3) 极坐标表示法 e j Cos jSin
A a e j a
即用模和幅角来表示复数
2.直角←→极坐标 （互换） 已知：a,θ→a1,a2 ; a1=aCosθ
a2=aSinθ
已知：a1,a2→a,θ 例：1) A=4+j3
a a12 a22 ;
tg 1 a2
a1
A 4 j3 536.9o
n•
( U k 0)
k 1
3.3.1 电阻元件
式中：
•
Um
U me ju
a
b
显见相加减时，用直角坐标法；乘法、除法时，用极坐标法。
3.2.3 相量概念
看一下两正弦量相加。 i1(t)=Im1Sin(ωt+φ1)
i2(t)=Im2Sin(ωt+φ2)
i(t)=i1(t)+i2(t) 利用三角公式和差化积 ej（ωt+φ)=Cos(ωt+φ)+jSin(ωt+φ)
d
dt
Im
Ae jt
I
m
d dt
Ae jt
Im
jAe jt
即：取虚部运算和微分运算可以交换。
定理3：设A、B为复数。ω为角频率，则对所有的t
若等式：Im[Aejωt]=Im[Bejωt] 则：A=B; 反之，若A=B
则：Im[Aejωt]=Im[Bejωt]对所有的t。
3.2.5 KCL、KVL的相量形式
A 把一个三角运算转换了变成复数运算。
3.2.4 几个定理 1、若A(t)和B(t)为实变量t的任意复值函数，а为实数那么， 对所有的这种函数A(t)和B(t)则有：
Re[aA(t)]=аRe[A(t)]; Im[аA(t)]=аIm[A(t)] 总结：Im[а1A(t)+а2B(t)]=а1Im[A(t)+а2Im[B(t)] 定理2: 若A为—复数，则有：
第3章 正弦交流电路
3.1 正弦电压和电流 3.2 正弦量的相量表示法 3.3 RLC元件VAR的相量形式 3.4 复阻抗 3.5 导纳 3.6 正弦交流电路的分析及计算方法 3.7 正弦交流电路的功率 3.8 谐振 3.9 非正弦周期信号的电路
第3章. 正弦交流电路分析
3.1 正弦电压和电流( Sinusoidal Voltage and current)
若一个量值为I的直流电流也通过同一个电阻R，它在的时间T内 所产生的热
T
o
u
2
(t)dt
V
1 T
oT u 2 (t)dt
1 Vm
2
注：只有正弦量时，才有 2 倍的关系
3.2 正弦量的相量表示法
3.2.1相量法的基本概念 相量法是建立在用复数来表示正弦量的基础上的。故我们先对复
随时间按正弦规律变化的电压和电流称为正弦电压和电流。统 属于正弦波。 1.瞬时值表达式及参考方向
其瞬时值表达式为： （也可用Cosωt）
Cos(t )
2
u(t)=VmSin(ωt) (v)
式中 ω=2πf
2.正弦量三要素：
(1)最大值（振幅）Um Im;
(2)周期T （秒） ; 频率 f 1（HZ）
∵
i1(t)=Im1Sin(ωt+ф)=Im[Im1ej(ωt+φ)]
I m I m1e jt e j1 I m
•
I
m1
e
jt
I m I m1e j1 e jt
I
m
•
I
m1
e jt
上式表明，通过数学方法，把一个实数范围内的正弦时间与一个
复数函数的复指数函数一一对应起来。
•
设：
ik I km Sin(t k )
• Im I km
e
jt
n
ik
n
I
m
• I
km
e
jt
k 1
k 1
由定理1可知：
n
ik
Im
n
•
I
km
e
jt
0
k 1
k 1
故有：
n•
I km 0
k 1
n•
( I k 0)
k 1
n•
同理于KVL： U km 0
k 1
3.3 RLC元件VAR的相量形式
T
角频率
2
2f （rad/s）
T
(3)相位和初相
例： u(t)=100 Sin(ωt+30o) (v)
ωt+30o=0时
ωt=-30o
3.相位差
(即两个同频率正弦波的初相之差)
例： u1(t)=Vm1Sin(ωt+φ1) u2(t)=Vm2Sin(ωt+φ2)
相位差 若：θ>0
θ=ωu1t超+φ前1u-2ωt-φ2=φ1-φ2
3.2.2 复数的基本运算
若：
A a ； B b
a=b а=β 则： A=B
2.乘除运算 A·B=(a1+ja2)(b1+jb2) =(a1b1-a2b2)+j(a2b1+a1b2)
A B a b a be j( ) a b
A B
ae j be j
a e j( ) b
数进行讨论。 1.表示法: 1)直角坐标形式
复数A可表示为 A=a1+ja2; 其中： j 1 虚数的单位
a1 称为复数的实部 a2 称为复数的虚部
（Real part） （Imaginary part）
2)图示法：
由此得到复数的三角函数形式: A=aCosθ+jaSinθ=a(Cosθ+jSinθ) 例：A=5·Cos36.9o+j5Sin36.9o=4+j3
•
I m I m1 1 I m2 2
I m1Cos1 jI m1 Sin1 Im1Cos2 jI m2 Sin2
(Im1Cos1 Im2 Cos2 ) j(Im1 Sin Im2 Sin2 )
A jB A2 B2 tg 1 B A
i(t) A2 B2 Sin(t tg 1 B )
θ<0
u2超前u1
规定 0<θ<π 范围内
4.有效值: 以周期电压u为例，它的有效值（用V表示）定义为
V 1 T u 2 t dt T—周期
To
当u(t)=VmSinωt时
V
1 T
oT
Vm
2 Sin 2t
dt
应用Cos2а=2Cos2а-1得：
1 V 2 Vm 0.707Vm
当一个周期电流i（t）通过电阻R时，在一个周期内产生的热量为：
Im
I m
I m
Ime
j
有效值：
•
I
I
Ie
j
•
i(t) I m
而：
i(t)
Im
• I m
e
jt
Im
• I
m
e
jt
•
i(t) I m
例：已知 i(t) 2 2Sin(314 t 20 o )
•
i1(t) Im1 Sin(t 1) I m1 I m1 1
•
i2 (t) Im2 Sin(t 2 ) I m2 Im2 2