2010年普通高等学校招生全国统一考试(新课标全国卷)理科数学试题本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分．第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
(1)已知集合{||2}A x R x =∈≤},{|4}B x Z x =∈≤,则A B ⋂=(A)(0,2) (B)[0,2] (C){0,2] (D){0,1,2} (2)已知复数23(13)iz i +=-，z 是z 的共轭复数，则z z ⋅= (A)14 (B)12(C) 1 (D)2 (3)曲线2xy x =+在点(1,1)--处的切线方程为(A)21y x =+ (B)21y x =- (C) 23y x =-- (D)22y x =-- (4)如图，质点P 在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为0(2,2)P -，角速度为1，那么点P 到x 轴距离d 关于时间t 的函数图像大致为tdπ42OA B C D(5)已知命题1p ：函数22x x y -=-在R 为增函数， 2p ：函数22x x y -=+在R 为减函数，则在命题1q ：12p p ∨，2q ：12p p ∧，3q ：()12p p ⌝∨和4q ：()12p p ∧⌝中，真命题是（A ）1q ，3q （B ）2q ，3q （C ）1q ，4q （D ）2q ，4q(6)某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为 (A)100 （B ）200 (C)300 （D ）400(7)如果执行右面的框图，输入5N =，则输出的数等于(A)54 （B ）45(C)65 （D ）56(8)设偶函数()f x 满足3()8(0)f x x x =-≥， 则{|(2)0}x f x ->=(A) {|24}x x x <->或 (B) {|04}x x x <>或 (C) {|06}x x x <>或 (D) {|22}x x x <->或(9)若4cos 5α=-，α是第三象限的角，则1tan21tan 2αα+=- (A) 12- (B) 12(C) 2 (D) 2-(10)设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为 (A) 2a π(B)273a π (C)2113a π (D) 25a π (11)已知函数|lg |,010,()16,10.2x x f x x x <≤⎧⎪=⎨-+>⎪⎩若,,a b c 互不相等，且()()(),f a f b f c ==则abc的取值范围是(A) (1,10) (B) (5,6)(C) (10,12)(D) (20,24)(12)已知双曲线E 的中心为原点，(3,0)P 是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为(12,15)N --,则E 的方程式为(A)22136x y -= (B) 22145x y -= (C) 22163x y -= (D) 22154x y -=第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答，第（22）题~第（24）题为选考题，考试根据要求做答。
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．(13)设()y f x =为区间[0,1]上的连续函数，且恒有0()1f x ≤≤，可以用随机模拟方法近似计算积分1()f x dx ⎰，先产生两组（每组N 个）区间[0,1]上的均匀随机数12,,N x x x …和12,,N y y y …，由此得到N 个点(,)(1,2,)i i x y i N =…,，再数出其中满足()(1,2,)i i y f x i N ≤=…,的点数1N ，那么由随机模拟方案可得积分1()f x dx ⎰的近似值为 。
(14)正视图为一个三角形的几何体可以是______（写出三种）(15)过点(4,1)A 的圆C 与直线10x y --=相切于点(2,1)B ，则圆C 的方程为____ (16)在△ABC 中，D 为边BC 上一点，12BD DC =，∠ADB =120°，AD =2，若△ADC 的面积为33-，则∠BAC =_______三，解答题：解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤． （17）（本小题满分12分）设数列{}n a 满足21112,32n n n a a a -+=-=⋅（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）令n n b na =，求数列的前n 项和n S(18)（本小题满分12分）如图，已知四棱锥P ABCD -的底面为等腰梯形，AB CD ∥，AC BD ⊥，垂足为H ，PH 是四棱锥的高 ，E 为AD 中点（1）证明：PE BC ⊥（2）若60APB ADB ∠=∠=，求直线PA 与平面PEH 所成角的正弦值(19)(本小题12分)为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：（1）估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；（2）能否有99％的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？ （3）根据（2）的结论，能否提供更好的调查方法来估计该地区老年人，需要志愿帮助的老年人的比例？说明理由附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++)k0.0503.841（20）（本小题满分12分）设12,F F 分别是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，过1F 斜率为1的直线l与E 相交于,A B 两点，且22,,AF AB BF 成等差数列。
（1）求E 的离心率；（2） 设点(0,1)P -满足PA PB =，求E 的方程（21）（本小题满分12分）设函数2()1xf x e x ax =---。
