§4.1指数4．1.1n次方根与分数指数幂4．1.2无理数指数幂及其运算性质第1课时n次方根学习目标 1.理解n次方根、根式的概念.2.能正确运用根式运算性质化简求值．知识点一n次方根，根式1．a的n次方根的定义一般地，如果x n＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.2．a的n次方根的表示n的奇偶性a的n次方根的表示符号a的取值范围n为奇数na R[0，＋∞)n为偶数±n a3.根式：式子n a叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．思考根据n次方根的定义，当n为奇数时，是否对任意实数a都存在n次方根？n为偶数呢？答案当n为奇数时，对任意实数a，都存在n次方根，可表示为n a，但当n为偶数时不是，因为当a<0时，a没有n次方根；当a≥0时，a才有n次方根，可表示为±n a.知识点二根式的性质根式的性质是化简根式的重要依据(1)负数没有偶次方根．(2)0的任何次方根都是0，记作n0＝0. (3)(na )n ＝a (n ∈N *，且n >1)． (4)n a n ＝a (n 为大于1的奇数)．(5)na n ＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥0，－a ，a <0(n 为大于1的偶数)．思考 根式化简开偶次方根时应注意什么问题？答案 开偶次方根时，先用绝对值表示开方的结果，再去掉绝对值号化简，化简时要结合条件或分类讨论．1．实数a 的奇次方根只有一个．( √ ) 2．当n ∈N *时，(n－2)n ＝－2.( × )3．当a ≥0时，n a 表示一个数．( √ ) 4．当n 为偶数，a ≥0时，na ≥0.( √ ) 5.na n ＝(na )n .( × )一、由根式的意义求范围例1 求使等式(a －3)(a 2－9)＝(3－a )a ＋3成立的实数a 的取值范围． 解(a －3)(a 2－9)＝(a －3)2(a ＋3)＝|a －3|a ＋3， 要使|a －3|a ＋3＝(3－a )a ＋3成立， 需⎩⎪⎨⎪⎧a －3≤0，a ＋3≥0，解得a ∈[－3,3]． 反思感悟 对于na ，当n 为偶数时，要注意两点(1)只有a ≥0才有意义． (2)只要na 有意义，na 必不为负．跟踪训练1 若(3a －1)2＝3(1－3a )3，求实数a 的取值范围． 解(3a －1)2＝|3a －1|，3(1－3a )3＝1－3a .因为|3a －1|＝1－3a ，故3a －1≤0，所以a ≤13.二、利用根式的性质化简或求值 例2 化简下列各式： (1)5(－2)5＋(5－2)5； (2)6(－2)6＋(62)6； (3)4(x ＋2)4.解 (1)原式＝(－2)＋(－2)＝－4. (2)原式＝|－2|＋2＝2＋2＝4.(3)原式＝|x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≥－2，－x －2，x <－2.反思感悟 正确区分na n 与(na )n(1)( na )n 已暗含了n a 有意义，根据n 的奇偶性可知a 的范围． (2)na n 中的a 可以是全体实数，na n 的值取决于n 的奇偶性． 跟踪训练2 化简下列各式： (1)7(－2)7； (2)4(3a －3)4(a ≤1)； (3)3a 3＋4(1－a )4. 解 (1)7(－2)7＝－2.(2)∵a ≤1，∴4(3a －3)4＝|3a －3|＝3|a －1|＝3－3a .(3)3a 3＋4(1－a )4＝a ＋|1－a |＝⎩⎪⎨⎪⎧1，a ≤1，2a －1，a >1.三、有限制条件的根式的化简例3 已知－3<x <3，求x 2－2x ＋1－x 2＋6x ＋9的值． 解 原式＝(x －1)2－(x ＋3)2＝|x －1|－|x ＋3|，∵－3<x <3，∴当－3<x <1时， 原式＝－(x －1)－(x ＋3)＝－2x －2； 当1≤x <3时，原式＝(x －1)－(x ＋3)＝－4.