)()1arccos 4()(dr r rf rdr r rf ππ2. 计算⎰⎰⎰Ω-++dxdydz z y x |1|222,其中Ω是由z=22y x +与z=1所围成的立体。
解:Ω被球面x 2+y 2+z 2=1分成两部分,下面部分记为Ω1,上面部分为原式=⎰⎰⎰Ω++-1)1(222dxdydz z y x +⎰⎰⎰Ω-++2)1(222dxdydz z y x=⎰⎰⎰-1024020sin )1(dr r r d d ϕϕθππ+⎰⎰⎰-ϕππϕϕθcos 1124020sin )1(dr r r d d =6π3. 求I=⎰⋂++-AnBxx dy x y e dx y e x )3sin ()cos (2,其中⋂AnB 是由A(0,2)沿右半圆周到B(0,0)的路径。
解:由格林公式可求出I=-23π+cos2-1。
4. 求I=⎰⎰++SdS z y x )(,S :x 2+y 2+z 2=R 2(z ≥0)。
解:由于区域的对称性及被积函数关于x,y 为奇函数,故⎰⎰SxdS =⎰⎰SydS =0,又由球面x 2+y 2+z 2=R 2,解得z x x z -=∂∂,z y y z -=∂∂,所以ds=dxdy z R dxdy y z x z =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+221,于是 I=32222R RR Rdxdy Rdxdy zdS R y x D Sxyππ====⎰⎰⎰⎰⎰⎰≤+。
5.求曲线积分⎰=+--+22222)2sin 2(cos )(Ry x y x xydy xydx e ,其中闭曲线取正向。
解:)(22)2sin 22cos 2(y x e xy x xy y xQ---=∂∂=)(22)2cos 22sin 2(y x e xy y xy x y P --+-=∂∂,由格林公式, ∴原式=0。
6. 计算⎰⎰+S xyzdxdy ,其中S +为球面x 2+y 2+z 2=1的外侧,在x ≥0,y ≥0的部分。
解:令S=S 1+S 2,在S +上:z=221y x --,cos γ>0;在S 2+上:z=-221y x --,cos γ<0。
故⎰⎰+S xyzdxdy =⎰⎰+1S xyzdxdy +⎰⎰+2S xyzdxdy =dxdy y x xyxy D ⎰⎰--221-dxdy y x xy xyD ⎰⎰---)1(22=2dxdy y x xy xyD ⎰⎰--221=21521sin cos 12220=-⋅⎰⎰ρρρθθρθπd d 。
7. ⎰⎰∑++dxdy z dzdx y dydz x 222,其中∑是立方体0≤x,y,z ≤a 表面的外侧。
解:⎰⎰∑++dxdy z dzdx y dydz x 222=2⎰⎰⎰++Vdxdydz z y x )(=2403)(a dz z y x dy dx aa a =++⎰⎰⎰8. 化以下第二型曲线积分为定积分(不计算定积分):I=⎰+Cxydy dx y 2,C 为曲线:14)2(9)1(22=-+-y x 上从点(1,4)到(4,2)的一段。
解:令x=1+3cost ,y=2+2sint (2π≤t ≤2π),则 I=⎰+++-+ππ222]cos 2)sin 22)(cos 31()sin 3()sin 22[(dt t t t t t 。
9. 计算⎰⎰++Sdxdy z dxdz y dydz x 333,其中S 为球x 2+y 2+z 2=a 2的外表面。
解:原式=512πa 5。
10. 试用格林公式计算I=⎰-++Cy dy ye x dx x xy )()sin 3(2之值,其中C 是曲线2为始点,A(4,8)为终点的曲线段。
解:如图补充折线段L -1、L -2使L 1+L 2+C 成封闭曲线, 于是I=⎰⎰⎰⎰++-12)32(L L Ddxdy x x =-⎰⎰Dxdxdy -⎰⎰++4080)sin 24(dx x x dy ye y =13331-7e 8-cos4。
11. 求⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-Ddxdy y x y x cos ,D 是由x+y=1,x 轴及y 轴围成的平面区域。
解:令u=x-y ,v=x+y ,即x=2v u +,y=2v u -。