（1）若0a =，求()f x 的单调区间； （2）若当0x ≥时()0f x ≥，求a 的取值范围请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分． （22）（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图：已知圆上的弧AC BD =，过C 点的圆的切线与BA 的延长线交于E 点，证明： （Ⅰ）ACE ∠=BCD ∠； （Ⅱ）2BC =BE ×CD ．（23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程已知直线1C ： 1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩(t 为参数)，圆2C cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）． （Ⅰ）当α=3π时，求1C 与2C 的交点坐标： （Ⅱ）过坐标原点O 做1C 的垂线，垂足为A 、P 为OA 的中点，当α变化时，求P 点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线。
（24）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 设函数()f x =241x -+． （Ⅰ）画出函数()y f x =的图像： （Ⅱ）若不等式()f x ax 的解集非空，求a 的取值范围2010年普通高等学校招生全国统一考试（新课标全国卷）理科数学答案1．【解析】{||2,}{22}A x R x x R x =∈≤=∈-≤≤，{|4}{016}B x Z x Z x =∈≤=∈≤≤，故{0,1,2}A B ⋂=．应选D ．2．【解析】11)(1))84z i i =====111))444z z i i ⋅=⋅+=．应选A ．另解：由221221z ====可得214z z z ⋅==． 3．【解析】由2122x y x x ==-++可得122,2,12(1),21(2)x y k y y x y x x =-''===+=+=++应选A ．4．【解析】通过分析可知当0t =时，点P 到x 轴距离d，于是可以排除答案A,D ，再根据当4t π=时，可知点P 在x 轴上此时点P 到x 轴距离d 为0,排除答案B ，应选C ．5．【解析】：1p ：函数22xxy -=-在R 为增函数为真命题，而函数22xxy -=+为偶函数，则22x x y -=+在R 不可能为减函数，2p ：函数22x xy -=+在R 为减函数为假命题，则1p ⌝为假命题，2p ⌝为真命题，然后根据复合命题的判断方法即可确定答案C ．6．【解析】由题意可知播种了1000粒，没有发芽的种子数ξ服从二项分布，即~(1000,0.1)B ξ,而2X ξ=，则2210000.1200EX E ξ==⨯⨯=．应选B ．7．【解析】根据框图所体现的算法可知此算法为求和：1111101223344556S =+++++⨯⨯⨯⨯⨯ 111111111151122334455666=-+-+-+-+-=-=，应选D ．8．【解析】当0x <时，则0x ->，由偶函数满()f x 足3()8(0)f x x x =-≥可得，()()f x f x =-=38x --，则()f x =338(0)8(0)x x x x ⎧-≥⎨--<⎩，(2)f x -33(2)8(2)(2)8(2)x x x x ⎧--≥⎨---<⎩ 令(2)0f x ->，可解得4,0x x ><或．应选B ．另解：由偶函数满()f x 足3()8(0)f x x x =-≥可得3()()8f x f x x ==-， 则3(2)(2)28f x f x x -=-=--，要使(2)0f x ->， 只需3280,22x x -->->，解得4,0x x ><或．应选B ． 9．【解析】由4cos 5α=-，α是第三象限的角可得3sin 5α=-． 311tan cos sin1sin 152224cos 21tan cos sin 2225αααααααα-+++====----，应选A ． 另解：由4cos 5α=-，α是第三象限的角可得3sin 5α=-．3sin sin 52tan 3421cos cos 125ααααα-====-+-，1tan13121321tan2αα+-==-+-． 10．【解析】根据题意条件可知三棱柱是棱长都为a 的正三棱柱，则其外接球的半径为2)60R ==222774123a R a ππ=⋅=，应选B ．11．【解析】作出函数()f x 的图象如右图，不妨设a b c <<，则1lg lg 102a b c -==-+∈则(10,12)abc c =∈．应选C ．12．【解析】由双曲线E 的中心为原点，(3,0)P 是E 2222221(9)x y a b a b -=+=，设1122(,),(,)A x y B x y ，即 2222112222221,1x y x y a b a b -=-= 则22121222121212015115312y y x x b b x x a y y a -+-+=⋅=⋅==-+-+，则22225,5,44b b a a ===，故E 的方程式为22145x y -=．应选B ． 13．【解析】：由题意可知11()1f x dx NN≈⎰得11()N f x dx N≈⎰，故积分10()f x dx ⎰的近似值为1N N． 14．【解析】正视图为一个三角形的几何体可以是三棱锥、三棱柱、圆锥、四棱锥等等． 15．【解析】设圆的方程为222()()x a y b r -+-=，则2222221(4)(1),(2)(1),1,2b a b r a b r a --+-=-+-==--解得3,0,a b r ===22(3)2x y -+=．16．【解析】由△ADC的面积为3可得13sin 60322ADC S AD DC DC ∆=⋅⋅⋅==31(3sin22ABC S AB AC BAC ∆==⋅⋅∠解得2DC =,则1,3BD BC ==．2222cos120AB AD BD AD BD =+-⋅⋅241)1)6=++=,AB = 22222cos 6041)1)24AC AD CDAD CD =+-⋅⋅=+-=-1)AC =则222cos 2BA AC BC BAC AB AC +-∠=⋅12===故60BAC ∠=．三、解答题（17）【解析】（Ⅰ）由已知，当n ≥1时，111211[()()()]n n n n n a a a a a a a a ++-=-+-++-+21233(222)2n n --=++++2(1)12n +-=。