∴原式＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －2，－3<x <1，－4，1≤x <3.(教师) 延伸探究本例中，若将“－3<x <3”变为“x ≤－3”，则结果又是什么？ 解 原式＝(x －1)2－(x ＋3)2＝|x －1|－|x ＋3|.∵x ≤－3，∴x －1<0，x ＋3≤0， ∴原式＝－(x －1)＋(x ＋3)＝4. 反思感悟 有限制条件根式的化简(1)有限制条件根式的化简问题，是指被开方数或被开方的表达式可以通过配方、拆分等方式进行化简．(2)有限制条件根式的化简经常用到配方的方法．当根指数为偶数时，在利用公式化简时，要考虑被开方数或被开方的表达式的正负．跟踪训练3 已知－1<x <2，求x 2－4x ＋4－x 2＋2x ＋1的值． 解 原式＝(x －2)2－(x ＋1)2＝|x －2|－|x ＋1|.因为－1<x <2，所以x ＋1>0，x －2<0， 所以原式＝2－x －x －1＝1－2x .1．若a 是实数，则下列式子中可能没有意义的是( ) A.4a 2 B.5a C.5－a D.4a答案 D解析 当a <0时，a 的偶次方根无意义． 2．已知m 10＝2，则m 等于( ) A.102 B ．－102C.210 D ．±102答案 D解析 ∵m 10＝2，∴m 是2的10次方根． 又∵10是偶数，∴2的10次方根有两个，且互为相反数． ∴m ＝±102.3．当x <0时，x ＋4x 4＋3x3x＝________.答案 1解析 原式＝x ＋|x |＋xx ＝x －x ＋1＝1.4．化简：(x ＋3)2－3(x －3)3＝________.答案 ⎩⎪⎨⎪⎧6，x ≥－3，－2x ，x <－3解析 原式＝|x ＋3|－(x －3)，当x ≥－3时，原式＝6；当x <－3时，原式＝－2x .5．若(x 2－2x －3)2＝－x 2＋2x ＋3，则实数x 的取值范围是________． 答案 [－1,3] 解析 因为(x 2－2x －3)2＝|x 2－2x －3|＝－x 2＋2x ＋3，所以x 2－2x －3≤0，解得－1≤x ≤3.1．知识清单：(1)n 次方根的概念、表示及性质． (2)根式的性质． 2．方法归纳：转化法． 3．常见误区：(1)对于na ，当n 为偶数时，a ≥0. (2)混淆(na )n 和na n .1．(42)4运算的结果是( ) A ．2 B ．－2 C ．±2 D ．不确定 答案 A解析 因为(na )n ＝a ，所以(42)4＝2.2．若a －2＋(a －4)0有意义，则a 的取值范围是( ) A ．[2，＋∞)B ．[2,4)∪(4，＋∞)C ．(－∞，2)∪(2，＋∞)D ．(－∞，4)∪(4，＋∞)答案 B解析 由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧a －2≥0，a －4≠0，∴a ≥2且a ≠4.3．下列说法正确的个数是( ) ①16的4次方根是2； ②416的运算结果是±2；③当n 为大于1的奇数时，na 对任意a ∈R 都有意义； ④当n 为大于1的偶数时，n a 只有当a ≥0时才有意义． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 B解析 ①16的4次方根应是±2；②416＝2，所以正确的应为③④. 4．若a <14，则化简(4a －1)2的结果是( )A ．4a －1B ．1－4aC ．－4a －1D ．－1－4a答案 B 解析 ∵a <14，∴4a －1<0，∴(4a －1)2＝|4a －1|＝－(4a －1)＝1－4a .5．(多选)若n ∈N ，a ∈R ，则下列各式中一定有意义的是( ) A.4(－4)2n B.4(－4)2n ＋1 C.5a 4 D.4a 5答案 AC解析 (－4)2n >0，故A 有意义；(－4)2n ＋1<0，故B 无意义；C 显然有意义；当a <0时，a 5<0，此时4a 5无意义，故D 不一定有意义． 