概率论与数理统计试题2016—2017第一学期（期末）试题解答一、完成下列各题（每小题4分，共24分） 1. 设随机事件A ，B ，C 相互独立，21)()(==B P A P ,41)(=C P ,分别求出)(C B A P 及)(BC A P -的值。

解：)(1)()(1)()(1)(C P C P B P B P A P A P -=-=-=，， ∵C B A ,,相互独立 所以C B A ,,也相互独立)()()(),()()(),()()(C P B P C B P C P A P C A P B P A P B A P ===)()()()()()()()(C B A P C B P C A P B A P C P B P A P C B A P +---++=1615= ))()(())(()()(C A B A P C B A P BC A P BC A P ===-167)()()()()()()()()()(=-+=-+=C P B P A P C P A P B P A P C B A P C A P B A P 相关知识：①_)()()()()(1)(AB P B P A P B A P A P A P -+=-= ，（书P11） ②事件的相互独立性：)()()(,B P A P AB P B A =⇔相互独立四对事件}B ,A {,}B {A,B},,A {B},{A,中有一对是相互独立的，则另外三对也相互独立，此结论可推广至n 个事件的情形。

（书P20） ③事件的差：B A B A =- ④De Morgan 律：B A AB =2. 房间内有5个人，每个人在一年中（按12个月计算）每个月出生的概率相等，求5个人中至少有两个人生于同一个月的概率。

解：设人中至少两人生于同月事件5=A则人中无人同月出生5=A则14489)()(11445512)(555512=-==⋅=A P A P A C A P 5人中至少两人生于同月概率14489)(=A P 相关知识：①正难则反：发现某件事情的概率很难求时，可以考虑其对立事件的概率，再应用)(1)(A P A P -=来求解。

②乘法原理：做一件事需经过n 个不同的步骤，而第i 步有i m 种方法，则完成它有∏=ni im1种不同的方法。

3. 设随机变量)(~λP X ，且的值。

，求)3()2(4)1(≥==≤X P X P X P解：)!2(4)1()1()0()1(2λλλλ--⨯=+==+==≤e eX P X P X P两边同除λ-e ，得221λλ=+ 解得1=λ或21-=λ（舍去）因此！，k )k ()1(~1-==e X P P X)2()1()0(1)3(1)3(=-=-=-=<-=≥X P X P X P X P X P 1251--=e综上1251)3(--=≥e X P相关知识：泊松分布：P37设随机变量X 有!)(k e k X P k λλ-==，则称X 服从参数为λ的泊松分布，记为)(~λP X 。

其中且为常数；02,1,0>=λ k 。

4. 将一颗均匀骰子独立上抛两次，观察出现点数。

若两次出现点数和为8或10即可获奖。

求获奖概率。

解：设第一次上抛出现点数为X ,第二次上抛出现点数为Y 。

由上表可见，92368))10()8((===+=+Y X Y X P 则获奖概率92=P 5. 设随机变量X 与Y 相互独立且同分布，X 的概率密度为⎩⎨⎧>=-)(0)0()(其他x e x f xλλ，0>λ，若3)1(-=>e X P ，求)2),(min(≤Y X P 的值。

解：311)()1(--∞+-+∞==-==>⎰e e e dx xf X P xλλ，则3=λ。

)2()2(1)2),(min(1)2),(min(>>-=>-=≤Y P X P Y X P Y X P因为X ,Y 同分布所以62)()2()2(-+∞==>=>⎰e dx xf Y P X P所以121)2),(min(--=≤e Y X P相关知识：二维随机变量函数的概率分布（书本P62~P67）①⎰⎰+∞∞-+∞∞--=-=+=dy y y z f dx x z x f z f YX Z z ),(),()(②dy y yz f y z f YX Z z ),(||)(⎰+∞∞-==③),min(),,max(Y X m Y X M ==))(1))((1(1)()()()(z F z F z F z F z F z F Y X m Y X M ---==6. 设总体X 服从二项分布n x x x p m b ,,,),,(21 是来自x 的简单随机样本。

试求①参数p 的矩估计量 ②2p 的无偏估计量。

解：①∑====ni i X n A mp X E 1111)(α由矩估计法可得，)(1ˆˆ211n x x x np m +++== α 所以有)(1ˆ21n x x x mnp+++= ②)()1(2X D p mp =-=μ2μ的无偏估计量是)(11122∑=--=ni i n X n X n S21222111ˆˆˆX n nX n p m p m n i i---=-=∑=μ 承上题，pm ˆ的无偏估计量是X 所以2122111ˆX n n X n p m X n i i---=-∑= )11112(1ˆ1222∑=----=n i i X n X n n m p相关知识：①若),(~p m B X ，则)1()(;)(p mp X D mp X E -==。

