)＜ ，0.01＜ P ≤0.05， 若 ≤ 表明实际观察次数与理论次数差异显著；
2 0.05
2( 或
2 c
2 0.01
若2( 或 c2 )≥ 02.01 ， P ≤0.01，表明实际观察 次数与理论次数差异极显著。 查χ2值表，当df=1时，χ20.05 ＝3.84。现实得χ2c ＝ 301.63＞χ20.05 ，故应否定H0 ，接受HA ，即认为鲤 鱼体色F2分离不符合3：1比率。
出现的概率为：P(AB)=P(A)P(B)
口服与有效同时出现的理论频率＝口服频率×
有效频率，即P(AB)=P(A)P(B)＝98/193 ×122/193
理论频数Ei＝理论频率×总数
＝ (98/193 ×122/193) ×193
＝（98 × 122）/193=61.95
即Eij＝Ri×Cj/T=行总数×列总数/总数
三、2 的连续性矫正
2分布是连续性分布，而次数资料是间 断性的。由次数资料计算得的2 均有一定的
偏差，特别是当自由度为1时偏差较大。
Yates(1934)提出了一个矫正公式，矫正 后的2值记为2c ：

2 c
( A T 0.5) T
2
当自由度大于1时，2分布与连续型 随机变量2分布相近似 ，这时，可不作 连续性矫正 ， 但要求各组内的理论次数 不小于5。 若某组的理论次数小于5，则应把它 与其相邻的一组或几组合并，直到理论次 数大 于5 为止。
第一节
2统计量与2分布
一、 2统计量的意义
某年对某一农场羊羔性别进行调查，结果如下表
表7-1 羔羊性别实际观察次数与理论次数
性别 公 母 合计
实际观 理论次 察次数A 数T 428(A1) 438(T1) 448(A2) 876 438(T2) 876
A-T -10 10 0
(A-T)2/T 0.2283 0.2283 0.4566
给药方式与给药效果的2×2列联表 给药方式
口服 注射
有效
58 64
无效
40 31
总数
98(R1) 95(R2)
有效率
59.2％ 67.4％
总数
122(C1)
71(C2)
193(T)
1.H0 ：给药方式与给药效果相互独立。
HA ：给药方式与给药效果有关联。
2.给出显著水平α ＝0.05
3.根据H0，运用概率乘法法则：事件A与事件B同时
71(C2)
98(R1) 95(R2)
193(T)
给药方式 口服 注射
有效 58(61.95) 64(60.05)
无效 40(36.05) 31(34.95)
总数 98(R1) 95(R2)
总数
122(C1)
71(C2)
193(T)
计算χ2值：由于df=(r-1)(c-1)=(2-1)(2-1)=1，故所 计算的χ2值需进行连续性矫正：
… O1C
… O2C … CC
O21 O22 O23 C1 C2 C3
2×c表的独立性检验也可以不经过计 算理论次数而直接用实际观察次数计算 2：
O R n [ ( ) ] R1 R2 Cj n
2 2 2 1
2 1j
或
R n [ ( ) ] R1 R2 Cj n
2
2
O
2 2j
第七章 次数资料分析— 2检验
在科学研究中， 除了分析计量资料 外，还常常需要对次数资料、等级资料 与相对数资料进行分析。
2 检验可以分析试验结果为两种以
上属性的次数资料的差异显著性。本章 将介绍卡平方检验用于分析次数资料适 合性和独立性检验的方法。
第一节 第二节 第三节
2统计量与2分布
适合性检验 独立性检验
2
O
2 ij
Ri C j
) 1]
式中:i=1,2,…,r; j=1,2,…,c
t检验、F检验和卡方检验在应用上有 何主要区别？ t检验、F检验主要应用于数量性状资 料的显著性检验，其理论分布是正态分 布； 卡方检验主要应用于质量性状资料的 显著性检验，其理论分布是二项分布或 波松分布；
t检验主要用于两样本平均数（或 一个样本平均数与总体平均数）间的 差异显著性检验；

2
O E 0.5 58 61.95 0.5 64 60.05 0.5
2 2
2
40 36.5 0.5 31 34.95 0.5
2
E
61.95
60.05
2
36.5
34.95
1.057
4.查χ2表，当df=1时， χ20.05 ＝3.841，而χ2c =0.863＜ χ20.05 ， P＞0.05，应接受H0 ，拒绝HA
F检验主要应用于样本平均数的个 数大于或等于3时的假设检验。
小
结
1、掌握适合性检验、独立性检验、卡
方的连续性矫正的概念；
2、掌握两种卡方检验方法的步骤；
3、了解t 检验、F 检验和卡方检验三
种方法的区别与联系。
(x )
i 1 i
n
2

