2021年全国统一高考理科数学试卷（全国乙卷）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（共12题；共60分）1. ( 5分) 设2（z+ z̅）+3(z- z̅)=4+6i，则z=（）.A. 1-2iB. 1+2iC. 1+iD. 1-i2. ( 5分) 已知集合S=｛s|s=2n+1，n∈Z｝，T=｛t|t=4n+1，n∈Z｝，则S∩T=（）A. ∅B. SC. TD. Z3. ( 5分) 已知命题p：∃x∈R，sinx＜1；命题q：∀x∈R，e|x|≥1，则下列命题中为真命题的是（）A. p ∧qB. ¬p ∧qC. p ∧¬qD. ¬(pVq)4. ( 5分) 设函数f(x)= 1−x1+x，则下列函数中为奇函数的是（）A. f(x-1)-1B. f(x-1)+1C. f(x+1)-1D. f(x+1)+15. ( 5分) 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为B1D1的中点，则直线PB与AD1所成的角为（）A. π2B. π3C. π4D. π66. ( 5分) 将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（）A. 60种B. 120种C. 240种D. 480种7. ( 5分) 把函数y=f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移π3个单位长度，得到函数y=sin(x- π4)的图像，则f(x)=（）A. sin( x2−7π12) B. sin( x2+π12) C. sin( 2x−7π12) D. sin( 2x+π12)8. ( 5分) 在区间（0，1）与（1，2）中各随机取1个数，则两数之和大于74的概率为（）A. 74B. 2332C. 932D. 299. ( 5分) 魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作，其中第一题是测量海盗的高。

如图，点E，H，G在水平线AC上，DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，EG称为“表距”，GC和EH都称为“表目距”，GC与EH的差称为“表目距的差”。

则海岛的高AB=（）.A. 表高×表距表目距的差+表高 B. 表高×表距表目距的差−表高C. 表高×表距表目距的差+表距 D. 表高×表距表目距的差−表距10. ( 5分) 设a≠0，若x=a为函数f(x)=a(x−a)2(x−b)的极大值点，则（）A. a＜bB. a＞bC. ab＜a2D. ab＞a211. ( 5分) 设B是椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的上顶点，若C上的任意一点P都满足|PB|≤2b，则C的离心率的取值范围是（）A. [√22,1) B. [12,1) C. (0,√22] D. (0,12]12. ( 5分) 设a=2ln1.01，b=ln1.02，c=√1.04−1，则（）A. a＜b＜cB. b＜c＜aC. b＜a＜cD. c＜a＜b二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

（共4题；共20分）13. ( 5分) 已知双曲线C：x2m−y2=1（m>0）的一条渐近线为√3x+my=0，则C的焦距为________.14. ( 5分) 已知向量a⃗=（1，3），b=（3，4），若（a⃗-λb⃗⃗）⊥b⃗⃗，则λ=________。

15. ( 5分) 记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为√3，B=60°，a2+c2=3ac，则b=________.16. ( 5分) 以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为________（写出符合要求的一组答案即可）.三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（共5题；共60分）17. ( 12分) 某厂研究了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为x̅和y̅，样本方差分别记为s12和s22（1）求x̅，y̅，s12，s22；（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果y̅- x̅≥ 2√s12+s222，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）.18. ( 12分) 如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，PD=DC=1，M为BC的中点，且PB⊥AM，（1）求BC；（2）求二面角A-PM-B的正弦值。

19. ( 12分) 记S n为数列{a n}的前n项和，b n为数列{S n}的前n项积，已知2S n +1b n=2.（1）证明：数列{b n}是等差数列；（2）求{a n}的通项公式.20. ( 12分) 设函数f（x）=ln（a-x），已知x=0是函数y=xf（x）的极值点。