②求)(2X E : )()()();()()(2222X E X D X E X E X E X D +=-=③无偏估计量的定义：若θθ=)ˆ(E ，则称θˆ是θ的一个无偏估计量。

（书本P153）矩估计法：（书本P145）二、已知某批产品中90%是合格品，检查时，一个合格品被误认为次品的概率是0.05，次品误认为是合格品的概率是0.02，试求：①一个产品经检查后被认为是合格品的概率。

②一个经检查后被认为是合格品的产品确是合格品的概率。

解：①设。

某产品被认为是合格品某产品是次品；某产品是合格品；===A B B 21 则21B B ，构成一个互斥完备事件组。

则 1.0)(9.0)(21==B P B P02.0)|(95.0)|(21==B A P B A P%7.85)|()()|()()(2211=+=B A P B P B A P B P A P所以某产品被认为是合格品的概率%7.85)(=A P 。

②承上题，即求)|(1A B P 则%8.99857855)|()()|()()|()()()()|(22111111≈=+==B A P B P B A P B P B A P B P A P AB P A B P所以经检查后认为是合格品的确实是合格品的概率为%8.99857855)|(1≈=A B P 相关知识：全概率公式与贝叶斯公式（书本P17）①全概率公式：若事件n B B B ,,21构成互斥完备事件组，则∑=jj j B A P B P A P )|()()(。

用法：可以将复杂事件概率分解为若干互斥的简单事件的分概率。

②贝叶斯公式：∑==jj j i i i B A P B P B P A P AB P A B P )|()()()()()|(。

用法：可以由事情的结果去推测原因。

三、随机变量X 的概率密度⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=其他0)20(21)(x xx f ，令12+=X Y ，试求①X 的分布函数)(x F ②Y 的概率密度 ③)31(<<x P解：①⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≤≤+-<==⎰∞-)2(1)20(41)0(0)()(2x x x x x dx x f x F x所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≤≤+-<=)2(1)20(41)0(0)(2x x x x x x F②⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≤≤-+-<=-=-≤=≤=)5(1)51(16910)1(0)21()21()()(2y y y y y y F y X P y Y P y F X Y 所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤≤+-<==)5(0)51(858)1(0)()('y y y y y F y f Y Y③41431)1()3()31(=-=-=<<X X F F x P 所以41)31(=<<x P 相关知识：连续型随机变量及其性质。

（书本P37）四、设随机变量21,Y Y 相互独立，都服从参数为P 的（0,1）分布，若21=P ，且令⎩⎨⎧≠+-=+=kY Y kY Y X k 212111，2,1=k 。

①求二维随机变量),(21X X 的联合分布律。

②分别求出),(21X X 关于21X X ，的边缘分布律。

③21X X ，是否相互独立？证明你的结论。

解：①由题意得，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-P PY Y 110~21，；21=P 。

则容易得到⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧==+≠+==-==≠+≠+=-=-===+=-====+=+===41)21()1,1(41)21()1,1(21)1()1,1(0)21()1,1(2121212121212121212121Y Y Y Y P X X P Y Y Y Y P X X P Y Y P X X P Y Y Y Y P X X P 且且且③21X X ，不相互独立：证明：)1()1()1,1(41)1(,21)1(,0)1,1(21212121==≠=========X P X P X X P X P X P X X P因此，由事件独立性定义，21X X ，不相互独立。

相关知识：①二项分布。

（书本P34）②事件独立性定义。

（书本P20）五、二维随机变量),(Y X 概率密度为⎩⎨⎧<<=-其他00),(yx e y x f y 。

①求边缘密度函数)()(y f x f Y X 及。

②求条件概率密度)|(|y x f Y X 。

③令Y X Z +=，求Z 的概率密度函数。

解：①⎩⎨⎧≥<==-+∞∞-⎰)0()0(0),()(x e x dy y x f x f xX⎩⎨⎧≥<==-+∞∞-⎰)0()0(0),()(y ye y dx y x f y f yY ②条件概率密度)0()(),()|(|≥=y y f y x f y x f Y Y X⎪⎩⎪⎨⎧<<<<=)0(0)0(1)|(|x y y x yy x f Y X ③⎰+∞∞--=dx x z x f z f Z ),()(当0<z 时，显然有0)(=z f Z当0≥z 时，z z z xz z yZ e edx edx e z f --+---===⎰⎰222)(所以⎪⎩⎪⎨⎧≥-<=--)0()0(0)(2z ee z zf z z Z相关知识：①二维随机变量函数的概率分布。