6.3－8的值是________． 答案 －2 解析3－8＝3(－2)3＝－2.7．若x >3，则x 2－6x ＋9－|2－x |＝________. 答案 －1 解析 ∵x >3，∴x 2－6x ＋9－|2－x |＝(x －3)2－|2－x |＝|x －3|－|2－x |＝x －3－(x －2)＝－1.8．化简：(a －b )2＋5(a －b )5＝________.答案 ⎩⎪⎨⎪⎧0，a <b ，2a －2b ，a ≥b解析(a －b )2＋5(a －b )5＝|a －b |＋(a －b )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，a <b ，2(a －b )，a ≥b .9．化简：(1)n(x －π)n (x <π，n ∈N *)； (2)4a 2－4a ＋1⎝⎛⎭⎫a ≤12. 解 (1)∵x <π，∴x －π<0， 当n 为偶数时，n (x －π)n ＝|x －π|＝π－x ； 当n 为奇数时，n(x －π)n ＝x －π.综上，n(x －π)n ＝⎩⎪⎨⎪⎧π－x ，n 为偶数，n ∈N *，x －π，n 为奇数，n ∈N *.(2)∵a ≤12，∴2a －1≤0，∴4a 2－4a ＋1＝(2a －1)2＝|2a －1|＝1－2a .10．已知－2<x <2，求x 2－2x ＋1－x 2＋4x ＋4的值． 解 原式＝(x －1)2－(x ＋2)2＝|x －1|－|x ＋2|，∵－2<x <2，∴当－2<x <1时， 原式＝－(x －1)－(x ＋2)＝－2x －1； 当1≤x <2时，原式＝x －1－(x ＋2)＝－3.∴原式＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －1，－2<x <1，－3，1≤x <2.11．当2－x 有意义时，化简x 2－4x ＋4－x 2－6x ＋9的结果是( ) A ．2x －5 B ．－2x －1 C ．－1 D ．5－2x答案 C 解析 因为2－x 有意义，所以2－x ≥0，即x ≤2， 所以原式＝(x －2)2－(x －3)2＝|x －2|－|x －3|＝(2－x )－(3－x )＝－1. 12．下列式子中成立的是( ) A ．a －a ＝－a 3 B ．a －a ＝－a 3 C ．a －a ＝－－a 3 D ．a －a ＝a 3答案 C解析 由题意知a <0， 故a －a ＝－(－a )－a ＝－(－a )2(－a )＝－－a 3.13.3－223＋22＝________.答案 3－2 2 解析3－223＋22＝(3－22)2(3＋22)(3－22)＝(3－22)2＝3－2 2.14．把a－1a根号外的a 移到根号内等于________． 答案 －－a 解析 要使－1a有意义，需a <0. ∴a －1a ＝－|a |－1a＝－|a |2·⎝⎛⎭⎫－1a ＝－－a .15.已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋0.1的图象如图所示，则4(a －b )4的值为( )A ．a ＋bB ．－(a ＋b )C ．a －bD ．b －a 答案 D解析 由题图知f (－1)＝a －b ＋0.1<0，∴a －b <0. ∴4(a －b )4＝|a －b |＝－(a －b )＝b －a .16．计算：(1)614－3338＋30.125； (2)3(－8)3＋4(3－2)4－3(2－3)3； (3)3⎝⎛⎭⎫34－143·(3＋1)＋( 2 020－ 2 019)0. 解 (1)原式＝254－3278＋318＝52－32＋12＝32. (2)原式＝－8＋|3－2|－(2－3) ＝－8＋2－3－2＋3＝－8. (3)原式＝⎝⎛⎭⎫34－14·(3＋1)＋1 ＝⎝⎛⎭⎫32－12·(3＋1)＋1＝12(3－1)·(3＋1)＋1＝12(3－1)＋1 ＝1＋1＝2.。