（1）求a；（2）设函数g（x）= x+f（x），证明：g（x）＜1.x f（x）21. ( 12分) 己知抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，且F与圆M：x2+（y+4）2=1上点的距离的最小值为4.（1）求p；（2）若点P在M上，PA，PB是C的两条切线，A，B是切点，求ΔPAB的最大值.四、［选修4一4：坐标系与参数方程］（共1题；共10分）22. ( 10分) 在直角坐标系xOy中，⊙C的圆心为C（2，1），半径为1.（1）写出⊙C的一个参数方程；（2）过点F（4，1）作⊙C的两条切线，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条直线的极坐标方程.五、[选修4一5：不等式选讲]（共1题；共10分）23. ( 10分) 已知函数f（x）=|x-a|+|x+3|.（1）当a=1时，求不等式f（x）≥6的解集；（2）若f（x）≥-a，求a的取值范围.答案解析部分注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.【答案】C【考点】复数代数形式的混合运算【解析】【解答】设z=a−bi,2(z+z)+3(z−z)=5z−z=4a+6bi=4+6i,所以a=b=1，所以z＝1+i。

故答案为：C【分析】先设z的代数式，代入运算后由复数相等的条件，即可求得结果。

2.【答案】C【考点】交集及其运算【解析】【解答】当n=2k (k∈Z)时，S={s|s=4k+1, k∈z},当n=2k+1 (k∈Z)时,S={s|s=4k+3, k∈z}所以T⊂S,所以S∩T=T,故答案为：C.【分析】分n的奇偶讨论集合S。

3.【答案】A【考点】全称量词命题，存在量词命题，命题的否定，命题的真假判断与应用【解析】【解答】因为命题P是真命题，命题q也是真命题，故答案为：A【分析】先判断命题p，q的真假，然后判断选项的真假。

4.【答案】B【考点】函数奇偶性的判断，函数奇偶性的性质【解析】【解答】因为f(x)= 1−x1+x =−1+2x+1，所以函数的对称中心是(-1,-1)，所以函数f(x)向右平移1 个单位，再向上平移1个单位后关于（0，0）中心对称，而四个选项中只有B满足条件，故答案为：B。

【分析】将函数变形为f(x)= =−1+2x+1后，判断。

5.【答案】D【考点】直线与平面所成的角【解析】【解答】如图，连接AC，设AC与BD交于O，连接OD1,AD1,BP,设正方体的棱长为x，因为D1P||OB||BD,且D1P=BO=12BD,所以四边形OD1PB是平行四边形，所以BP||OD1,所以∠AD1O即为所求的角，易证AO⊥平面BDD1B1,故AO⊥OD1, 又AO=12AC=12AD1,所以∠AD1O＝π6.故答案为：D【分析】在正方体中，作辅助线，通过平移线，作出所要求的角。

6.【答案】C【考点】排列、组合及简单计数问题【解析】【解答】由题意知，必须有2个人一组，其他各组只有1个人，所以分配方法是：C52C41A33= 240，故答案为：C.【分析】利用排列与组合来求解。

7.【答案】B【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式【解析】【解答】根据图象平移的规律可知，将y= y=sin(x- π4 )的图像 上所有的点向左平移平移π3个单位，纵坐标不变，得到y =sin(x +π12),再把所得到的图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，即函数的周期变原来的2倍，就得到函数y=sin(x2+π12) ， 故答案为：B 。

【分析】根据三角函数图象的相位，周期变化规律来解题。

8.【答案】 B 【考点】几何概型【解析】【解答】不妨设这两个数为a,b 且 0<a<1, 1<b<2,在平面直角坐标系内，a,b 的取值， 表示为一个正方四个顶点：(0,1),(1,0),(1,2),(0,2),且包括边界在内的正方形区域。

作 直线a+b= 74 ， 满足a+b> 74的a,b 取值的可行域如图中阴影部分表示，直线a+b ＝ 74与正方形的两个交点分别为(34,1),(0,74),则可计算事件(a+b >74R 人svyf 概率为P ＝1－34×34×12=2332,故选B。

【分析】利用几何概型解答。

9.【答案】A【考点】解三角形的实际应用【解析】【解答】如图，连接DF,直线DF交AB于M，则AB＝AM+BM,设∠BDM=α,∠BFM=β,则MB tanα−FGtanβ=MF−MD=DF,因为tanβ=FGGC,tanα=EDEH,所以MBtanα−MBtanβ=MB(1tanα−1tanβ)=MB(GCFG−EH ED )=MB(GC−EHED),所以AB=表高×表距表目距的差+表高。