2
~
2 (n)
若用样本平均数 x 代表总体平均数μ， 则随机变量

2
(x
i 1
n
i
)
2
2


( n 1) S
2
2
服从自由度为n-1的2分布，记为
(n 1) S
2

2
~
2 ( n 1)
显然，2≥0，即2 的 取值范围是[0，+∞） 2 分布密度曲线是随 自由度不同而改变的一 组曲线。随自由度的增 大，曲线由偏斜渐趋于 对称； df≥30时，接近正态分 布。 不同自由度的卡平方分布图
E11= R1 × C1/T=61.95
E21= R2 × C1/T=60.05
E12= R1 × C2/T=36.05
E22= R2 × C2/T=34.95
给药方式与给药效果的2×2列联表
给药方式 有效 无效 总数
口服 注射
总数
58(61.95) 64(60.05)
122(C1)
40(36.05) 31(34.95)
(1) H0 ：豌豆F2分离符合9：3：3：1的自由组合规律；
HA ：豌豆F2分离不符合9：3：3：1的自由组合规律；
(2)取显著水平α ＝0.05
(3)计算统计数χ2值：
χ2 ＝0.016+0.101+0.135+0.218＝0.470
(4)查值表，进行推断：
df =4-1＝3
2 0 .05 7.815
2 2
r×c表的一般形式如下 列
行 1
2 … r
1 O11
2 3 O12 O13
… C … O1C
… O2C … … … OrC … CC
总 数 R1 R2 … Rr1 C1 … … Or2 Or3 C2 C3
总数
r×c表的独立性检验的2计算：
n[ (
例：豌豆圆 粒和皱粒分 离规律研究
F2代，共556粒
315
101
108
32
此结果是否符合自由组合规律
根据自由组合规律，理论分离比为：
9 3 3 1 黄圆：黄皱：绿圆：绿 皱＝ ： ： ： 16 16 16 16
豌豆杂交实验F2分离结果 黄圆 实际观测数O 理论频数P 理论数E O－E (O-E)2/E 315 9/16 312.75 2.25 0.016 黄皱 101 3/16 104.25 -3.25 0.101 绿圆 108 3/16 104.25 3.75 0.135 绿皱 32 1/16 34.75 -2.75 0.218
，说明给药方式与给药效果相互独立.
在进行独立性检验时，也可以不经过计
算理论次数而直接用实际观察次数计算2。
2× 2表
n 2 ( O11O22 O12O21 ) n 2 2 c C1C2 R1 R2
2×c表的一般形式如下
列
行 1 2 3 … C
总 数 R1
R2 n
1
2 总数
O11
O12 O13

2

(A T) T
2
2是度量实际观察次数与理论次数偏离程
度的一个统计量。
2越小，表明实际观察次数与理论次数 越接近； 2 =0，表示两者完全吻合； 2
越大，表示两者相差越大。
二、卡平方分布
设有一平均数为μ、方差为2的正态总 体。现从此总体中独立随机抽取n个随机 变量x1、x2、...xn，并求出其标准正态离差：
H0：鲤鱼体色F2分离符合3：1比率; HA：鲤鱼体色F2分离不符合3：1比率;
2、在无效假设成立的条件下，按已知属 性分配的理论或学说计算各属性的理论次 数和自由度。 适合性检验的自由度等于属性分类数 （k）减1。
df= k-1 = 2-1 =1 需要连续性校正
3、计算出2 或2c
在无效假设H0正确的前提下 青灰色的理论数为： Ei ＝1602×3/4=1201.5 红色理论数为： Ei ＝1602×1/4=400.5
（三）自由度的计算
适合性检验中自由度为属性类别数 （k）减1；
r×c列联表的独立性检验中自由度 为rc-1-(r-1)-(c-1)=(r-1)(c-1)，即等于 （横行属性类别数-1）×（直列属性 类别数-1）。
二、 2×2表独立性检验
在做2×2表的独立性检验时，df=（21)(2-1）=1,故计算2时需做连续性矫正。 一 般形式如下： 2×2列联表一般形式 列 行 1 2 总数 1 O11 O21 C1 2 O12 O22 C2 总 数 R1 R2 n